动态型试题一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动、图动；其运动形式有平动、旋转、翻折、滚动等．动态型试题其特点是集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．题目灵活多变，动中有静，动静结合．能够在运动变化中发展同学们的空间想象能力，是近几年中考命题的热点题型，常考常新，很多题目好似曾相识燕归来，旧瓶新酒，一般是以选择填空或解答题压轴题的形式出现．

【例1】．(2018•锦州中考题)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3cm，动点P从点A出发，以√2cm/s的速度沿AB方向运动到点B，动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB方向运动到点B．设△APQ的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列图象能反映y与x之间关系的是( )

【分析】作QD⊥AB，分点Q在AC、CB上运动这两种情况，由直角三角形的性质表示出QD的长，利用三角形面积公式得出函数解析式即可判断．

【解答】(1)过点Q作QD⊥AB于点D，

①如图1，当点Q在AC上运动时，即0≤x≤3，

由题意知AQ＝x、AP＝√2 x，

∵∠A＝45°，∴QD＝√2/2 AQ＝√2x/2，则y＝1/2 •√2x•√2/2x＝1/2x2；

②如图2，当点Q在CB上运动时，即3＜x≤6，此时点P与点B重合，

由题意知BQ＝6﹣x、AP＝AB＝3√2，

∵∠B＝45°，∴QD＝√2/2BQ＝√2/2 (6﹣x)，

则y＝1/2×3√2×√2/2(6﹣x)＝﹣3/2x+9；故选：D．

【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是根据题意弄清两点的运动路线，据此分类讨论并得出函数解析式．

【例1的变式2】．(2018•河北区二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点M是CD的中点动点E从点B出发，沿BC运动，到点C时停止运动，速度为每秒1个长度单位；动点F从点M出发，沿M→D→A远动，速度也为每秒1个长度单位：动点G从点D出发，沿DA运动，速度为每秒2个长度单位，到点A后沿AD返回，返回时速度为每秒1个长度单位，三个点的运动同时开始，同时结束．设点E的运动时间为x，△EFG的面积为y，下列能表示y与x的函数关系的图象是( )

【分析】(1)当x≤2时，各点位置与原图所示，则y＝S△EFG＝S正方形ABCD﹣S梯形ABGE﹣S△EFC﹣S△EFD；(2)当x≤2时，y＝S△EFG直接计算即可．

【解答】(1)当x≤2时，各点位置与原图所示，此时，BE＝x，MF＝x，GD＝2x，

则y＝S△EFG＝S正方形ABCD﹣S梯形ABGE﹣S△EFC﹣S△GFD，

将有关数据代入整理得：y＝S△EFG＝1.5x2﹣x+4，对应图象是二次函数；

(2)当x＞2时，各点位置与下图所示，

此时y＝S△EFG＝1/2•GF•AB＝﹣4t+16，对应图象是直线，故选：A．

【点评】本题考查的是动点问题图象，此类问题主要是分清楚x时刻点所处的位置，把求解图象面积用分割组合的方式确定出来即可求解．

【例1的变式2】．(2018•长丰县一模)如图1，△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2m/s的速度沿折线A→C→B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示，下列结论中，错误的是( )

【解答】根据图象确定点Q的速度，AB长，再由锐角三角函数用∠B的正弦值和x表示y将(4，4/3)代入问题可解．

当点P在AC上运动时，y＝1/2AP·AQ·sin∠A=1/2×2x·ax·1/2=1/2 ax2

当x＝1，y＝1/2时，a＝1

由图象可知，PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10

当P在BC上时y＝1/2·x·(10-2x) sin∠B，

当x＝4，y＝4/3时，代入解得sin∠B＝1/3,

∴y＝1/2·x·(10-2x) ·1/3＝﹣1/3x2+5/3x

当x＝﹣b/2a=5/2时，y最大＝25/12,故选：C．

【点评】本题时动点问题的函数图象探究题，考查了分段表示函数关系式，应用了锐角三角函数，解答关键是理解图象反映出来的数学关系．

【解题策略】　解答此类问题的策略可以归纳为三步："看""写" "选"．(1)"看"就是认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点(时刻)是特殊点(时刻)，这是准确解答的前提和关键；(2)"写"就是计算、写出动点在不同路段的函数解析式，注意一定要注明自变量的取值范围，求出在特殊点的函数数值和自变量的值；(3)"选"就是根据解析式选择准确的函数图象或答案，多用排除法。首先，排除不符合函数类形的图象选项，其次，对于相同函数类型的函数图象选项，再用自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除，选出准确答案．

【例2】．(2018秋•包河区校级月考)已知如图在边长为2√2的正方形OABC中，直线m始终沿着与OB垂直的方向从点O平移到点B停止，速度是1，记直线m在正方形中扫过的区域面积为y，直线运动的时间为x，下列正确的反映y与x函数关系的图象是( )

【分析】根据题意可以求得AC的长，从而可以求得各段对应的函数解析式，进而得到相应的函数图象，本题得以解决．

【解答】∵正方形OABC的边长为2√2，∴对角线AC的长为4，

【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．

【例2的变式】．(2018•莱芜中考题)如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动(a的起始位置在B点)，速度均为每秒1个单位，运动时间为t(秒)，直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为( )

【分析】依据a和b同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分．

【解答】如图①，当0≤t＜1时，BE＝t，DE＝√3t，

∴s＝S△BDE＝1/2×t×√3t＝√3/2 t2；

如图②，当1≤t＜2时，CE＝2﹣t，BG＝t﹣1，

∴DE＝√3(2﹣t)，FG＝√3(t﹣1)，

∴s＝S五边形AFGED＝S△ABC﹣S△BGF﹣S△CDE＝1/2×2×√3﹣1/2×(t﹣1)×√3(t﹣1)﹣1/2×(2﹣t)×√3(2﹣t)＝﹣√3 t2+3√3t﹣3√3/2；

如图③，当2≤t≤3时，CG＝3﹣t，GF＝√3(3﹣t)，

∴s＝S△CFG＝1/2×(3﹣t)×√3(3﹣t)＝√3/2 t2﹣3√3t+9√3/2，

综上所述，当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选B．

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．

【解题策略】　解答此类题先要画出各个关键时刻的图形，再由"动"变"静"设法分别求解．用分类思想画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮助我们理清思路，突破难点。

例3．(2018秋•石景山区期末)如图，等边三角形和正方形的边长均为a，点B，C，D，E在同一直线上，点C与点D重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿BE向右匀速运动．当点C与点E重合时停止运动．设△ABC的运动时间为t秒，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，则下列图象中，能表示S与t的函数关系的图象大致是( )

【分析】分t≤1/2a、t＞1/2a两种情况，分别列出S与t的函数关系即可求解．

【解答】如图所示，设△ABC平移中与DG交于点H，

当t≤1/2a时，S＝S△HCD＝1/2CD•HD＝1/2t•t•tan60°＝√3/2t2，

该函数为开口向上的抛物线；

当t＞1/2a时，

该函数为开口向下的抛物线；故选：C．

【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

【例4】．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

(1)观察猜想

图1中，线段PM与PN的数量关系是______，∠MPN的度数是______　；

(2)探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝8，请直接写出△PMN面积的取值范围．

【分析】(1)利用三角形的中位线得出PM＝1/2CE，PN＝1/2BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；

(2)先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同(1)的方法得出PM＝1/2BD，PN＝1/2BD，即可得出PM＝PN，同(1)的方法即可得出结论；

(3)先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝12，再判断出BD最小时，△PMN最小，即可得出结论．

【解答】(1)∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝1/2BD，

∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝1/2CE，

∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，

∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，

∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，

∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，

故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；

(2)△PMN是等腰直角三角形．

由旋转知，∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，

利用三角形的中位线得，PN＝1/2BD，PM＝1/2CE，

∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，

同(1)的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，

同(1)的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，

∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC

＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC

＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，

∴△PMN是等腰直角三角形；

(3)由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝1/2BD，

∴PM最大时，△PMN面积最大，PM最小时，△PMN面积最小

∴点D在BA的延长线上，△PMN的面积最大，

∴BD＝AB+AD＝12，∴PM＝6，

∴S△PMN最大＝1/2PM2＝1/2×62＝18，

当点D在线段AB上时，△PMN的面积最小，

∴BD＝AB﹣AD＝4，∴PM＝2，

S△PMN最小＝1/2PM2＝1/2×22＝2，∴2≤S△PMN≤18．

【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解(1)的关键是判断出PM＝1/2CE，PN＝1/2BD，解(2)的关键是判断出△ABD≌△ACE，解(3)的关键是点D在线段AB和BA的延长线上时，△PMN的面积最小和最大．

牛刀小试：

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝√3，点P和点Q分别从点B和点C以相同速度出发，点Q沿射线BC方向运动，点P沿路径B﹣C﹣D运动，点P运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．过点Q作QH⊥直线BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的路程为x，△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为( )

2．(2018•安徽中考题)如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN＝1．正方形ABCD的边长为√2，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为( )

3．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．

(1)观察猜想：如图1中，△PMN是______ 三角形；

(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE．判断△PMN的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：将△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请求出△PMN面积的取值范围．

【练习答案及提示】1.B． 提示：本题为动点问题的函数图象问题，根据题意找到临界点，画出满足条件的一般图形是解题关键、

2.A 提示：当0≤x≤1时，y＝2√2x，当1＜x≤2时，y＝2√2，当2＜x≤3时，y＝﹣2√2x+6√2

，由此即可判断；

3. 9/2≤S△PMN≤49/2

提示：本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形性质和判定，三角形中位线定理，熟练运用等腰直角三角形的性质是本题的关键．

(1)由题意可得BD＝CE，根据三角形中位线定理，可证MP＝PN，根据角的数量关系可求∠MPN＝90°，即可证△PMN是等腰直角三角形；

(2)由题意可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，根据三角形中位线定理，可证MP＝PN，根据角的数量关系可求∠MPN＝90°，即可证△PMN是等腰直角三角形；

(3)由题意可得S△PMN＝1/2PN2＝1/2×(1/2BD)2＝1/8BD2，当点D在线段AB上时，BD最短；当点D在线段BA的延长线上时，BD最长，即可求△PMN面积的取值范围．

总之，解答动态型试题策略是：(1)动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；(2)动静互化，抓住"静"的瞬间，找出导致图形或变化规律发生改变的特殊时刻；同时在运动变化的过程中寻找不变性及变化规律．