空间参照系统和地图投影2

3．2．2变形椭圆

变形椭圆是显示变形的几何图形，从图4-9可以看到，实地上同样大小的经纬线在投影面上变成形状和大小都不相同的图形（比较图4-9中三个格网）。实际中每种投影的变形各不相同，通过考察地球表面上一个微小的圆形（称为微分圆）在投影中的表象——变形椭圆的形状和大小，就可以反映出投影中变形的差异（图4-10）。

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图4-10：微分圆表示投影变形

3．3地图投影的分类

地图投影的种类很多，为了学习和研究的方便，应对其进行分类。由于分类的标志不同，分类方法就不同。从使用地图的角度出发，需要了解下述几种分类。

3．3．1按变形性质分类

按变形性质地图投影可以分为三类：等角投影、等积投影和任意投影。

1）等角投影

定义为任何点上二微分线段组成的角度投影前后保持不变，亦即投影前后对应的微分面积保持图形相似，故可称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的，即不同地点上的变形椭圆大小不同。

2）等积投影

定义为某一微分面积投影前后保持相等，亦即其面积比为1，即在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形等于零。

3）等距投影

在任意投影上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。但是在任意投影中，有一种比较常见的等距投影，定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方向长度比为1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方向上没有长度变形。等距投影的面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。任意投影多用于要求面积变形不大、角度变形也不大的地图，如一般参考用图和教学地图。经过投影后地图上所产生的长度变形、面积变形和角度变形，是相互联系相互影响的。它们之间的关系是：在等积投影上不能保持等角特性，在等角投影上不能保持等积特性；在任意投影上不能保持等角和等积的特性；等积投影的形状变形比较大，等角投影的面积变形比较大。

3．3．2按构成方法分类

地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲面上，如圆柱面和圆锥面。圆柱面和圆锥面虽然不是平面，但可以展为平面。这样就得到具有几何意义的方位、圆柱和圆锥投影。随着科学的发展，为了使地图上变形尽量减小，或者为了使地图满足某些特定要求，地图投影就逐渐跳出了原来借助于几何面构成投影的框子，而产生了一系列按照数学条件构成的投影。因此，按照构成方法，可以把地图投影分为两大类：几何投影和非几何投影。

1）几何投影

几何投影是把椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面而得到。根据几何面的形状，可以进一步分为下述几类（图4-11）：

（1．1）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。

（1．2）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

（1．3）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。这里，我们可将方位投影看作圆锥投影的一种特殊情况，假设当圆锥顶角扩大到180度时，这圆锥面就成为一个平面，再将地球椭球体上的经纬线投影到此平面上。圆柱投影，从几何定义上讲，也是圆锥投影的一个特殊情况，设想圆锥顶点延伸到无穷远时，即成为一个圆柱。

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图4-11：各种几何投影

2）非几何投影

不借助几何面，根据某些条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬线形状又分为下述几类：

（2．1）伪方位投影：纬线为同心圆，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线，且相交于纬线的共同圆心。

（2．2）伪圆柱投影：纬线为平行直线，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。

（2．3）伪圆锥投影：纬线为同心圆弧，中央经线为直线，其余经线均为对称于中央经线的曲线。

（2．4）多圆锥投影：纬线为同周圆弧，其圆心均为于中央经线上，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。

3．3．3按照投影面积与地球相割或相切分类

1）割投影

以平面、圆柱面或圆锥面作为投影面，使投影面与球面相割，将球面上的经纬线投影到平面上、圆柱面上或圆锥面上，然后将该投影面展为平面而成。

2）切投影

以平面、圆柱面或圆锥面作为投影面，使投影面与球面相切，将球面上的经纬线投影到平面上、圆柱面上或圆锥面上，然后将该投影面展为平面而成。

3．4地图投影的选择

地图投影选择得是否恰当，直接影响地图的精度和使用价值。这里所讲的地图投影选择，主要指中、小比例尺地图，不包括国家基本比例尺地形图。因为国家基本比例尺地形图的投影、分幅等，是由国家测绘主管部门研究制订*，不容许任意改变的，另外编制小区域大比例尺地图，无论采用什么投影，变形都是很小的。

选择制图投影时，主要要考虑以下因素：制图区域的范围、形状和地理位置，地图的用途、出版方式及其他特殊要求等，其中制图区域的范围、形状和地理位置是主要因素。

对于世界地图，常用的主要是正圆柱、伪圆柱和多圆锥投影。在世界地图中常用墨卡托投影绘制世界航线图、世界交通图与世界时区图；

我国出版的世界地图多采用等差分纬线多圆锥投影，选用这个投影，对于表现中国形状以及与四邻的对比关系较好，但投影的边缘地区变形较大。

对于半球地图，东、西半球图常选用横轴方位投影；南、北半球图常选用正轴方位投影；水、陆半球图一般选用斜轴方位投影。

对于其他的中、小范围的投影选择，须考虑到它的轮廓形状和地理位置，最好是使等变形线与制图区域的轮廓形状基本一致，以便减少图上变形。因此，圆形地区一般适于采用方位投影，在两极附近则采用正轴方位投影，以赤道为中心的地区采用横轴方位投影，在中纬度地区采用斜轴方位投影。在东西延伸的中纬度地区，一般多采用正轴圆锥投影，如中国与美国。在赤道两侧东西延伸的地区，则宜采用正轴圆柱投影，如印度尼西亚。在南北方向延伸的地区，一般采用横轴圆柱投影和多圆锥投影，如智利与阿根廷。

3．5常用的一些地图投影

3．5．1世界地图的投影

世界地图的投影主要考虑要保证全球整体变形不大，根据不同的要求，需要具有等角或等积性质，主要包括：等差分纬线多圆锥投影、正切差分纬线多圆锥投影（1976年方案）、任意伪圆柱投影、正轴等角割圆柱投影。

3．5．2半球地图的投影

东、西半球有横轴等面积方位投影、横轴等角方位投影；南、北半球有正轴等面积方位投影、正轴等角方位投影、正轴等距离方位投影。

3．5．3各大洲地图投影

1）亚洲地图的投影：斜轴等面积方位投影、彭纳投影。

2）欧洲地图的投影：斜轴等面积方位投影、正轴等角圆锥投影。

3）北美洲地图的投影：斜轴等面积方位投影、彭纳投影。

4）南美洲地图的投影：斜轴等面积方位投影、桑逊投影。

5）澳洲地图的投影：斜轴等面积方位投影、正轴等角圆锥投影。

6）拉丁美洲地图的投影：斜轴等面积方位投影。

3．5．4中国各种地图投影

1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方位投影、彭纳投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割圆锥投影。

2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投影（宽带）。

3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯-克吕格投影（解放以后）。

4．高斯——克吕格投影

由于这个投影是由德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19世纪20年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投影公式加以补充，故称为高斯——克吕格投影。

高斯——克吕格投影在英美国家称为横轴墨卡托投影。美国编制世界各地军用地图和地球资源卫星象片所采用的全球横轴墨卡托投影（UTM）是横轴墨卡托投影的一种变型。高斯克吕格投影的中央经线长度比等于1，UTM投影规定中央经线长度比为0.9996。在6度带内最大长度变形不超过0.04%。

高斯克吕格投影的中央经线和赤道为互相垂直的直线，其他经线均为凹向并对称于中央经线的曲线，其他纬线均为以赤道为对称轴的向两极弯曲的曲线，经纬线成直角相交。在这个投影上，角度没有变形。中央经线长度比等于1，没有长度变形，其余经线长度比均大于1，长度变形为正，距中央经线愈远变形愈大，最大变形在边缘经线与赤道的交点上；面积变形也是距中央经线愈远，变形愈大。为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影（图4-12）。高斯——克吕格投影的变形特征是：在同一条经线上，长度变形随纬度的降低而增大，在赤道处为最大；在同一条纬线上，长度变形随经差的增加而增大，且增大速度较快。在6度带范围内，长度最大变形不超过0.14%。

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图12：高斯——克吕格投影示意

我国规定1：1万、1：2.5万、1：5万、1：10万、1：25万、1：50万比例尺地形图，均采用高斯克吕格投影。1：2.5至1：50万比例尺地形图采用经差6度分带，1：1万比例尺地形图采用经差3度分带。

6度带是从0度子午线起，自西向东每隔经差6为一投影带，全球分为60带，各带的带号用自然序数1，2，3，…60表示。即以东经0-6为第1带，其中央经线为3E，东经6-12为第2带，其中央经线为9E，其余类推（图4-13）。

3度带，是从东经1度30分的经线开始，每隔3度为一带，全球划分为120个投影带。图4-13表示出6度带与3度带的中央经线与带号的关系。

在高斯克吕格投影上，规定以中央经线为X轴，赤道为Y轴，两轴的交点为坐标原点。

图13：高斯——克吕格投影的分带

X坐标值在赤道以北为正，以南为负；Y坐标值在中央经线以东为正，以西为负。我国在北半球，X坐标皆为正值。Y坐标在中央经线以西为负值，运用起来很不方便。为了避免Y坐标出现负值，将各带的坐标纵轴西移500公里，即将所有Y值都加500公里。

由于采用了分带方法，各带的投影完全相同，某一坐标值（x，y），在每一投影带中均有一个，在全球则有60个同样的坐标值，不能确切表示该点的位置。因此，在Y值前，需冠以带号，这样的坐标称为通用坐标。

高斯克吕格投影各带是按相同经差划分的，只要计算出一带各点的坐标，其余各带都是适用的。这个投影的坐标值由国家测绘部门根据地形图比例尺系列，事先计算制成坐标表，供作业单位使用。

5．地形图的分幅和编号

国家基本比例尺地形图有1：1万、1：2.5万、1：5万、1：10万、1：20万、1：50万和1：100万七种。普通地图通常按比例尺分为大、中、小三种，一般以1：10万和更大比例尺的地图称为大比例尺地图；1：10万至1：100万的称为中比例尺地图；小于1：100万的称为小比例尺地图。对于一个国家或世界范围来讲，测制成套的各种比例尺地形图时，分幅编号尤其必要。通常这是由国家主管部门制定统一的图幅分幅和编号系统。

5．1地形图的分幅

目前，我国采用的地形图分幅方案，是以1：100万地形图为基准，按照相同的经差和纬差定义更大比例尺地形图的分幅。百万分之一地图在纬度0^o—60^o之间的图幅，图幅大小按经差6^o，纬差4^o分幅；在60^o—76^o之间的图幅，其经差为12^o，纬差为4^o；在76^o—80^o之间图幅的经差为24^o，纬差为4^o，所以各幅百万分之一地图都是经差6^o，纬差4^o分幅的。

每幅百万分之一内各级较大比例尺地形图的划分，按规定的相应经纬差进行，其中，1：50万、1：20万、1：10万三种比例尺地形图，以百万分之一地图为基础直接划分。一幅百万分之一地形图划分四幅1：50万地形图，每幅为经差3^o，纬差2^o；一幅百万分之一地图划分为36幅1：20万地形图，每幅为经差1^o，纬差40’；一幅百万分之一地图划分144幅1:10万地形图，每幅为经差30’，纬差20’。

每幅大于1：10万比例尺的地形图，则以1：10万图为基础进行逐级划分，一幅1：10万地形图划分四幅1：5万地形图；一幅1：5万地形图划分为四幅1：2.5万地形图。在1：10万图的基础上划分为64幅1：1万地形图；一幅1：1万地形图又划分为4幅1：5000地形图，（见表4-1）。

表4-1：基本比例尺地形图的图幅大小及其图幅间的数量关系。

比例尺（万）	图幅大小		图幅间的数量关系
比例尺（万）	经度	纬度	图幅间的数量关系
1：100	6度	4度	1
1：50	3度	2度	4	1
1：20	1度	40分	36	9	1
1：10	30分	20分	144	36	4	1
1：5	15分	10分	576	144	16	4	1
1：2.5	7.5分	5分	2304	576	64	16	4	1
1:1	3分45秒	2.5分	9216	2304	256	64	16	4

5．2分幅编号

地形图的编号是根据各种比例尺地形图的分幅，对每一幅地图给予一个固定的号码，这种号码不能重复出现，并要保持一定的系统性。

地形图编号的最基本的方法是采用行列法，即把每幅图所在一定范围内的行数和列数组成一个号码。

5．2．1 1：100万地图的编号

该种地形图的编号为全球统一分幅编号。

列数：由赤道起向南北两极每隔纬差4^o为一列，直到南北88^o（南北纬88^o至南北两极地区，采用极方位投影单独成图），将南北半球各划分为22列，分别用拉丁字母A、B、C、D……V表示。

行数：从经度180 ^o起向东每隔6 ^o为一行，绕地球一周共有60行，分别以数字1、2、3、4……60表示。

由于南北两半球的经度相同，规定在南半球的图号前加一个S，北半球的图号前不加任何符号。一般来讲，把列数的字母写在前，行数的数字写在后，中间用一条短线连接。例如北京所在的一幅百万分之一地图的编号为J-50（如图14所示）。

由于地球的经线向两极收敛，随着纬度的增加，同是6^o的经差但其纬线弧长已逐渐缩小，因此规定在纬度60 ^o-76 ^o间的图幅采用双幅合并（经差为12 ^o，纬差为4 ^o）；在纬度76^o-88^o间的图幅采用四幅合并（经差为24^o，纬差为4^o）。这些合并图幅的编号，列数不变，行数（无论包含两个或四个）并列写在其后。例如北纬80^o-84^o，西经48^o-72^o的一幅百万分之一的地图编号应为U-19、20、21、22（图4-14）。

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图14：100万地形图的分幅和编号（北半球）

5．2．2 1：50万、1：20万、1：10万地形图的编号

一幅1：100万地图划分四幅1：50万地图，分别用甲、乙、丙、丁表示，其编号是在1：100万地形图的编号后加上它本身的序号，如J-50-乙。

一幅1：100万地图划36幅1：20万地图，分别用带括号的数字（1）—（36）表示，其编号是在1：100万地形图的编号后加上它本身的序号，如J-50-（28）。

一幅1：100万地图划分144幅1：10万地图，分别用数字1—144表示，其编号是在1：100万地形图的编号后加上它本身的序号，如J-50-32。（图4-15）

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图15：1：50万、1：20万、1：10万地形图的分幅和编号示例

5．2．3 1：5万、1：2.5万、1：1万地形图的编号

以1：10万地形图的编号为基础，将一幅1：10万地图划分四幅1：5万地图，分别用甲、乙、丙、丁表示，其编号是在1：10万地形图的编号后加上它本身的序号，如J-50-32-甲。再将一幅1：5万地图划分四幅1：2.5万地形图，分别用1、2、3、4表示，其编号是在1：5万地形图的编号后加上它本身的序号，如J-50-32-甲-1。

1：1万地形图的编号，是以一幅1：10万地形图划分为64幅1：1万地形图，分别以带括号的（1）—（64）表示，其编号是在1：10万图号后加上1：1万地图的序号，如J-50-32-（10）。

一幅1：1万地形图划分为4幅1：5000地形图，分别用小写拉丁字母a、b、c、d表示，其编号是在1：1万图号后加上它本身的序号，如J-50-32-（10）-a。