【UAV】从单个螺旋桨到四旋翼无人机运动学分析
文章目录
- 1 单个螺旋桨受力分析
- 2 坐标变化
- 3 四个螺旋桨对无人机的影响
- 3.1 旋翼对位置的影响
- 3.2 旋翼对姿态角影响
- 4 机体坐标下的输出量
- 5 位置变量转换到世界坐标系
- 6 简化分析
1 单个螺旋桨受力分析
单个螺旋桨发生旋转时，如上图 M1M1M1 和 M2M2M2，会产生向上的升力 T1,T2T_1, T_2T1,T2 和旋转力矩 M1,M2M_1, M_2M1,M2，升力方向垂直螺旋桨竖直向上，旋转力矩方向一般假设为平行于飞机所在平面，垂直于机臂。
2 坐标变化
在分析四个螺旋桨对无人机的影响之前，先建立两个坐标系，分别是世界坐标系 SgS_gSg 和机体坐标系 SbS_bSb。同时给出二者之间的转换关系。
在世界坐标系 SgS_gSg 与机体坐标系 SbS_bSb 之间的转换矩阵为：
Mg2b=[cosθcosψcosθsinψ−sinθsinϕsinθcosψ−cosϕsinψsinϕsinθsinψ+cosϕcosψsinϕcosθcosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψcosϕcosθ]M_{g2b} = \left[\begin{matrix} \cos\theta \cos\psi & \cos\theta \sin\psi & -\sin\theta \\ \sin\phi \sin\theta \cos\psi - \cos\phi \sin\psi & \sin\phi \sin\theta \sin\psi + \cos\phi \cos\psi & \sin\phi \cos\theta \\ \cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi & \cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi & \cos\phi \cos\theta \\ \end{matrix}\right]Mg2b=⎣⎡cosθcosψsinϕsinθcosψ−cosϕsinψcosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosθsinψsinϕsinθsinψ+cosϕcosψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψ−sinθsinϕcosθcosϕcosθ⎦⎤
地面坐标系与机体坐标系之间的转换满足方程式（关于这个矩阵关系的替换请参考）
Sb=Mg2b⋅Sg或 Sg=Mb2g⋅SbS_b = M_{g2b} \cdot S_g ~~ \text{或} ~~ S_g = M_{b2g} \cdot S_bSb=Mg2b⋅Sg 或 Sg=Mb2g⋅Sb
Mb2g=[cosθcosψsinϕsinθcosψ−cosϕsinψcosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosθsinψsinϕsinθsinψ+cosϕcosψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψ−sinθsinϕcosθcosϕcosθ]M_{b2g}= \left[\begin{matrix} \cos\theta \cos\psi & \sin\phi \sin\theta \cos\psi - \cos\phi \sin\psi & \cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi \\ \cos\theta \sin\psi & \sin\phi \sin\theta \sin\psi + \cos\phi \cos\psi & \cos\phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi \\ -\sin\theta & \sin\phi \cos\theta & \cos\phi \cos\theta \\ \end{matrix}\right] Mb2g=⎣⎡cosθcosψcosθsinψ−sinθsinϕsinθcosψ−cosϕsinψsinϕsinθsinψ+cosϕcosψsinϕcosθcosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψcosϕcosθ⎦⎤
关于坐标系转换的详细推导过程请参考：第5章-无人机UAV模型分析。
3 四个螺旋桨对无人机的影响
根据建立的机体坐标与无人机机臂关系的不同，无人机可以分为“十”字飞行模式和“X”型飞行模式，分别如下图左和图右所示。关于“十”字飞行模式，讨论的较多。但是在实际飞行时，使用“X”型模式的更多。因此我们在这里使用“X”型坐标来进行以下的分析。
3.1 旋翼对位置的影响
关于飞机对 ZbZ_bZb 轴的影响，比较好理解，同时提升螺旋桨的升力 TiT_iTi，无人机便垂直提升，于是有
TZb=T1+T2+T3+T4(1)T_{Z_b} = T_1 + T_2 + T_3 + T_4 \tag{1}TZb=T1+T2+T3+T4(1)
其中 TZbT_{Z_b}TZb 表示在机体坐标系的 ZbZ_bZb 轴飞机受到的力。
这时候先别着急利用牛二定律映射到加速度 Z¨b\ddot{Z}_bZ¨b 上，要不然往下不好转换。
这里先不考虑重力加速度的影响，因为现在 ZbZ_bZb 还是机体坐标系下的值。并且机体坐标系会变，而重力加速度相对于世界坐标系是恒定不变的。
但如论如何更改四个螺旋桨的升力，都不会产生在 XbX_{b}Xb 和 YbY_{b}Yb 方向的改变，因此有
TXb=0(2)T_{X_b} = 0 \tag{2}TXb=0(2)
TYb=0(3)T_{Y_b} = 0 \tag{3}TYb=0(3)
3.2 旋翼对姿态角影响
同时无人机还具有三个姿态角，分别是滚转角 ϕ\phiϕ，俯仰角 θ\thetaθ，航向角 ψ\psiψ，注意这三个姿态角是相对于机体坐标系 SbS_bSb 而言的。那它们是如何变化的呢？
首先研究比较简单的航向角 ψ\psiψ。我们知道螺旋桨在旋转时会产生一个旋转力矩，而由于四个螺旋桨产生的旋转力矩刚好是相邻两个互为相反方向，因此刚好抵消掉。否则无人机将会发生原地旋转。那么我们想要让无人机发生原地旋转，就可以通过调整四个螺旋桨的转速实现。注意，这时候无论是“十”字还是“X”型模式都是一样的。比如我们可以通过同时减小 M1(T1),M3(T3)M_1(T_1), M_3(T_3)M1(T1),M3(T3)，提高 M2(T2),M4(T4)M_2(T_2), M_4(T_4)M2(T2),M4(T4)，那么飞机在保持总的升力不变的情况下，会发生逆时针旋转，达到改变航向角的目的。
不考虑空气阻力时，有
ψ¨=(−M1+M2−M3+M4)Iz(4)\ddot{\psi} = \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4)}{I_z} \tag{4}ψ¨=Iz(−M1+M2−M3+M4)(4)
考虑空气阻力时，有
ψ¨=(−M1+M2−M3+M4−K6ψ˙)Iz(4)\ddot{\psi} = \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4 - K_6 \dot{\psi})}{I_z} \tag{4}ψ¨=Iz(−M1+M2−M3+M4−K6ψ˙)(4)
其中 K6K_6K6 是阻力系数（drag coefficient），由空气动力学决定的。
而改变滚转角 ϕ\phiϕ 和俯仰角 θ\thetaθ，则是利用的飞机四个螺旋桨的升力差。首先是滚转角 ϕ\phiϕ，因为滚转角是围绕 XbX_bXb 轴发生转动，结合图可知，我们需要提升 T2,T3T_2, T_3T2,T3，减小 T1,T4T_1, T_4T1,T4。同理，改变俯仰角 θ\thetaθ，俯仰角是围绕 YbY_bYb 轴发生转动，因此提升 T1,T2T_1, T_2T1,T2，减小 T3,T4T_3, T_4T3,T4。
不考虑空气阻力时，有
ϕ¨=L(−T1+T2+T3−T4)Ix(5)\ddot{\phi} = \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4)}{I_x} \tag{5}ϕ¨=IxL(−T1+T2+T3−T4)(5)
θ¨=L(T1+T2−T3−T4)Iy(6)\ddot{\theta} = \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4)}{I_y} \tag{6}θ¨=IyL(T1+T2−T3−T4)(6)
考虑空气阻力时，有
ϕ¨=L(−T1+T2+T3−T4−K4ϕ˙)Ix(5)\ddot{\phi} = \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4 - K_4 \dot{\phi})}{I_x} \tag{5}ϕ¨=IxL(−T1+T2+T3−T4−K4ϕ˙)(5)
θ¨=L(T1+T2−T3−T4−K5θ˙)Iy(6)\ddot{\theta} = \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4 - K_5 \dot{\theta})}{I_y} \tag{6}θ¨=IyL(T1+T2−T3−T4−K5θ˙)(6)
这里用到了一点力矩和角动量的关系，请参考【控制】四旋翼无人机姿态角分析。
4 机体坐标下的输出量
这样我们便得到了无人机六个输出量的表达式（注意这时候没考虑重力，且受力分析是在机体坐标系下的）。
{TXb=0TYb=0TZb=T1+T2+T3+T4ϕ¨=L(−T1+T2+T3−T4−K4ϕ˙)Ixθ¨=L(T1+T2−T3−T4−K5θ˙)Iyψ¨=(−M1+M2−M3+M4−K6ψ˙)Iz(7)\left\{\begin{aligned} T_{X_b} &= 0 \\ T_{Y_b} &= 0 \\ T_{Z_b} &= T_1 + T_2 + T_3 + T_4 \\ \ddot{\phi} &= \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4 - K_4 \dot{\phi})}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4 - K_5 \dot{\theta})}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4 - K_6 \dot{\psi})}{I_z} \\ \end{aligned}\right. \tag{7}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧TXbTYbTZbϕ¨θ¨ψ¨=0=0=T1+T2+T3+T4=IxL(−T1+T2+T3−T4−K4ϕ˙)=IyL(T1+T2−T3−T4−K5θ˙)=Iz(−M1+M2−M3+M4−K6ψ˙)(7)
当飞机在低速飞行时，阻力系数常常可以忽略，因此可以有
{TXb=0TYb=0TZb=T1+T2+T3+T4ϕ¨=L(−T1+T2+T3−T4)Ixθ¨=L(T1+T2−T3−T4)Iyψ¨=(−M1+M2−M3+M4)Iz(7)\left\{\begin{aligned} T_{X_b} &= 0 \\ T_{Y_b} &= 0 \\ T_{Z_b} &= T_1 + T_2 + T_3 + T_4 \\ \ddot{\phi} &= \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4)}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4)}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4)}{I_z} \\ \end{aligned}\right. \tag{7}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧TXbTYbTZbϕ¨θ¨ψ¨=0=0=T1+T2+T3+T4=IxL(−T1+T2+T3−T4)=IyL(T1+T2−T3−T4)=Iz(−M1+M2−M3+M4)(7)
在机体坐标下的位置状态 Xb,Yb,ZbX_b, Y_b, Z_bXb,Yb,Zb 不方便我们的研究，因此我们通过坐标变换，转换到世界坐标 SgS_gSg 下。
5 位置变量转换到世界坐标系
因为之前先忽略了重力的影响，接下来我们需要把重力加速度考虑进去。
首先将无人机收到的在机体坐标系下的力 TXb,TYb,TZbT_{X_b}, T_{Y_b}, T_{Z_b}TXb,TYb,TZb 转换到世界坐标系下。同时加上在 ZgZ_gZg 轴的重力加速度的影响。
[TXgTYgTZg]=[cosθcosψsinϕsinθcosψ−cosϕsinψcosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosθsinψsinϕsinθsinψ+cosϕcosψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψ−sinθsinϕcosθcosϕcosθ][TXbTYbTZb]=[cosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψcosϕcosθ](T1+T2+T3+T4)−[00mg](8)\begin{aligned} \left[\begin{matrix} T_{X_g} \\ T_{Y_g} \\ T_{Z_g} \\ \end{matrix}\right]&= \left[\begin{matrix} \cos\theta \cos\psi & \sin\phi \sin\theta \cos\psi - \cos\phi \sin\psi & \cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi \\ \cos\theta \sin\psi & \sin\phi \sin\theta \sin\psi + \cos\phi \cos\psi & \cos\phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi \\ -\sin\theta & \sin\phi \cos\theta & \cos\phi \cos\theta \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} T_{X_b} \\ T_{Y_b} \\ T_{Z_b} \\ \end{matrix}\right] \\ &= \left[\begin{matrix} \cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi \\ \cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi \\ \cos\phi \cos\theta \\ \end{matrix}\right] (T_1 + T_2 + T_3 + T_4) - \left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ m g \\ \end{matrix}\right] \end{aligned} \tag{8}⎣⎡TXgTYgTZg⎦⎤=⎣⎡cosθcosψcosθsinψ−sinθsinϕsinθcosψ−cosϕsinψsinϕsinθsinψ+cosϕcosψsinϕcosθcosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψcosϕcosθ⎦⎤⎣⎡TXbTYbTZb⎦⎤=⎣⎡cosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψcosϕcosθ⎦⎤(T1+T2+T3+T4)−⎣⎡00mg⎦⎤(8)
这时候再考虑使用牛二定律，转换到加速度上。此时的加速度刚好是在世界坐标系下的。
TXg=mX¨g=(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)(T1+T2+T3+T4)(9)T_{X_g} = m \ddot{X}_g = (\cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4) \tag{9}TXg=mX¨g=(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)(T1+T2+T3+T4)(9)
TYg=mY¨g=(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)(T1+T2+T3+T4)(10)T_{Y_g} = m \ddot{Y}_g = (\cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4) \tag{10}TYg=mY¨g=(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)(T1+T2+T3+T4)(10)
TZg=mZ¨g=(cosϕcosθ)(T1+T2+T3+T4)−mg(11)T_{Z_g} = m \ddot{Z}_g = (\cos\phi \cos\theta)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4) - mg \tag{11}TZg=mZ¨g=(cosϕcosθ)(T1+T2+T3+T4)−mg(11)
无人机的六个输出量，其中加速度是在世界坐标系下：
{X¨g=(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)(T1+T2+T3+T4)mY¨g=(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)(T1+T2+T3+T4)mZ¨g=(cosϕcosθ)(T1+T2+T3+T4)m−gϕ¨=L(−T1+T2+T3−T4−K4ϕ˙)Ixθ¨=L(T1+T2−T3−T4−K5θ˙)Iyψ¨=(−M1+M2−M3+M4−K6ψ˙)Iz(12)\left\{\begin{aligned} \ddot{X}_g &= \frac{(\cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} \\ \ddot{Y}_g &= \frac{(\cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} \\ \ddot{Z}_g &= \frac{(\cos\phi \cos\theta)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} - g \\ \ddot{\phi} &= \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4 - K_4 \dot{\phi})}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4 - K_5 \dot{\theta})}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4 - K_6 \dot{\psi})}{I_z} \\ \end{aligned}\right. \tag{12}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧X¨gY¨gZ¨gϕ¨θ¨ψ¨=m(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)(T1+T2+T3+T4)=m(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)(T1+T2+T3+T4)=m(cosϕcosθ)(T1+T2+T3+T4)−g=IxL(−T1+T2+T3−T4−K4ϕ˙)=IyL(T1+T2−T3−T4−K5θ˙)=Iz(−M1+M2−M3+M4−K6ψ˙)(12)
同样，忽略了空气阻力影响时，有
{X¨g=(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)(T1+T2+T3+T4)mY¨g=(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)(T1+T2+T3+T4)mZ¨g=(cosϕcosθ)(T1+T2+T3+T4)m−gϕ¨=L(−T1+T2+T3−T4)Ixθ¨=L(T1+T2−T3−T4)Iyψ¨=(−M1+M2−M3+M4)Iz(12)\left\{\begin{aligned} \ddot{X}_g &= \frac{(\cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} \\ \ddot{Y}_g &= \frac{(\cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} \\ \ddot{Z}_g &= \frac{(\cos\phi \cos\theta)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} - g \\ \ddot{\phi} &= \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4)}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4)}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4)}{I_z} \\ \end{aligned}\right. \tag{12}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧X¨gY¨gZ¨gϕ¨θ¨ψ¨=m(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)(T1+T2+T3+T4)=m(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)(T1+T2+T3+T4)=m(cosϕcosθ)(T1+T2+T3+T4)−g=IxL(−T1+T2+T3−T4)=IyL(T1+T2−T3−T4)=Iz(−M1+M2−M3+M4)(12)
到这里我们的控制关系，也可以说是变量关系就明确了。知道了六个输出量 Xg,Yg,Zg,ϕ,θ,ψX_g, Y_g, Z_g, \phi, \theta, \psiXg,Yg,Zg,ϕ,θ,ψ，通过上式就可以计算出四个螺旋桨的升力 T1,T2,T3,T4T_1, T_2, T_3, T_4T1,T2,T3,T4 了，而扭矩 M1,M2,M3,M4M_1, M_2, M_3, M_4M1,M2,M3,M4 和升力都与转速正相关，也可以理解成知道每个螺旋桨需要达到的转速了。
6 简化分析
不过因为我们不是专门研究空气动力学下无人机的飞行问题，因此接下来的讨论都将忽略空气阻力的影响。同时为了表示方便，我们假设 Mi=C⋅Ti,i=1,2,3,4M_i = C \cdot T_i, i=1,2,3,4Mi=C⋅Ti,i=1,2,3,4。定义四个变量与螺旋桨升力有如下关系，
[ufuϕuθuψ]=[1111−LLL−LLL−L−L−CC−CC][T1T2T3T4]=[T1+T2+T3+T4(−T1+T2+T3−T4)L(T1+T2−T3−T4)L(−T1+T2−T3+T4)C](13)\begin{aligned} \left[\begin{matrix} u_f \\ u_\phi \\ u_\theta \\ u_\psi \\ \end{matrix}\right]&= \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -L & L & L & -L \\ L & L & -L & -L \\ -C & C & -C & C \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} T_1 \\ T_2 \\ T_3 \\ T_4 \\ \end{matrix}\right] \\ &= \left[\begin{matrix} T_1 + T_2 + T_3 + T_4 \\ (-T_1 + T_2 + T_3 - T_4) L \\ (T_1 + T_2 - T_3 - T_4) L \\ (-T_1 + T_2 - T_3 + T_4) C \\ \end{matrix}\right] \end{aligned} \tag{13}⎣⎢⎢⎡ufuϕuθuψ⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡1−LL−C1LLC1L−L−C1−L−LC⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡T1T2T3T4⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡T1+T2+T3+T4(−T1+T2+T3−T4)L(T1+T2−T3−T4)L(−T1+T2−T3+T4)C⎦⎥⎥⎤(13)
这样，（12）就可以简化为
{X¨g=(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)ufmY¨g=(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)ufmZ¨g=(cosϕcosθ)ufm−gϕ¨=uϕIxθ¨=uθIyψ¨=uψIz(14)\left\{\begin{aligned} \ddot{X}_g &= \frac{(\cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi)~ u_f}{m} \\ \ddot{Y}_g &= \frac{(\cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi)~ u_f}{m} \\ \ddot{Z}_g &= \frac{(\cos\phi \cos\theta)~ u_f}{m} - g \\ \ddot{\phi} &= \frac{u_\phi}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{u_\theta}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{u_\psi}{I_z} \\ \end{aligned}\right. \tag{14}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧X¨gY¨gZ¨gϕ¨θ¨ψ¨=m(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ) uf=m(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ) uf=m(cosϕcosθ) uf−g=Ixuϕ=Iyuθ=Izuψ(14)
再一次
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