卡特兰数（高精度乘法压位）

889. 满足条件的01序列

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给定 n

个 0 和 n 个 1，它们将按照某种顺序排成长度为 2n 的序列，求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1

的个数的序列有多少个。

输出的答案对 109+7

取模。

输入格式

共一行，包含整数 n

。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示答案。

数据范围

1≤n≤105

输入样例：

输出样例：

* 假定在一个二维矩阵的地图里，向右走为0，向上走为1，则要求能排列成的所有序列中，
* 能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1 的个数的序列，所有点都满足为或者在
* (0,0) 到 (n,n) 的直线上或者在下方。只要有点越过直线 y=x+1 ，再到达点(n,n)，
* 则这种排列就是不符合要求的。所以不符合要求的走法一定满足从(0,0) 到 (n-1,n+1) 的
* 路线关于 y=x+1 对称 (因为(0,0) 到 (n,n+1) 的路线一定是不合法的,并且(n,n)与
* (n-1,n+1) 关于 y=x+1 对称。)。那么我们只要 C(2*n,n) - C(2*n,n-1) 就是答案。
*
* C(2*n,n) - C(2*n,n-1) =C(2*n,n)/(n+1);()
*
* 卡特兰数：
* C(2*n,n) - C(2*n,n-1) =(2*n)! / (n! * n! * (n+1))

/*** 假定在一个二维矩阵的地图里，向右走为0，向上走为1，则要求能排列成的所有序列中，* 能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1 的个数的序列，所有点都满足为或者在* (0,0) 到 (n,n) 的直线上或者在下方。只要有点越过直线 y=x+1 ，再到达点(n,n)，* 则这种排列就是不符合要求的。所以不符合要求的走法一定满足从(0,0) 到 (n-1,n+1) 的* 路线关于 y=x+1 对称 (因为(0,0) 到 (n,n+1) 的路线一定是不合法的,并且(n,n)与* (n-1,n+1) 关于 y=x+1 对称。)。那么我们只要 C(2*n,n) - C(2*n,n-1) 就是答案。* * C(2*n,n) - C(2*n,n-1) =C(2*n,n)/(n+1);()* * 卡特兰数：* C(2*n,n) - C(2*n,n-1) =(2*n)! / (n! * n! * (n+1))
*/#include <iostream>using namespace std;typedef long long LL;const int mod=1e9+7,maxn=1e5+10;
int fac[2*maxn],infac[maxn];int qmi(int a,int b,int p)
{int res=1;while(b){if(b&1)res=(LL)res*a%mod;a=(LL)a*a%mod;b>>=1;}return res;
}void init(int n)
{fac[0] = infac[0] = 1; //初始化for(int i=1;i<=2*n;++i)fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;for(int i=1;i<=n;++i)infac[i]=(LL)infac[i-1]*qmi(i,mod-2,mod)%mod; //必须要用qmi求逆元
}int main()
{int n;cin >> n;init(n);cout << (LL)fac[2*n]*infac[n]%mod*infac[n]%mod *qmi(n+1,mod-2,mod)%mod  << endl;return 0;
}

130. 火车进出栈问题

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一列火车 n

节车厢，依次编号为 1,2,3,…,n

。

每节车厢有两种运动方式，进栈与出栈，问 n

节车厢出栈的可能排列方式有多少种。

输入格式

输入一个整数 n

，代表火车的车厢数。

输出格式

输出一个整数 s

表示 n

节车厢出栈的可能排列方式数量。

数据范围

1≤n≤60000

输入样例：

输出样例：

* 卡特兰数：
* C(2*n,n) - C(2*n,n-1) =(2*n)! / (n! * n! * (n+1))；
*
* 这个题与满足条件的01序列解法一样，只不过这个题是输出全部方案数，不取模，
* 输出高精度数据；由于数据较大，所以我们用质因数分解的方法来求解。
* 最后由于高精度数据相乘是主要的算法时间消耗，因此我们优化高精度数据相乘，
* 用LL来存储结果，每次相乘我们以 M=1e9 作为进制数，（这样两个M相乘也不会爆LL）；
* 这样能减少许多乘法步骤；这种方法称为高精度压位。

/*** 假定在一个二维矩阵的地图里，向右走为0，向上走为1，则要求能排列成的所有序列中，* 能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1 的个数的序列，所有点都满足为或者在* (0,0) 到 (n,n) 的直线上或者在下方。只要有点越过直线 y=x+1 ，再到达点(n,n)，* 则这种排列就是不符合要求的。所以不符合要求的走法一定满足从(0,0) 到 (n-1,n+1) 的* 路线关于 y=x+1 对称 (因为(0,0) 到 (n,n+1) 的路线一定是不合法的,并且(n,n)与* (n-1,n+1) 关于 y=x+1 对称。)。那么我们只要 C(2*n,n) - C(2*n,n-1) 就是答案。* * C(2*n,n) - C(2*n,n-1) =C(2*n,n)/(n+1);()* * 卡特兰数：* C(2*n,n) - C(2*n,n-1) =(2*n)! / (n! * n! * (n+1))；* * 这个题与满足条件的01序列解法一样，只不过这个题是输出全部方案数，不取模，* 输出高精度数据；由于数据较大，所以我们用质因数分解的方法来求解。* 最后由于高精度数据相乘是主要的算法时间消耗，因此我们优化高精度数据相乘，* 用LL来存储结果，每次相乘我们以 M=1e9 作为进制数，（这样两个M相乘也不会爆LL）；* 这样能减少许多乘法步骤；这种方法称为高精度压位。
*/#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const LL M=1e9;
const int N = 12e4+10;
int p[N],sum[N],num=0;
bool hs[N];void get_primer(int n) //获得n以内的素数
{for(int i=2;i<=n;++i){if(hs[i]==0)p[num++]=i;for(int j=0;p[j]<=n/i;++j){hs[p[j]*i]=1;if(i%p[j]==0)break;}}
}int cal(int n,int p) //计算n! 内有多少个因子p
{int cnt=0;while (n){cnt+=n/p;n/=p;}return cnt;
}void get_pow(int a,int b) //将C(a,b) 进行质因子分解
{for(int i=0;i<num;++i){int cnt=cal(a,p[i]) -cal(b,p[i])*2;sum[i]=cnt;}
}void mul(vector<LL> &A,int b) //高精度与整数相乘
{LL d=0;for(int i=0;i<A.size();++i){d+=A[i]*b;A[i]=d%M;d/=M;}while(d){A.push_back(d%M);d/=M;}
}void print(vector<LL> &res)  //输出高精度数据
{cout << res.back();  // 最后一位不需要输出九位for(int i=res.size()-2;i>=0;--i)printf("%09lld",res[i]);  //因为是按着1e9作为进制数，所以中间的位要输出九位，cout << endl;               //不足九位的补零
}int main()
{int n;cin >> n;get_primer(2*n);get_pow(2*n,n);int r=n+1;for(int i=0;i<num && r>1;++i){while(r%p[i]==0){sum[i]-=1;r/=p[i];}}vector<LL> res;res.push_back(1);for(int i=0;i<num;++i)for(int j=0;j<sum[i];++j)mul(res,p[i]);print(res);return 0;}

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