凸优化第四章凸优化问题 4.1优化问题
4.1优化问题
- 基本术语
- 问题的标准表示
- 等价问题
- 参数与谕示问题描述
基本术语
是优化变量也叫决策变量。
为目标函数,或者费用函数。
是不等式约束函数。
是等式约束函数。
如果m=p=0,即没有约束,此时问题为无约束问题。
在实际生活中可以这样理解该优化问题,即我们要生产产品,其数量为x,要确定生产数量以使得费用最低,而约束函数则可以理解为在实际产生中受到的限制比如资源消耗等。
问题的定义域:
可行点:,此时x是可行的,x为可行点。
可行集:所以有可行点的集合。
问题的最优值
如果问题不可行,。如果存在可行解
,那么
,此时称问题无下界。
最优点和局部最优点
如果是可行的且
,我们称
为最优点(解),所有最优解的集合称为最优集,记为
称x为局部最优,如果存在
即,x是关于z的优化问题的解:
例子:
,但是没有最优点。
。
是最优点。
,但有局部最优点在x=1。
min VS minimize
minimize不是min。min是一个取最小值的函数,比如min{0,-1,2}=-1。minimize是优化问题中的一部分,不是对一组数中取出最小值,而是针对一个目标函数,找到使目标函数最小的点。
问题的标准表示
为问题的标准表示形式。
如果是极大问题,即
可以将目标函数理解为效用函数。极大化问题变极小化问题只需对目标函数取相反数。
等价问题
如果从一个问题的解,很容易就能得到另一个问题的解,反之亦然,则称两个问题是等价的。
产生等价问题的变换包括:变量变换、目标函数与约束函数变换、松弛变量、消除等式约束、消除线性等式约束、引入等式约束、优化部分变量、上境图问题形式、隐式与显示约束。这里只简单介绍变量变换、目标函数与约束函数变换、消除等式约束。其他的在4.2节。
变量变换
是一一映射,其像包含定义域D,即
,定义函数
问题变为:
目标函数与约束函数变换
单增,
满足当且仅当
时,
,
满足当且仅当
时,
,则定义函数:
,问题变为:
消除等式约束
利用参数来显示地参数化等式约束
,设函数
满足:x满足等式榆树等价于存在一些
使得,
,于是问题变为:
参数与谕示问题描述
参数问题描述:对于一个问题为确定目标函数,我们给出函数的系数。即待解决的特定问题被出现在目标和约束函数中的函数参数决定。
谕示问题描述:无法显示地知道f,但对于每个在f的定义域内的x,可以计算得到f(x)。
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