一、正规式和正规集

正规集：程序设计语言的单词表、词汇集构成的集合，即是字的集合。它有一定特殊性，我们称之为正规集。用来代表程序语言的单词表。

正规式：可以说是正规集的名称。

正规集可以用正规表达式（简称正规式）表示
正规表达式是表示正规集一种方法
一个字集合是正规集当且仅当它能用正规式表示

比如，冯诺依曼构造自然数的方案，使用集合来定义（正规集）,表达式来表达（正规式）：

集合	表达式
$\varnothing$	0
$\{\varnothing \}$	1
$\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$	2
$\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing,\{\varnothing \}\}\}$	3

再比如：

DIM单独来说是一个正规式，也可以表达含有DIM和空集的正规集，即{DIM， $\O$ }。

DIM，IF可以当作一个正规式，则{DIM，IF， $\O$ }为其对应的正规集。

二、正规式和正规集的递归定义

对给定的字母表( $\Sigma$ 为字母表):

${\color{Red} \varepsilon}$ 和 ${\color{Red} \varnothing}$ 都是 $\Sigma$ 上的正规式，它们所表示的正规集为 ${\color{Blue} \{\varepsilon\}}$ 和 ${\color{Blue} \varnothing}$
任何 ${\color{Green} \alpha} \epsilon \Sigma$ ，则 ${\color{Red} \alpha}$ 是 $\Sigma$ 上的正规式，它所表示的正规集为 ${\color{Blue} \{\alpha \}}$
假定 $e_1$ 和 $e_2$ 都是 $\Sigma$ 上的正规式，它们所表示的正规集为 $L$e_1$$ 和 $L$e_2$$ ，则：

1） $(e_1|e_2)$ 为正规式，它所表示的正规集为 $L(e_1) \cup L(e_2)$

2） $(e_1\cdot e_2)$ 为正规式（做连接），它所表示的正规集为 $L(e_1)L(e_2)$ （连接）

3） $(e_1)^*$ 为正规式，它所表示的正规集为 $(L(e_1))^*$ （闭包）

优先级：‘ $\cdot$ ’比‘|’高

仅由有限次使用上述三步骤而定义的表达式才是 $\Sigma$ 上的正规式，仅由这些正规式表示的字集才是 $\Sigma$ 上的正规集。

所有词法结构一般都可以用正规式描述

若两个正规式所表示的正规集相同，则称这两个正规式等价。如 b(ab)*=(ba)*b

证明

左侧：

L(b(ab)*)

= L(b)L((ab)*)

= L(b)(L(ab))*

= L(b)(L(a)L(b))*

= {b}{ab}*

= {b}{ $\varepsilon$ ,ab, abab,ababab,…}

= {b,bab,babab,bababab,…}

右侧：

L((ba)*b)

= L((ba)*)L(b)

= (L(ba))*L(b)

= (L(b)L(a))*L(b)

= {ba}*{b}

= { $\varepsilon$ ,ba,baba,bababa,...}{b}

= {b,bab,babab,bababab,...}

由于：L(b(ab)*) = L( (ba)*b)

因此：b(ab)*=(ba)*b

等价成立式

$e_1$ | $e_2$ = $e_2$ | $e_1$ 交换律

$e_1$ |( $e_2$ | $e_3$ ) = ( $e_1$ | $e_2$ )| $e_3$ 结合律

$e_1$ ( $e_2$ $e_3$ ) =( $e_1$ $e_2$ ) $e_3$ 结合律

$e_1$ ( $e_2$ | $e_3$ ) = $e_1$ $e_2$ | $e_1$ $e_3$ 分配律

( $e_1$ | $e_3$ ) $e_1$ = $e_2$ $e_1$ | $e_3$ $e_1$ 分配律

$e_\varepsilon$ = $\varepsilon e$ = $e$ $e_1$ $e_2$ != $e_2$ $e_1$

三、有限自动机（Finite Automata）

确定与非确定统称为有限自动机。

1.确定有限自动机（DFA，Deterministic Finite Automata）

对状态图进行形式化，则可以下定义：

确定有限自动机 (DFA) M 是一个五元式

此处M是指其DFA实例： DFA M

M=(S, $\Sigma$ , f, $S_0$ , F),其中:

1.S:有穷状态集，即包含起点重点在内的，各个状态

2. $\Sigma$ :输入字母表(有穷)，即状态改变的条件

3.f:状态转换函数，为 $S\times \Sigma \rightarrow S$ 的单值部分映射，即由A状态到B状态的改变

f(s,a) = s’ 表示：当现行状态为s ，输入字符为a时，将状态转换到下一状态s’，s’称为s的一个后继状态

4. $S_0\in S$ :是唯一的一个初态，即起点唯一

5. $F\subseteq S$ ：终态集(可空)，即最终状态，不唯一。

比如：

DFA M=({0，1，2，3}，{a，b}，f，0，{3})，

其中，f 定义如下：

f(0，a) = 1， f(0，b) = 2

f(1，a) = 3， f(1，b) = 2

f(2，a) = 1， f(2，b) = 3

f(3，a) = 3， f(3，b) = 3

如上图所示，DFA 可以表示为状态转换图

假定 DFA M含有m个状态和n个输入字符
这个图含有m个状态结点，每个结点顶多含有 n 条箭弧射出，且每条箭弧用 Σ 上的不同的输入字符来作标记

对于Σ * 中的任何字 $\alpha$ ，若存在一条从初态到某一终态的道路，且这条路上所有弧上的标记符连接成的字等于 $\alpha$ ，则称 $\alpha$ 为DFA M 所识别(接收)

DFA M 所识别的字的全体记为 L(M)

换言之，从初态到终态的字符，构成了一个字（一个字符也可以定义为一个字）。而所有的初态到终态可形成的字的集合就是字符集。

字与字的组合（或者单个字）可以作为一个正规式，其所代表的就是正规集。

2.非确定有限自动机 (NFA，Nondeterministic Finite Automata)

一个非确定有限自动机 (NFA) M，

是一个五元式 M=(S, $\Sigma$ , f, $S_0$ , F) ，其中：

1.S: 有穷状态集

2. $\Sigma$ :输入字母表(有穷)

3.f: 状态转换函数， $S\times \Sigma ^{* \to} 2^S$ 为的部分映射

4. $S_0\subseteq S$ :是非空的初态集

5 $F\subseteq S$ ：终态集 ( 可空 )

对于 $\Sigma$ * 中的任何字 $\alpha$ ，若存在一条从初态到某一终态的道路，且这条路上所有弧上的标记字连接成的字等于 $\alpha$ ( 忽略那些标记为 $\varepsilon$ 的弧 ) ，则称 $\alpha$ 为 NFA M 所识别 ( 接收 )

NFA M 所识别的字的全体记为 L(M)

NFA示例：

3.区别

DFA：

如有后继状态，则其后继状态是唯一的
只有一个初态
弧上标记仅能为长度为1的字或单个字符
易于程序实现

NFA：

给定当前状态，其后继状态不是唯一的。
可有多个初态。
弧上的标记可以是字符、字，还可以是正规式。
同一个字可以出现在同状态的多条弧上
易于人工设计

DFA是NFA的特例

4.NFA与DFA

定义：对于任何两个有限自动机M和M’ ，如果L(M)=L(M’)，则称 M 与 M’ 等价

自动机理论中一个重要的结论：判定两个自动机等价性的算法是存在的

对于每个NFA M 存在一个DFA M’，使得L(M)=L(M’)

DFA 与 NFA 描述能力相同

5.将NFA等价转换为DFA

1.假定 NFA M=< $S,\Sigma ,\delta ,S_0,F$ >，我们对M的状态转换图进行以下改造：

1) 引进新的初态结点X和终态结点Y，X,Y $\notin$ S，从X到 $S_0$ 中任意状态结点连一条 $\varepsilon$ 箭弧，从F中任意状态结点连一条 $\varepsilon$ 箭弧到 Y 。

（即，我们给一个NFA M多个初态前加了一个状态，使得其有唯一初态，末态同理）

2) 对M的状态转换图进一步施行替换，其中k是新引入的状态。

（即，我们将aa，bb这样的换位下图3，4过程）

替换方法

通过上述过程，逐步把这个图转变为每条弧只标记为 $\Sigma$ 上的一个字符或 $\varepsilon$ ，

最后得到一个 NFA M’ ，显然 L(M’)=L(M)

2.接着我们再把把上述 NFA 确定化——采用子集法

概念

设 $I$ 是的状态集的一个子集，定义 $I$ 的 $\varepsilon$ - 闭包， $\varepsilon$ - closure( $I$ ) 为 :

i) 若 s $\in$ $I$ ，则 s $\in \varepsilon$ -closure(I) ；

ii) 若 s $\in$ $I$ ，则从 s 出发经过任意条 $\varepsilon$ 弧而能到达的任何状态 s’ 都属于 $\varepsilon$ -closure( $I$ ) 即

$\varepsilon$ -closure( $I$ )= $I$ $\cup$ {s’| 从某个 s‘| 出发经过任意条 $\varepsilon$ 弧能到达 s’

设 $\alpha$ 是 $\Sigma$ 中的一个字符，定义

$I_a$ = $\varepsilon$ -closure(J)

其中， J 为 $I$ 中的某个状态出发经过一条 $\alpha$ 弧而到达的状态集合。

比如

$\varepsilon$ -closure({1}) = {1 ， 2} = $I$ (从1出发，看与它距离一个 $\varepsilon$ 的状态，就为 $I$ ）

J = {5 ， 4 ， 3}（从 $\varepsilon$ -closure({1}) 出发，需要经过一个 $\alpha$ 距离的状态就是J）

$I_a$ = $\varepsilon$ -closure(J) = $\varepsilon$ -closure({5 ， 4 ， 3}) = {5 ， 4 ， 3 ， 6 ， 2 ， 7 ， 8}

6.正规式与有限自动机的等价性

对任何 FA M ，都存在一个正规式 r ，使得 L(r)=L(M) 。
对任何正规式 r ，都存在一个 FA M ，使得 L(M)=L(r) 。

证明：

1.对 $\Sigma$ 上任一 NFA M ，构造一个 $\Sigma$ 上的正规式 r ，使得 L(r)=L(M) 。

首先，在 M 的转换图上加进两个状态 X 和 Y ，从 X 用 $\varepsilon$ 弧连接到 M 的所有初态结点，从 M 的所有终态结点用 $\varepsilon$ 弧连接到 Y ，从而形成一个新的 NFA ，记为 M’ ，它只有一个初态 X 和一个终态 Y ，显然 L(M)=L(M’) 。
然后，反复使用下面的一条规则，逐步消去的所有结点，直到只剩下 X 和 Y 为止
最后， X 到 Y 的弧上标记的正规式即为所构造的正规式 r
显然 L(r)=L(M)=L(M’)

替换方式即为之前的相反方向。

注意，要保留下每一个状态。比如下图，我们将1.左上的图变换至右上的图，2.再将右上的图变为最下面的图。

证明:

2.对于 $\Sigma$ 上的正规式r，构造一个 NFA M，使 L(M)=L(r)，并且 M 只有一个终态，而且没有从该终态出发的箭弧。

下面使用关于 r 中运算符数目的归纳法证明上述结论。

1）若 r 具有零个运算符，则 r= $\varepsilon$ 或 r= $\varnothing$ 或 r=a ，其中 a $\in \Sigma$ 。此时下图所示的三个有限自动机显然符合上述要求。

左：识别 $\varepsilon$ $M_i$

中：识别空

右：长度为1的字符

2）假设结论对于少于 k(k $\geq$ 1) 个运算符的正规式成立。当 r 中含有 k 个运算符时， r 有三种情形：

情形 1 ： $r =r_1|r_2$

$r_1$ 和 $r_2$ 中运算符个数少于k 。从而，由归纳假设，对 $r_i$ 存在 $Mi=<S_i,\Sigma _i, \delta _i,q_i,\{f_i\}>$ ，使得 $L(M_i) = L(r_i)$ ，并且 $M_i$ 没有从终态出发的箭弧（ i=1,2 ）。不妨设 $S_i\cap S_2$ = $\varnothing$ ，在 $S_1\cup S_2$ 中加入两个新状态 $q_0,f_0$ 。

情形 2 ： $r = r_1r_2$

设 $M_i$ 同情形 1(i=1,2)

情形 2 ： $r = r_1^*$

设 $M_1$ 同情形1

7.将正规表达式转换为有限自动机的算法

1）构造 $\Sigma$ 上的 NFA M’ 使得 L(V)=L(M’)

把 V 表示成

一样的替换逻辑

2）逐步把这个图转变为每条弧只标记为 $\Sigma$ 上的一个字符或 $\varepsilon$ ，最后得到一个 NFA M’ ，显然 L(M’)=L(V)

比如：

四、确定有限自动机的化简

是指：对DFA M的化简 : 寻找一个状态数比 M 少的 DFA M’ ，使得 L(M)=L(M’)

假设 s 和 t 为 M 的两个状态，称 s 和 t 等价：如果从状态 s 出发能读出某个字（任意） $\alpha$ 而停止于终态，那么同样，从 t 出发也能读出 $\alpha$ 而停止于终态；反之亦然

两个状态不等价，则称它们是可区别的（存在一个 $\alpha$ ，使得从状态 s 出发能读出某个字（任意） $\alpha$ 停止于终态，从 t 出发读出 $\alpha$ 停止于非终态，或者反过来）

DFA M 最少化的基本思想

把 M 的状态集划分为一些不相交的子集，使得任何两个不同子集的状态是可区别的 ，而同一子集的任何两个状态是等价的。最后，让每个子集选出一个代表，同时消去其他状态

按照上述原则，对 DFA 的状态集合 S 进行第一次划分，将集合分为：终态和非终态。即找到一个字，划分连个状态（比如空字）

对 M 的状态集进行划分

1 首先，把 S 划分为终态和非终态两个子集，形成基本划分 $\Pi$ 。

2 假定到某个时候， $\Pi$ 已含 m 个子集，记为 $\Pi = \{ I^{(1)}, I^{(2)} ,...,I^{(m)}\}$ ，检查 $\Pi$ 中的每个子集看是否能进一步划分:

对某个 $I^{(i)}$ ，令 $I^{(1)} = \{ S_1,S_2,...,S_k\}$ ，若存在一个输入字符 a 使得 $I_a^{(i)}$ 不会包含在现行 $\Pi$ 的某个子集 $I^{(j)}$ 中，则至少应把 $I^{(i)}$ 分为两个部分。

2.1 如何划分为两个部分：

假定状态 $S_1$ 和 $S_2$ 经 a 弧分别到达 $t_1$ 和 $t_2$ : $t_1$ 和 $t_2$ 属于现行 $\Pi$ 中的两个不同子集。说明有一个字 $\alpha$ ， $t_1$ 读出 $\alpha$ 后到达终态，而 $t_2$ 读出 $\alpha$ 后不能到达终态，或者反之。
那么对于字 a $\alpha$ ， $S_1$ 读出 a $\alpha$ 后到达终态，而 $S_2$ 读出 a $\alpha$ 不能到达终态，或者反之
所以 $S_1$ 和 $S_2$ 不等价
将 I (i) 分成两半，使得一半含有 $S_1$ : $I^{$i1$} = \{s|s\in I^{$i$}$ ,且 s 经 a 弧到达 t, 且 t 与 $t_1$ 属于现行 $\Pi$ 中的同一子集 $\}$ ;另一半含有 $S_1$ : $I^{$i2$} = I^{$i$} - I^{$i1$}$
一般地，对某个 a 和 $I^{(i)}$ ，若 $I_a^{(i)}$ 落入现行 $\Pi$ 中 N 个不同子集，则应把 $I^{(i)}$ 划分成 N 个不相交的组，使得每个组 J 的 $J_a$ 都落入的 $\Pi$ 同一子集。这样构成新的划分。

3 重复上述过程，直到 $\Pi$ 所含子集数不再增长。

4 对于上述最后划分 $\Pi$ 中的每个子集，我们选取每个子集 $I$ 中的一个状态代表其他状态，则可得到化简后的 DFA M’ 。

5 若 $I$ 含有原来的初态，则其代表为新的初态 ，若 $I$ 含有原来的终态，则其代表为新的终态

我们使用上述算法，对下图优化：

首先把其分为两个集合：非终态和终态集合：

随后，我们判断非终态集合：识别a时，发现3不在当前子集中：

于是将抵达1的与抵达3的分开：

在此判断第一个集合，判断识别a时，抵达状态是否在子集；判断识别b时，状态是否在子集中，发现不在：

于是将抵达2的和抵达4的分开：

在此判断，发现非终态集合划分完毕。判断终态，发现均在子集中：

由此可以画出：

五、词法分析器的自动产生 --LEX

Yacc 与 Lex 快速入门

http://www.ibm.com/developerworks/cn/linux/sdk/lex/index.html

UNIX, LINUX

The Lex & Yacc Page

http://dinosaur.compilertools.net/

Flex (The Fast Lexical Analyzer)：

http://flex.sourceforge.net/

for Windows:

http://gnuwin32.sourceforge.net/packages/flex.htm

六、正规文法与有限自动机的等价性

对于正规文法 G 和有限自动机 M ，如果 L(G) ＝ L(M) ，则称 G 和 M 是等价的

关于正规文法和有限自动机的等价性，有以下结论：

1. 对每一个右线性正规文法 G 或左线性正规文法 G ，都存在一个有限自动机 (FA) M ，使得 $L(M) = L(G)$

2. 对每一个 FA M ，都存在一个右线性正规文法 $G_R$ 和左线性正规文法 $G_L$ ，使得 $L(M) = L(G_R) = L(G_L)$

例子：

右线性文法->NFA：

推导：

左线性文法->NFA

推导：

证明：

1.对每一个右线性正规文法 G 或左线性正规文法 G ，都构造一个有限自动机 (FA) M ，使得 L(M) ＝ L(G) 。

(1) 设右线性正规文法 $G = <V_T,V_N,S,P>$ 。将 $V_N$ 中的每一非终结符号视为状态符号，并增加一个新的终结状态符号 f ， $f\notin V_N$ 。令 $M = <V_N\cup \{f\},V_T,\delta,S,\{f\}>$ ，其中状态转换函数 $\delta$ 由以下规则定义：

(a)若对某个 $A\in V_N$ 及 $a\in V_T\cup \{\varepsilon \}$ ， P 中有产生式 A→a ，则令 $\delta$ (A,a)=f

(b) 对任意的 $A\in V_N$ 及 $a\in V_T\cup \{\varepsilon \}$ ，设 P 中左端为 A ，右端第一符号为 a 的所有产生式为： A→ $aA_1$ |…| $aA_k$ （不包括 A→a ），则令 $\delta$ (A,a)={ $aA_1$ ,…, $aA_k$ } 。

显然，上述 M 是一个 NFA 。

(2) 设左线性正规文法 $G = <V_T,V_N,S,P>$ 。将 $V_N$ 中的每一非终结符号视为状态符号，并增加一个初始状态符号 $q_0$ ， $q_0\notin V_N$ 。令 M= $M = <V_N\cup \{q_0\},V_T,\delta,q_0,\{S\}>$ ，其中状态转换函数 $\delta$ 由以下规则定义：

(a) 若对某个 $A\in V_N$ 及 $a\in V_T\cup \{\varepsilon \}$ ，若 P 中有产生式 A→a，则令 $\delta$ ( $q_0$ ,a)=A

(b) 对任意的 $A\in V_N$ 及 $a\in V_T\cup \{\varepsilon \}$ ，若 P 中所有右端第一符号为 A ，第二个符号为 a 的产生式为： $A_1\rightarrow A_a,...,A_k \rightarrow A_a$ 则令 $\delta$ (A,a)= $\{A_1,...,A_k\}$ 。

与 (1) 类似，可以证明 L(G) ＝ L(M)

2.对每一个 DFA M ，都存在一个右线性正规文法 $G_R$ 和左线性正规文法 GL ，使得 L(M) ＝ L( $G_R$ ) ＝ L( $G_L$ ) 。

设 DFA $<S,\Sigma, \delta ,s_0,F>$

(1)若 $s_0\notin F$ ，我们令 $G_R = <\Sigma ,S,s_0,P>$ ，其中 P 是由以下规则定义的产生式集合：

对任何 $a\in \Sigma$ 及 A,B $\in$ S ，若有 $\delta$ (A,a)=B ，则:

(a)当 B $\in$ F 时，令 A→aB

(b) 当 B $\in$ F 时，令 A→a|aB 。

对任何 $w\in \Sigma ^*$ ，不妨设 $w = a_1,...,a_k$ ，其中 $a_i\in \Sigma$ (i=1,…k) 。若 $s_0 \overset{+}{\Rightarrow} w$ ，则存在一个最左推导：

$s_0 \Rightarrow a_1A_1 \Rightarrow a_1a_2A_2 \Rightarrow ...\Rightarrow a_1...a_iA_i \Rightarrow a_1...a_i+1A_i+1\Rightarrow...a_1...a_k$

因而，在 M 中有一条从 $s_0$ 出发依次经过 $A_1,...,A_{k-1}$ 到达终态的通路，该通路上所有箭弧的标记依次为 $a_1,...,a_k$ 。反之亦然。所以， w $\in$ L(GR ) 当且仅当 w $\in$ L(M) 。

(2)现在考虑 $s_0\in F$ 的情形,

因为 $\delta = \{s_0,\varepsilon \}$ ，所以 $\varepsilon \in L(M)$ 。但 $\varepsilon$ 不属于上面构造的 $G_R$ 所产生的语言 L( $G_R$ ) 。不难发现， L( $G_R$ )=L(M)-{ $\varepsilon$ } 。

所以，我们在上述 GR 中添加新的非终结符号 $s_0'$ ， ( $s_0'\notin S$ )和产生式 $s_0'\rightarrow s_0|\varepsilon$ ，并用 $s_0'$ 代替 $s_0$ 作开始符号。这样修正 $G_R$ 后得到的文法 $G_R'$ 仍是右线性正规文法，并且 L( $G_R'$ )=L(M) 。

(2) 类似于 (1) ，从 DFA M 出发可构造左线性正规文法 $G_L$ ，使得 L( $G_L$ )=L(M) 。最后，由 DFA 和 NFA 之间的等价性，结论 2 得证明。

小结

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