Reed-Muller码 (RM码)：RM码的布尔函数(Boolean Functions)表示

Reed-Muller码 (RM码) 可依赖布尔函数(Boolean Functions)进行定义。

给定RM码码长n=2mn=2^mn=2m，那么需要v1,⋯,vmv_1, \cdots, v_mv1,⋯,vm共mmm个取值为0或1的变量。设v=(v1,⋯,vm)∈Vmv = (v_1, \cdots, v_m) \in V^mv=(v1,⋯,vm)∈Vm是一个mmm元组，那么布尔函数f(v)=f(v1,⋯,vm)f(v) = f(v_1, \cdots, v_m)f(v)=f(v1,⋯,vm)的取值为0或1。

当m=3m = 3m=3，fff的值可以用真值表表示，即

布尔函数的逻辑运算表示为
f异或g=f+gf异或g = f + gf异或g=f+g;
f和g=fgf和g = fgf和g=fg;
f或g=f+g+fgf或g = f+g+fgf或g=f+g+fg;
非f=fˉ=1+f非f=\bar f=1+f非f=fˉ=1+f;

由于vi2=viv_i^2 = v_ivi2=vi，给定v=(v1,⋯,vm)v = (v_1, \cdots, v_m)v=(v1,⋯,vm)，f(v)f(v)f(v)可以表示成如下2m2^m2m个函数之和的形式
1,v1,v2,⋯,vm,v1v2,v1v3,⋯,vm−1,vm,⋯,∏imvi1,v_1,v_2,\cdots,v_m,v_1v_2,v_1v_3,\cdots,v_{m-1},v_m,\cdots,\prod\limits_i^m {{v_i}}1,v1,v2,⋯,vm,v1v2,v1v3,⋯,vm−1,vm,⋯,i∏mvi

给定码长为n=2mn=2^mn=2m的rrr阶二进制RM码R(r,m){\mathscr R}(r,m)R(r,m)，0≤r≤m0\le r\le m0≤r≤m，其码字集合由全部向量f\bf ff组成，其中f\bf ff表示长度为2m2^m2m的布尔函数f(v)=f(v1,⋯,vm)f(v) = f(v_1, \cdots, v_m)f(v)=f(v1,⋯,vm)的取值向量，f(v)=f(v1,⋯,vm)f(v) = f(v_1, \cdots, v_m)f(v)=f(v1,⋯,vm)中的多项式度最大为rrr。

例子：对于RM码R(1,3){\mathscr R}(1,3)R(1,3)，有
f=f(v1,v2,v3)=a01+a1v1+a2v2+a3v3,ai=0或1{\bf f} = f({\bf v}_1,{\bf v}_2, {\bf v}_3) = a_0{\bf 1} + a_1{\bf v}_1 + a_2{\bf v}_2 + a_3{\bf v}_3, a_i = 0或1f=f(v1,v2,v3)=a01+a1v1+a2v2+a3v3,ai=0或1。显然存在24=162^4=1624=16个f(v1,v2,v3)f({\bf v}_1,{\bf v}_2, {\bf v}_3)f(v1,v2,v3)。
给定真值表
v3=00001111v2=00110011v1=01010101{\bf v}_3 = 0~0~0~0~1~1~1~1\\ {\bf v}_2 = 0~0~1~1~0~0~1~1\\ {\bf v}_1 = 0~1~0~1~0~1~0~1\\ v3=0 0 0 0 1 1 1 1v2=0 0 1 1 0 0 1 1v1=0 1 0 1 0 1 0 1
RM码R(1,3){\mathscr R}(1,3)R(1,3)有如图1所示的16个码字
图1 由布尔函数表示的RM码R{\mathscr R}R(1,3)的16个码字

参考文献
[1] Macwilliams F J , Sloane N . The theory of error-correcting codes. Parts I, II. 1977.

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