四分位数(定义、位置、数值)
一、定义
四分位数(Quartile)是统计学中分位数的一种,即把所有数据由小到大排列并分成四等份,处于三个分割点位置的数据就是四分位数。
第一四分位数 (Q1),又称“下四分位数”,等于该样本中所有数据由小到大排列后第25%的数据。
第二四分位数 (Q2),又称“中位数”,等于该样本中所有数据由小到大排列后第50%数据。
第三四分位数 (Q3),又称“上四分位数”,等于该样本中所有数据由小到大排列后第75%的数据。
第三四分位数与第一四分位数的差距又称四分位距(InterQuartile Range, IQR)。
二、四分位数的位置的确定
(一)方法一:
先将变量值从小到大排列。
第一四分位数 (Q1),又称“下四分位数”,位置的确定:
(1)首先计算n/4。
(2)如果n/4结果为整数,则下四分位数位于“n/4“的位置和(n/4)+1位置的中间。
(3)如果n/4结果不是整数,则向上取整,所得结果即为下四分位数的位置。
第二四分位数 (Q2),又称“中位数”,位置的确定:
第二四分位数 (Q2),又称“中位数”位置在( n+1)/2处。
第三四分位数 (Q3),又称“上四分位数”,位置的确定:
(1)首先计算3n/4。
(2)如果3n/4结果为整数,则上四分位数位于“3n/4“的位置和(3n/4)+1位置的中间。
(3)如果3n/4结果不是整数,则向上取整,所得结果即为上四分位数的位置。
(二)方法二
先将变量值从小到大排列。
第一四分位数 (Q1),又称“下四分位数”,位置的确定:
位置:(n+1)/4。
第二四分位数 (Q2),又称“中位数”,位置的确定:
位置: (n+1)/2处。
第三四分位数 (Q3),又称“上四分位数”,位置的确定:
位置:3(n+1)/4
(三)方法三(适用定序数据):
第一四分位数 (Q1),又称“下四分位数”,位置的确定:
位置:n/4。
第二四分位数 (Q2),又称“中位数”,位置的确定:
位置: n/2处。
第三四分位数 (Q3),又称“上四分位数”,位置的确定:
位置:3n/4
三、四分位数的确定:
(一)方法一:
先将变量值从小到大排列。
第一四分位数 (Q1),又称“下四分位数”的确定:
(1)首先计算n/4。
(2)如果n/4结果为整数,则将“n/4“的位置和(n/4)+1位置上的两个变量值的算术平均数作为下四分位数。
(3)如果n/4结果不是整数,则向上取整,所得结果即为下四分位数的位置,该位置上的数即为下四分位数。
第二四分位数 (Q2),又称“中位数”的确定:
(1)如果( n+1)/2为整数,则该位置上的变量值即是中位数。
(2) 如果( n+1)/2不是整数,则该位置上旁边的两个变量值的算术平均数作为中位数。
第三四分位数 (Q3),又称“上四分位数”的确定:
(1)首先计算3n/4。
(2)如果3n/4结果为整数,则将位于“3n/4位置上“的数值和(3n/4)+1位置上的两个变量值的算术平均数作为上四分位数。
(3)如果3n/4结果不是整数,则向上取整,所得结果即为上四分位数的位置,该位置上的数即为上四分位数。
(二)方法二
先将变量值从小到大排列。
第一四分位数 (Q1),又称“下四分位数”,的确定:
(1)如果( n+1)/4为整数,则该位置上的变量值即是下四分位数。
(2) 如果( n+1)/4不是整数,则该位置上旁边的两个变量值的算术平均数作为下四分位数。
第二四分位数 (Q2),又称“中位数”的确定:
(1)如果( n+1)/2为整数,则该位置上的变量值即是中位数。
(2) 如果( n+1)/2不是整数,则该位置上旁边的两个变量值的算术平均数作为中位数。
第三四分位数 (Q3),又称“上四分位数”的确定:
(1)如果3( n+1)/4为整数,则该位置上的变量值即是上四分位数。
(2) 如果3( n+1)/4不是整数,则该位置上旁边的两个变量值的算术平均数作为上四分位数。
(三)方法三(适用定序数据):
第一四分位数 (Q1),又称“下四分位数”的确定:
(1)如果 n/4为整数,则该位置上的顺序数据即是下四分位数。
(2) 如果n/4不是整数,则向上取整,所得结果即为下四分位数的位置,该位置上的顺序数据即为下四分位数。
第二四分位数 (Q2),又称“中位数”的确定:
(1)如果 2n/4为整数,则该位置上的顺序数据即是第二四分位数。
(2) 如果2n/4不是整数,则向上取整,所得结果即为第二四分位数的位置,该位置上的顺序数据即为第二四分位数。
第三四分位数 (Q3),又称“上四分位数”的确定:
(1)如果 3n/4为整数,则该位置上的顺序数据即是上四分位数。
(2) 如果3n/4不是整数,则向上取整,所得结果即为上四分位数的位置,该位置上的顺序数据即为上四分位数。
(四)方法四(比例法)
1.第一四分位数 (Q1),又称“下四分位数”的确定.
(1)先根据(n+1)/4计算出 下四分位数的位置
(2) 再按比例计算出下四分位数
下四分位数=下四分位数的位置前项变量值+(下四分位数的位置后项变量值—下四分位数的位置前项变量值)X[(n+1)/4-(n+1)/4的取整值)],即(n+1)/4的小数部分的数值。
2.第二四分位数 (Q2),又称“中位数”的确定。
(1)先根据2(n+1)/4计算出 第二四分位数的位置
(2) 再按比例计算出下四分位数
第二四分位数=第二四分位数的位置前项变量值+(第二四分位数的位置后项变量值—第二四分位数的位置前项变量值)X[2(n+1)/4-2(n+1)/4的取整值)],即2(n+1)/4的小数部分的数值。
2. 第三四分位数 (Q3),又称“上四分位数”的确定:
(1)先根据3(n+1)/4计算出 第二四分位数的位置
(2) 再按比例计算出下四分位数
第三四分位数=第三四分位数的位置前项变量值+(第三四分位数的位置后项变量值—第三四分位数的位置前项变量值)X[3(n+1)/4-3(n+1)/4的取整值)],即3(n+1)/4的小数部分的数值。
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