利用正交变换判断二次曲面类型

正交变换是欧式空间保持向量内积不变的线性变换。不仅保持向量的长度不变，而且还保持向量
的夹角不变。二维或三维空间中的旋转变换、关于某一条直线或平面的对称变换都是正交变换．投影变换、平移变换不是正交变换．
正交变它从实内积空间 VVV 映射到 VVV自身，保持变换前后内积不变．它应用在几何学上就是保持变换前后图形的不变性，这是正交变换的优势，从而达到了判断二次曲面类型、辨明二次曲面形状的目的．

任意一个实二次型

f(x1,x2,⋯xn)=∑i=1n∑j=1naijxixj=XTAX,(aij=aji)f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}=X^{T} A X,\left(a_{i j}=a_{j i}\right)f(x1,x2,⋯xn)=i=1∑nj=1∑naijxixj=XTAX,(aij=aji)

都可以经过正交的线性替换变成平方和 λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2\lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n} y_{n}^{2}λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2 ，其中 λi(i=1，2，…，n)λ_i( i = 1，2，…，n)λi(i=1，2，…，n) 就是矩阵AAA的特征多项式全部的根．(高代第八，九章)

前置结论：

Q1. 方程

x12−2x22−2x32−4x1x2+4x1x3+8x2x3=1x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}=1 x12−2x22−2x32−4x1x2+4x1x3+8x2x3=1

表示何种二次曲面?

解: 首先利用正交的线性替换将实二次型

f(x1,x2,x3)=x12−2x22−2x32−4x1x2+4x1x3+8x2x3f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}f(x1,x2,x3)=x12−2x22−2x32−4x1x2+4x1x3+8x2x3

化为标准形

A=(1−22−2−2424−2),X=(x1x2x3)A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)A=⎝⎛1−22−2−2424−2⎠⎞,X=⎝⎛x1x2x3⎠⎞

AAA 的特征多项式为

f(λ)=∣λI−A∣=∣λ−12−22λ+2−4−2−4λ+2∣=(λ+7)(λ−2)2,f(\lambda)=|\lambda I-A|=\left|\begin{array}{ccc} \lambda-1 & 2 & -2 \\ 2 & \lambda+2 & -4 \\ -2 & -4 & \lambda+2 \end{array}\right|=(\lambda+7)(\lambda-2)^{2},f(λ)=∣λI−A∣=∣∣λ−12−22λ+2−4−2−4λ+2∣∣=(λ+7)(λ−2)2,

AAA 的特征值为 λ1=λ2=2,λ3=−7.\lambda_{1}=\lambda_{2}=2, \lambda_{3}=-7 .λ1=λ2=2,λ3=−7.
可求得对应的 λ1=λ2=2\lambda_{1}=\lambda_{2}=2λ1=λ2=2 特征向量分别为 p1=(−2,1,0)T,p2=(2,0,1)Tp_{1}=(-2,1,0) ^{T}, p_{2}=(2,0,1)^{T}p1=(−2,1,0)T,p2=(2,0,1)T, 将其正交化

α1=p1=(−2,1,0)T,α2=p2−(p1,α1)(α1,α1)α1=(23,45,1)T， \alpha_{1}=p_{1}=(-2,1,0) ^T, \alpha_{2}=p_{2}-\frac{\left(p_{1}, \alpha_{1}\right)}{\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}\right)} \alpha_{1}=\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{5}, 1\right)^{T} \text { ， }α1=p1=(−2,1,0)T,α2=p2−(α1,α1)(p1,α1)α1=(32,54,1)T ，

再单位化得

q1=(−25,15,0)T,q2=(235,435,535)T,q_{1}=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right)^{T}, q_{2}=\left(\frac{2}{3 \sqrt{5}}, \frac{4}{3 \sqrt{5}}, \frac{5}{3 \sqrt{5}}\right)^{T},q1=(−52,51,0)T,q2=(352,354,355)T,

又对应 λ3=−7\lambda_{3}=-7λ3=−7 的特征向量为 p3=(−1,−2,2)Tp_{3}=(-1,-2,2)^{T}p3=(−1,−2,2)T ，单位化得 q3=(−13,−23,23)Tq_{3}=\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)^Tq3=(−31,−32,32)T ，故正交变换

(x1x2x3)=(−25235−1315435−23053523)(y1y2y3)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{2}{3 \sqrt{5}} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{4}{3 \sqrt{5}} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{5}{3 \sqrt{5}} & \frac{2}{3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}\right)⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛5−2510352354355−31−3232⎠⎞⎝⎛y1y2y3⎠⎞

将实二次型 f(x1,x2,x3)f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)f(x1,x2,x3) 化为标准形

f=2y12+2y22−7y32,f=2 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}-7 y_{3}^{2},f=2y12+2y22−7y32,

可知方程 f(x1,x2,x3)=x12−2x22−2x32−4x1x2+4x1x3+8x2x3=1f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}=1f(x1,x2,x3)=x12−2x22−2x32−4x1x2+4x1x3+8x2x3=1 表示的曲面为单叶双曲面.

Q2.
判断二次曲面 2x2+2y2+3z2+4xy+2xz+2yz−4z+6y−2z+3=02 x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+4 x y+2 x z+2 y z-4 z+6 y-2 z+3=02x2+2y2+3z2+4xy+2xz+2yz−4z+6y−2z+3=0 的形状.
分析: 可先通过正交变换再通过平移变换, 将二次曲面方程化成标准形式的方程.

解:

A=(221221113),B=(−46−2),X=(xyz)A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 6 \\ -2 \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)A=⎝⎛221221113⎠⎞,B=⎝⎛−46−2⎠⎞,X=⎝⎛xyz⎠⎞

则二次曲面方程为 XTAX+BTX+3=0.X^{T} A X+B^{T} X+3=0 .XTAX+BTX+3=0.
AAA 的特征值为 λ=2,5,0\lambda=2,5,0λ=2,5,0, 对应的单位特征向量为
(1616−26),(131313),(−12120),\left(\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{-2}{\sqrt{6}} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array}\right), ⎝⎛61616−2⎠⎞,⎝⎛313131⎠⎞,⎝⎛2−1210⎠⎞,

则经正交变换 X=CYX=CYX=CY , 即
(xyz)=(1613−12161312−26130)Y,\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{-2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \end{array}\right) Y, ⎝⎛xyz⎠⎞=⎝⎛61616−23131312−1210⎠⎞Y,

二次曲面方程化为

YT(CTAC)Y+BCY+3=0,Y^{T} (C^{T} A C) Y+B C Y+3=0,YT(CTAC)Y+BCY+3=0,

即

2x2+5y2+6x′+52z′+3=0,2 x^{2}+5 y^{2}+\sqrt{6} x^{\prime}+5 \sqrt{2} z^{\prime}+3=0, 2x2+5y2+6x′+52z′+3=0,

配方,得
2(x′+64)2+5y2=−52(z′+9240),2\left(x^{\prime}+\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^{2}+5 y^{2}=-5 \sqrt{2}\left(z^{\prime}+\frac{9 \sqrt{2}}{40}\right), 2(x′+46)2+5y2=−52(z′+4092),

再经平移变换

{x′′=x′+64y′′=y′z′′=z′+9240\left\{\begin{array}{c} x^{\prime \prime}=x^{\prime}+\frac{\sqrt{6}}{4} \\ y^{\prime \prime}=y^{\prime} \\ z^{\prime \prime}=z^{\prime}+\frac{9 \sqrt{2}}{40} \end{array}\right.⎩⎨⎧x′′=x′+46y′′=y′z′′=z′+4092

二次曲面方程化为 2x′′2+5y′′2=−52z′′2 x^{\prime \prime 2}+5 y^{\prime \prime 2}=-5 \sqrt{2} z^{\prime \prime}2x′′2+5y′′2=−52z′′ , 是椭圆抛物面.

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