RMQ问题是求解区间最值的问题。

这里分析的是ST算法，它可以对所有要处理的数据做到O(nlogn)的预处理，对每个区间查询做到O(1)查询

ST算法本质是一个DP的过程

这里通过举一个求最大值实例来理解ST算法：

我们有这样一串数字

数值：35 13 65 99 88 75 64 51 42  55 66 83 12 44 65 12

位置：1    2  3   4   5   6   7    8   9  10 11 12 13 14 15 16

首先我们定义一个dp表达式：st[i][j]表示从i位置开始的2^j个数中的最大值；

具体解释：st[1][0]就是从第一个数字开始的一个数里的最大值，也就是第一个数本身，即st[1][0]=35；

　　           st[2][2]就是从第二个数字开始的四个数里的最大值，也就是13,65,99,88里面的最大值，即st[2][2]=99；

　　　　　以此类推

　　然后我们来看怎么用dp的思想来解决这个问题

　　回到刚刚的实例，我们由我们所定义的st式可以得知st[5][3]是[88,75,64,51,42,55,66,83]中的最大值。

　　现在我们来试着用dp的思想，也就是将整体化为部分求解的思想。

　　要求前面st[5][3]所代表区间的最大值，也就是求[88,75,64,51]和[42,55,66,83]两个区间的最大值中的较大值，即st[5][2]和st[9][2]

而这样的划分是一个二分划分，根据这种思想我们可以类推出，求i至其后2^j个数的最大值，即把2^j分成前后两个2^(j-1)，分别取最大值，再通过比较获得此状态最大值。

到此我们可以得出我们的dp表达式：st[i][j] = max( st[i][j-1],st[i+2^(j-1)][j-1] )

通过这种方法我们可以求出一段段区间的最大值

求ST表代码

void cal_st( int n, int a[] ) {  //n为区间元素个数，a数组存的是区间里的元素for( int i = 1; i <= n; i ++ ) {st[i][0] = a[i];}for( int j = 1; j <= log2(n); j ++ ) {for( int i = 1; i <= n-(1<<j)+1; i ++ ) {st[i][j] = max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}
}

接下来让我们回到RMQ问题：

　　我们可以知道，任意的i至j之间的j-i+1个连续的值，一定可以分为两个2^n个数的两个区间

　　比如求3到11之间的最大值；

　　因为3到11之间有9个元素，最大可以成8个元素大小的区间；

　　所以我们可以将其分为[3,10]和[4,11]两个区间；（分成的两个区间一个是从开头取八个，一个是从最后往前取八个）

　　然后通过求这两个区间最大值中的较大值得到3到11之间的最大值

抽象成一个广义数学问题：

　　求[i,j]区间最大值；

　　num = j-i+1; p = 2^((int)(log2(num)));

　　rmq(i,j) = max( st[i][p], st[i-2^p+1][p] )

　　num：[i,j]区间元素个数，p：[i,j]区间可以连续分成的最大2^n区间的大小

　　rmq(i,j)：查询[i,j]区间最大值

rmq查询代码：

int rmq( int le, int ri ) {  //le为查询区间开始位置，ri为查询区间结束位置int p = log2(ri-le+1);return max(st[le][p],st[ri-(1<<p)+1][p]);
}

参考博客：https://blog.csdn.net/z287438743z/article/details/8132806

例题：洛谷P3865

题目背景

这是一道ST表经典题——静态区间最大值

请注意最大数据时限只有0.8s，数据强度不低，请务必保证你的每次查询复杂度为 O(1)

题目描述

给定一个长度为 N 的数列，和 M 次询问，求出每一次询问的区间内数字的最大值。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数 N, M ，分别表示数列的长度和询问的个数。

第二行包含 N个整数（记为 ai​ ），依次表示数列的第 i 项。

接下来 M 行，每行包含两个整数 li​,ri​ ，表示查询的区间为[li​,ri​]

输出格式：

输出包含 M 行，每行一个整数，依次表示每一次询问的结果。

输入输出样例

8 8
9 3 1 7 5 6 0 8
1 6
1 5
2 7
2 6
1 8
4 8
3 7
1 8

9
9
7
7
9
8
7
9

说明

对于30%的数据，满足：1≤N,M≤10

对于70%的数据，满足： 1≤N,M≤105

对于100%的数据，满足： 1≤N≤105,1≤M≤106,ai​∈[0,10^9],1≤li​≤ri​≤N

分析：一个st表的模板题

　　st[i][j]表示以第i个数为首的一共2^j个数的最大值

　　ai表示原数列

可以得到:

if( j == 1 ) {st[i][j] = a[i]
} else {st[i][j] = max( st[i][j-1], st[i+(1<<(j-1))][j-1] );
}

AC代码：

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <bitset>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls (r<<1)
#define rs (r<<1|1)
#define debug(a) cout << #a << " " << a << endl
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 1e5+10;
const ll mod = 998244353;
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
ll st[maxn][20];  //ll表示long long,个人习惯整数定义成long long
void cal_st( ll n, ll a[] ) {for( ll i = 1; i <= n; i ++ ) {st[i][0] = a[i];}for( ll j = 1; j <= log2(n); j ++ ) {for( ll i = 1; i <= n-(1<<j)+1; i ++ ) {st[i][j] = max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}
}ll rmq( ll le, ll ri ) {ll p = log2(ri-le+1);return max(st[le][p],st[ri-(1<<p)+1][p]);
}
int main() {ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);ll n, t, a[maxn];scanf("%lld%lld",&n,&t);for( ll i = 1; i <= n; i ++ ) {scanf("%lld",&a[i]);}cal_st(n,a);while( t -- ) {ll le, ri;scanf("%lld%lld",&le,&ri);printf("%lld\n",rmq(le,ri));}return 0;
}