算法原理

假设两接收站分别接收的带噪信号为
{x(kT)=s(kT)+ε1(kT)y(kT)=s(kT−D)+ε2(kT)\left\{ \begin{matrix} x(kT)=s(kT)+{{\varepsilon }_{1}}(kT) \\ y(kT)=s(kT-D)+{{\varepsilon }_{2}}(kT) \\ \end{matrix} \right.{x(kT)=s(kT)+ε1(kT)y(kT)=s(kT−D)+ε2(kT)

其中延迟 DDD为分数时延，s(kT)s(kT)s(kT) 、ε1(kT){{\varepsilon }_{1}}(kT)ε1(kT)和 ε2(kT){{\varepsilon }_{2}}(kT)ε2(kT)为互不相干的宽平稳零均值高斯白噪声随机过程。其中分数时延可以通过对信号进行内插重建得到。为简化模型且不失一般性，假设采样间隔为单位时间。故延迟信号可以通过对信号进行与sinc函数进行卷积得到。
y(k)=x(k−D)=∑n=−∞+∞sin⁡c(n−D)x(k−D)y(k)=x(k-D)\text{=}\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }{\sin \text{c}(n-D)x(k-D)}y(k)=x(k−D)=n=−∞∑+∞sinc(n−D)x(k−D)
其中函数，sin⁡c(v)=sin⁡(πv)πv\sin \text{c}(v)=\frac{\sin (\pi v)}{\pi v}sinc(v)=πvsin(πv)由于理想的分数延时滤波器难以实现。一般使用加窗截断得到其近似解，近似误差随滤波器阶数的增加而增加，截断后的延迟信号如下
y(k)=x(k−D)=∑n=−MMsin⁡c(n−D)x(k−D)y(k)=x(k-D)\text{=}\sum\limits_{n=-M}^{M}{\sin \text{c}(n-D)x(k-D)}y(k)=x(k−D)=n=−M∑Msinc(n−D)x(k−D)
对于ETDE算法，利用估计的延时 D^(k)\hat{D}(k)D^(k)来代替上式的真实值DDD ，并用sinc函数代替自适应算法中的滤波器系数，通过求解瞬时均方误差 ∣e(k)∣2{{\left| e(k) \right|}^{2}}∣e(k)∣2最小值的梯度下降法的局部最优解获得估计的分数时延值。

算法总结

e(k)=y(k)−∑n=−MMsin⁡c(n−D^(k))x(k−D)=y(k)−x(k−D^(k))e(k)=y(k)-\sum\limits_{n=-M}^{M}{\sin \text{c}(n-\hat{D}(k))x(k-D)} \\ =y(k)-x(k-\hat{D}(k)) \\ e(k)=y(k)−n=−M∑Msinc(n−D^(k))x(k−D)=y(k)−x(k−D^(k))

D^(k+1)=D^(k)-2μ∂e2(k)∂D^(k)=D^(k)-2μe(k)∑n=−MMf(v)x(k−D)f(v)=cos⁡(πv)−sin⁡c(v)vv=n−D^(k)\hat{D}(k+1)=\hat{D}(k)\text{-}2\mu \frac{\partial {{e}^{2}}(k)}{\partial \hat{D}(k)} \\ \text{=}\hat{D}(k)\text{-}2\mu e(k)\sum\limits_{n=-M}^{M}{f(v)x(k-D)} \\ f(v)=\frac{\cos (\pi v)-\sin c(v)}{v}v=n-\hat{D}(k) \\ D^(k+1)=D^(k)-2μ∂D^(k)∂e2(k)=D^(k)-2μe(k)n=−M∑Mf(v)x(k−D)f(v)=vcos(πv)−sinc(v)v=n−D^(k)

同时保证滤波器阶数M远远大于延时。

性能分析

估计均方误差的理论计算值如下
var⁡(D^)=6μσn2(σs2+σn2)σs2[3−μ(3π2σs2+π2σn2)]orvar⁡(D^)=6μσs2(SNR+1)SNR[3SNR−μπ2σs2(3SNR+1)]\operatorname{var}(\hat{D})\text{=}\frac{6\mu \sigma _{n}^{2}(\sigma _{s}^{2}+\sigma _{n}^{2})}{\sigma _{s}^{2}[3-\mu (3{{\pi }^{2}}\sigma _{s}^{2}+{{\pi }^{2}}\sigma _{n}^{2})]} \\ or \\ \operatorname{var}(\hat{D})=\frac{6\mu \sigma _{s}^{2}(SNR+1)}{SNR[3SNR-\mu {{\pi }^{2}}\sigma _{s}^{2}(3SNR+1)]} \\ var(D^)=σs2[3−μ(3π2σs2+π2σn2)]6μσn2(σs2+σn2)orvar(D^)=SNR[3SNR−μπ2σs2(3SNR+1)]6μσs2(SNR+1)

实验结果

实验条件: s(k)s(k)s(k)、ε1(kT){{\varepsilon }_{1}}(kT)ε1(kT)和 ε2(kT){{\varepsilon }_{2}}(kT)ε2(kT)为互不相关的宽平稳零均值宽带高斯白噪声随机过程。源信号功率为单位功率，步长 μ=0.0003\mu=0.0003μ=0.0003。设置时延在±5T\pm 5T±5T 内，滤波器阶数设置为M=10M=10M=10 可以保证可接受的截断误差。设置真实误差 D=1.7TD=1.7TD=1.7T，迭代次数 3000次，两接收机的信噪比均为SNR=0dBSNR=0dBSNR=0dB 设置迭代初始估计时延为 D^(0)=2.0T\hat{D}(0)\text{=}2.0TD^(0)=2.0T。进行100次蒙特卡洛试验

文献结果

代码下载地址

参考文献：
H. C. So, P. C. Ching, and Y. T. Chan, “A new algorithm for explicit adaptation of time delay,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 42, no. 7, pp. 1816–1820, Jul. 1994, doi: 10.1109/78.298289.

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