software foundations LF Induction

更多内容见 https://github.com/january147/software_foundations_notes

software foundations LF Induction

导入经过编译的模块

From LF Require Export Basics.

LF表示项目目录，Basics是导入的模块名称（对应Basics.vo文件）

First create a file named _CoqProject containing the following line (if you obtained the whole volume “Logical Foundations” as a single archive, a _CoqProject should already exist and you can skip this step):

-Q . LF

This maps the current directory (".", which contains Basics.v, Induction.v, etc.) to the prefix (or “logical directory”) “LF”.

通过创建_CoqProject文件，指定-Q . LF可以将本地目录.映射到逻辑目录LF。

Proof by induction

对于无法逐个列举所有情况的命题（即使用destruct无法完成证明），可以通过数学归纳法来证明，即对于命题P(n)P(n)P(n)，证明P(0)P(0)P(0)为真，并且P(n)→P(n+1)P(n) \to P(n+1)P(n)→P(n+1)为真，根据数学归纳法则有P(n)P(n)P(n)为真。

Theorem plus_n_Sm : forall n m : nat,S (n + m) = n + (S m).
Proof.intros n m.(* seems impossible to induction m? *)induction n as [| n' Hn].-simpl. reflexivity.-simpl. rewrite <- Hn. reflexivity.
Qed.

tactic

induction

induction和destruct有点类似，都是将变量进行分类讨论。不同的是，induction即采用数学归纳法进行证明，即将变量分为初始值和后续任意一个值两种情况进行讨论。

Theorem plus_n_O : forall n:nat, n = n + 0.
Proof.intros n. induction n as [| n' IHn'].(* n = 0 *)    - reflexivity.(* n = S n', n' = n' + 0 *)- simpl. rewrite <- IHn'. reflexivity.  Qed.

assert

使用assert可以在一个定理的证明过程中定义一个子定理（通常称为引理lemma），通过证明这个子定理来证明最终的定理。通常很简单或者泛用性较差（不在其他定理证明中使用）的子定理才使用assert在证明过程中定义，复杂或者通用的子定理通过使用Theorem或者Lemma直接定义。

Theorem mult_0_plus' : ∀ n m : nat,(0 + n) × m = n × m.
Proof.intros n m.assert (H: 0 + n = n). { reflexivity. }rewrite → H.reflexivity. Qed.

rewrite可以配合assert实现指定具体的改写目标。例如在下面这个定理的证明过程中，存在一个等式中有多个可以rewrite的地方，仅使用rewrite无法指定特定的部分进行rewrite，导致定理难以证明，通过assert声明针对该证明过程中特定变量名称的子定理可以使得rewrite仅改写我们所需的部分

Theorem mult_n_Sm: forall n m : nat, n * S m = n + n * m.
Proof.intros n m. induction n as [|n' Hn].-simpl. reflexivity.-simpl. rewrite -> Hn. rewrite -> plus_assoc.rewrite -> plus_assoc.(* 这一步需要时证明目标为S (m + n' + n' * m) = S (n' + m + n' * m)，可以看到使用加法交换律改写m + n'即可得证，然而等式中存在多个加号，使用一般得加法交换律会导致rewrite无法确定应该改写哪一个（例如改写等式左边第二个加号则会导致无法证明），因此我们使用assert针对上述目标中的变量名称以及需要交换的部分（m + n'）定义一个特定的加法交换律，实现对所需特定位置的rewrite*)assert(H: m + n' = n' + m).(* 使用通用的交换律证明这里特定的交换律 *)--rewrite -> plus_comm. reflexivity.(* 使用特定的交换律实现目标中指定部分的rewrite从而证明目标 *)--rewrite -> H. reflexivity.
Qed.

replace

上边提到在rewrite无法确定正确的改写位置时可以使用assert来定义一个针对目标中需要改写位置的子定理来实现控制rewrite的改写位置。除了该方法外，还可以使用replace来实现。使用replace可以将目标中的某部分t替换为q，替换之后会生成一个t = q的子目标，需要证明t=q，相当于使用assert定义了一个t=q的子定理，然后使用该子定理rewrite原目标。

replace (t) with (p)

下面是一个小例子，该例子使用加法交换律plus_comm，然而在目标中存在多个可交换的地方，因此使用replace对指定位置进行替换。

Theorem plus_swap' : forall n m p : nat,n + (m + p) = m + (n + p).
Proof.intros n m p. induction n as [|n' Hn].-simpl. reflexivity.(* 这里后续会补充当前目标，方便理解replace的使用 *)(* 为了证明目标，使用S (n' + p) + m替换了目标中的m + S (n' + p)另外生成了一个子目标m + S (n' + p) = S (n' + p) + m需要证明*)-simpl. replace (m + S (n' + p)) with (S (n' + p) + m).--simpl. rewrite -> Hn. rewrite <- plus_comm. reflexivity.--rewrite <- plus_comm. reflexivity.
Qed.

重点练习

定义unary表示转换为binary表示的函数

Fixpoint nat_to_bin (n:nat) : bin :=match n with(* 0到0的转换 *)| O => Z(* >= 1的数使用incr函数（第一章basics中定义）结合递归定义来实现 *)| S n' => incr (nat_to_bin n')end.

证明转换函数的正确性，即证明

Theorem nat_bin_nat : forall n, bin_to_nat (nat_to_bin n) = n.

在使用数学归纳法证明该定理的过程中，存在一个bin_to_nat (incr (nat_to_bin n')) = S n'的中间目标，而归纳假设为bin_to_nat (nat_to_bin n') = n'。为了使用归纳假设，我们需要将incr函数转换到最外层去，因此，我们定义如下引理

Lemma bin_incr: forall n : bin, bin_to_nat (incr n) = S (bin_to_nat n).
Proof.intros n. induction n as [|n1 Hn1 |n2 Hn2].-simpl. reflexivity.-simpl. reflexivity.-simpl. rewrite -> Hn2. simpl. rewrite <- plus_comm. reflexivity.
Qed.

使用该引理即可证明转换函数的正确性定理。

Theorem nat_bin_nat : forall n, bin_to_nat (nat_to_bin n) = n.
Proof.intros n. induction n as [|n' Hn].-simpl. reflexivity.-simpl. rewrite -> bin_incr. rewrite -> Hn. reflexivity.
Qed.