SRM596 DIV2 1000

数论题，注意以下性质：

(1) 若 \( divisor | F(n) \) 则必存在整数 \(r\) 使得 \( n \equiv r^2 (mod \ divisor) (r \in \mathbf{N}且n>r^2) \)

(2) 若 \( n \equiv r^2 (mod \ divisor) (r \in \mathbf{N}且n>r^2) \) 则必有 \( divisor | F(n) \)

若 \(divisor\) 不是质数则性质不成立，因此原题转换为如下问题：

求区间 \( [lo, hi] \) 内满足 \( n \equiv r^2 (mod \ divisor) (r \in \mathbf{N}且n>r^2) \) 的所有不同的n的个数

利用同余的性质来对n进行划分：

定义 \( S(r) \) 为所有 \( n(r) \) 的集合

(1) 若 \( r_1^2 \not \equiv r_2^2 (mod \ divisor) \) 则 \( S(r_1) \cap S(r_2) = \emptyset \)

(2) 若 \( r_1^2 \equiv r_2^2 (mod \ divisor) ( r_1>r_2 ) \) 则 \( S(r_1) \subseteq S(r_2) \)

式(2)可以这样来看，\(r\) 越小 \(n>r^2\) 造成的n的下限就越小，所以 \(S(r)\) 的范围就越大

因此将所有的 \(n(r)\) 按照除以 \(divisor\) 的余数进行划分，对每一个划分，只保留最小的那个 \(r\) 的 \(S(r)\) 即 \(S(r_{min}) \)

若 \(n \leq max\)则：

\(S(r)=\{r^2+d, r^2+2d, r^2+3d, ..., r^2+kd \ | \ r^2+kd \leq max 且 r^2+(k+1)d > max \}\)

\(|S(r)|=(max-r^2) // divisor \)

\( \sum S(r_{min}) \) 即为所求，记得还要考虑 \(n\) 所在的区间 \([lo, hi]\)，

【优化】

更深层次的推导可以得出以下结论：

\( \sum_{r=0}^{divisor//2}S(r) \) 即为所求

猜测应该跟同余性质有关，但不知道怎么证，下面只给出没有优化过的代码

 1 class SparseFactorialDiv2:
 2     def getCount(self, lo, hi, divisor):
 3         return self.calc(hi, divisor) - self.calc(lo-1, divisor)
 4
 5     def calc(self, ran, divisor):
 6         mods = [False] * divisor
 7         y = 0
 8         tot = 0
 9         while y * y < ran:
10             r = y * y % divisor
11             if not mods[r]:
12                 mods[r] = True
13                 tot += (ran - y*y) // divisor
14             y = y + 1
15         return tot
16
17
18
19
20 # test
21 o = SparseFactorialDiv2()
22
23 # test: hi == lo
24 assert(o.getCount(1,1, 3) == 0)
25
26 # test case
27 assert(o.getCount(4, 8, 3) == 3)
28 assert(o.getCount(9, 11, 7) == 1)
29 assert(o.getCount(1, 1000000000000, 2) == 999999999999)
30 assert(o.getCount(16, 26, 11) == 4)
31 assert(o.getCount(10000, 20000, 997) == 1211)
32 assert(o.getCount(123456789, 987654321, 71) == 438184668)
33 print('ok')

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