文章目录

一、基础概念
二、一个总体参数的假设检验
- 1. 大样本均值检验
- 2. 小样本均值检验
- 3. 大样本总体比例检验
- 4. 总体方差检验
三、两个总体参数的假设检验
- 1. 独立大样本均值检验
- 2. 独立小样本均值检验
- 3. 小样本配对样本均值检验
- 4. 大样本配对样本均值检验
- 5. 大样本总体比例之差检验
- 6. 独立总体方差比检验

一、基础概念

第Ⅰ类错误：弃真错误，原假设是真的，但却被我们拒绝了，α\alphaα

第Ⅱ类错误：取伪错误，原假设是假的，但却被我们接受了，β\betaβ

显著性水平：当原假设正确时，检验统计量落在拒绝域的概率，也就是犯弃真错误的概率，事先确定好，一般取0.01，0.05，0.1等

双侧检验：原假设形式为“≠”

单侧检验：备择假设为“<”称为左侧检验，备择假设为“>”称为右侧检验

拒绝域：

大样本：样本量>=30

小样本：样本量<30

二、一个总体参数的假设检验

1. 大样本均值检验

大样本情况下，样本均值的抽样分布近似服从正态。

检验统计量：
σ已知：z=x−μ0σ/nσ未知：z=x−μ0s/n\sigma已知：z=\frac{x-\mu_0}{\sigma/\sqrt n} \\\sigma未知：z=\frac{x-\mu_0}{s/\sqrt n} σ已知：z=σ/nx−μ0σ未知：z=s/nx−μ0
拒绝域：
双侧检验：∣z∣>zα/2左侧检验：z<−zα右侧检验：z>zα双侧检验：|z|>z_{\alpha/2} \\左侧检验：z<-z_{\alpha} \\右侧检验：z>z_{\alpha} 双侧检验：∣z∣>zα/2左侧检验：z<−zα右侧检验：z>zα

2. 小样本均值检验

假设总体服从正态分布。

检验统计量：
σ已知：z=x‾−μ0σ/nσ未知：t=x‾−μ0s/n\sigma已知：z=\frac{\overline x-\mu_0}{\sigma/\sqrt n} \\\sigma未知：t=\frac{\overline x-\mu_0}{s/\sqrt n} σ已知：z=σ/nx−μ0σ未知：t=s/nx−μ0
总体方差未知的拒绝域：
双侧检验：∣t∣>tα/2(n−1)左侧检验：t<−tα(n−1)右侧检验：t>tα(n−1)双侧检验：|t|>t_{\alpha/2}(n-1) \\左侧检验：t<-t_{\alpha}(n-1) \\右侧检验：t>t_{\alpha}(n-1) 双侧检验：∣t∣>tα/2(n−1)左侧检验：t<−tα(n−1)右侧检验：t>tα(n−1)

3. 大样本总体比例检验

检验统计量：
z=p−π0π0(1−π0)nz=\frac{p-\pi_0}{\sqrt{\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}} z=nπ0(1−π0)p−π0

4. 总体方差检验

无论大样本还是小样本，都要求总体服从正态分布

检验统计量：
χ2=(n−1)s2σ02\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} χ2=σ02(n−1)s2
拒绝域：
双侧检验：χ2<χ1−α/22或χ2>χ1−α/22左侧检验：χ2<χ1−α2右侧检验：χ2>χα2双侧检验：\chi^2<\chi^2_{1-\alpha/2}或\chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2} \\左侧检验：\chi^2<\chi^2_{1-\alpha} \\右侧检验：\chi^2>\chi^2_{\alpha} 双侧检验：χ2<χ1−α/22或χ2>χ1−α/22左侧检验：χ2<χ1−α2右侧检验：χ2>χα2

三、两个总体参数的假设检验

1. 独立大样本均值检验

检验统计量：
σ1和σ2已知：z=(x‾1−x‾2)−(μ1−μ2)σ12/n1+σ22/n2σ1和σ2未知：z=(x‾1−x‾2)−(μ1−μ2)s12/n1+s22/n2\sigma_1和\sigma_2已知： z=\frac{(\overline x_1-\overline x_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} \\\sigma_1和\sigma_2未知： z=\frac{(\overline x_1-\overline x_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} σ1和σ2已知：z=σ12/n1+σ22/n2(x1−x2)−(μ1−μ2)σ1和σ2未知：z=s12/n1+s22/n2(x1−x2)−(μ1−μ2)

2. 独立小样本均值检验

假定两个总体都服从正态

σ1和σ2已知：z=(x‾1−x‾2)−(μ1−μ2)σ12/n1+σ22/n2σ1和σ2未知但相等：t=(x‾1−x‾2)−(μ1−μ2)sp1/n1+1/n2(sp2=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2)σ1和σ2未知且不等：t=(x‾1−x‾2)−(μ1−μ2)s12/n1+s22/n2(v=(s12n1+s22n2)2(s12n1)2n1−1+(s22n2)2n2−1)\sigma_1和\sigma_2已知： z=\frac{(\overline x_1-\overline x_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} \\\sigma_1和\sigma_2未知但相等：t=\frac{(\overline x_1-\overline x_2)-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}} \\(s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}) \\\sigma_1和\sigma_2未知且不等：t=\frac{(\overline x_1-\overline x_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} \\(v=\frac{(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2})^2}{\frac{(\frac{s_1^2}{n_1})^2}{n_1-1}+\frac{(\frac{s_2^2}{n_2})^2}{n_2-1}}) σ1和σ2已知：z=σ12/n1+σ22/n2(x1−x2)−(μ1−μ2)σ1和σ2未知但相等：t=sp1/n1+1/n2(x1−x2)−(μ1−μ2)(sp2=n1+n2−2(n1−1)s12+(n2−1)s22)σ1和σ2未知且不等：t=s12/n1+s22/n2(x1−x2)−(μ1−μ2)(v=n1−1(n1s12)2+n2−1(n2s22)2(n1s12+n2s22)2)

σ1\sigma_1σ1和σ2\sigma_2σ2未知但相等时，t服从自由度为n1+n2−2n_1+n_2-2n1+n2−2的t分布
σ1\sigma_1σ1和σ2\sigma_2σ2未知且不等时，t服从自由度为vvv的t分布，v计算后四舍五入取整数

3. 小样本配对样本均值检验

假定两个总体配对差值构成的总体服从正态分布

检验统计量：
t=d‾−(μ1−μ2)sd/nt=\frac{\overline d-(\mu_1-\mu_2)}{s_d/\sqrt{n}} t=sd/nd−(μ1−μ2)

d‾\overline dd表示配对差值平均数；sds_dsd表示配对差值标准差
服从t(n−1)t(n-1)t(n−1)

4. 大样本配对样本均值检验

假定两个总体配对差值构成的总体服从正态分布

检验统计量：
z=d‾−(μ1−μ2)sd/nz=\frac{\overline d-(\mu_1-\mu_2)}{s_d/\sqrt{n}} z=sd/nd−(μ1−μ2)

d‾\overline dd表示配对差值平均数；sds_dsd表示配对差值标准差

5. 大样本总体比例之差检验

要求两个样本都是大样本：n1p1,n1(1−p1),n2p2,n2(1−p2)n_1p_1, n_1(1-p_1),n_2p_2,n_2(1-p_2)n1p1,n1(1−p1),n2p2,n2(1−p2)都大于等于10

检验统计量：
z=(p1−p2)−(π1−π2)σp1−p2(σp1−p2=π1(1−π1)n1+π2(1−π2)n2)z=\frac{(p_1-p_2)-(\pi_1-\pi_2)}{\sigma_{p_1-p_2}} \\(\sigma_{p_1-p_2}=\sqrt{\frac{\pi_1(1-\pi_1)}{n_1}+\frac{\pi_2(1-\pi_2)}{n_2}}) z=σp1−p2(p1−p2)−(π1−π2)(σp1−p2=n1π1(1−π1)+n2π2(1−π2))

由于π1\pi_1π1和π2\pi_2π2未知，需要由p1p_1p1和p2p_2p2估计
检验两总体比例之差是否为0：p=x1+x2n1+n2=p1n1+p2n2n1+n2σp1−p2=p(1−p)n1+p(1−p)n2=p(1−p)(1n1+1n2)检验两总体比例之差是否为某非零常数：σp1−p2=p1(1−p1)n1+p2(1−p2)n2检验两总体比例之差是否为0：p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}=\frac{p_1n_1+p_2n_2}{n_1+n_2} \\\sigma_{p_1-p_2}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n_1}+\frac{p(1-p)}{n_2}}=\sqrt{p(1-p)(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})} \\检验两总体比例之差是否为某非零常数：\sigma_{p_1-p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} 检验两总体比例之差是否为0：p=n1+n2x1+x2=n1+n2p1n1+p2n2σp1−p2=n1p(1−p)+n2p(1−p)=p(1−p)(n11+n21)检验两总体比例之差是否为某非零常数：σp1−p2=n1p1(1−p1)+n2p2(1−p2)

6. 独立总体方差比检验

两总体独立取自两正态总体
双侧检验时，通常用较大的样本方差除以较小的样本方差，保证拒绝域在F分布的右侧
单侧检验时，也可同样安排为右侧检验

检验统计量：
F=s12s22F=\frac{s_1^2}{s_2^2} F=s22s12

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