马上就要正式进入电路设计了，再来看最后一个知识点：逻辑设计吧。

之前我们花了两章，探讨了逻辑运算是什么，怎么算；但还有最后一个大问题，巧妇难为无米之炊，我们得先有一个逻辑式，才能对它化简，并基于结果做电路设计。所以，如何把实际生活中的问题转化为逻辑函数式呢？

先介绍两种比较标准的函数的形式：

• 最小项表达式，是若干单项式相加，可以类比成代数式展开后的样子，形式类似
  ，得名于其因为项中用乘法连接而使得每一项为1的概率都很小。
• 最大项表达式，是若干多项式相乘，可以类比成代数式因式分解后的样子，形式类似
  ，得名于其因为项中加法连接而使得每一项为1的概率都很大

其中实际中用得比较多的是最小项表达式。本文也将在此式的基础上讨论。

进一步地，我们还会再看逻辑函数与其他表现形式的转化关系，并正式介绍两个工具：逻辑图和卡诺图。

一、从对问题的描述得出函数式

我们开篇的问题中，就是利用了把问题转化为比较“标准”的逻辑命题，加以处理的。一般地说，通过自然语言表述得出方程，首先要把任务写成“只有...且...时，才...”（最大项表达式）或“只要...或...时，就...”（最小项表达式）的形式。它要求该问题不能包含太复杂的嵌套关系，变量也不能太多，所以局限比较大。但用这种方法得出的函数式往往可以省去化简的步骤。

二、从真值表得出函数式

假设我们有这样一个真值表：

如何方便地写出它的表达式？

先试试把它转述为自然语言后照着写：“只要A，B，C，D分别为0000，或者0101，或者0110，或者......时，X就为1”。这样，的确可以写出方程。

那么，能不能直接通过真值表写出函数式呢？想一想，之前提到，所有的描述都可以转化为所谓“最小项表达式”，其中每一个项都是一个单项式，A、B、C、D分别取原变量或反变量。比如先看第一行，当ABCD取0000时，最终结果为1。——这对应了A’B’C’D’=1。所以，从真值表写出最小项表达式的方法是先找出所有使得因变量为1的自变量值的组合，再把每一个组合对应的乘积项写出来，每个变量取值为0则写上反变量，1则写上原变量，这样使得取这组值时该项为1，最后把这些项用加法相连即可。

举个例子：我们至今没有推导过异或逻辑如何用与或非表达。现在让我们证明一遍。

有了真值表，就可以直接看使得X=1的A，B取值组合，发现有01，10两个；接着，分别写出它们对应的乘积项，即A'B和AB'；最后把它们连在一起：AB'+A'B，即可。

三、从函数式得出真值表

要画真值表，首先必须把所有自变量可能的取值都填在前几列中。建议使用二进制排列，即0000，0001，0010……等，不容易缺漏。

接下来，把函数式化成最小项表达式。比如，如果初始式为

，则需要先展开成

，再进一步写成每一项都含有三个变量的标准形式——具体地说，运用公式

，得到

。最后，在对应的真值表行中“X”一栏填上“1”，其他行则填0——此处，三项分别对应110，101，111。

如果说这种方法是反向填表，那自然还有另一种正向方法——把每一行的A，B，C的值依次代入函数式，求出X的值。这种方法适用于变量较多，而且原式比较简单，如果完全展开很费时间的式子。

四、逻辑图与函数式的转化

什么是逻辑图？我们知道，任何一个函数，比如

，都可以表示为一个“黑箱”——

只要输入一个x，一个y，一个z，这个黑箱就会返回一个对应的a的值。而如果我们想查看它的内部逻辑，我们可能会看到这样的：

“+”把x和y连接起来，作m=x+y运算；“/”又连接了“+”的输出和z，作a=m/z运算，并输出a。所以，这个图就可以表示

。

同样地，还记得七个基本逻辑的逻辑符号么？

如果我们有式子

，就可以用同样的思路，连出一个图：

上半部分，得到A'B；下半部分，是AB'。两个再用或连接，就有了A'B+AB'。这样，便可以把一个函数式直观地表达出来。并且，在实际的电路制作中，这样的设计图也可以成为抽象的逻辑式与实际的电路板间的桥梁。

所以，要想绘出逻辑图，一般来说，只要先理清函数的运算顺序，再把对应的逻辑符号用线连接起来即可。再看一个例子：经典的档案室开门问题，已有函数式：

一步步看它的运算顺序：B与C相乘；A与乘积相加；D的反变量与这个和相乘。最后输出X。因此，可以画出对应的逻辑图。

反向地，如果有了这个逻辑图，就可以通过沿着逻辑图走向分析，最终得出函数式。

还可以发现，逻辑图和计算机中的运算树本质上是相同的。所以，我们可以用中序遍历的思路，写出函数式。

五、卡诺图

在最小项表达式的化简中，我们本质上在做什么呢？比如，

——两项中只有一个变量不同，所以变成了

。

如果我们有n变量最小项表达式，那么它至多可以有

项——因为每个变量都会以原变量或反变量出现。而如果原变量表示1，反变量表示0，则每一项都可以对应一个唯一的n位二进制码，比如

就是1001。

而

对应的二进制数为101，111，也只差一个数位。那么，能不能用一个表格，可以容纳所有的可能项，并直观地发现这些能够合并的”相邻项“呢？于是，工程师莫里斯·卡诺便创造了卡诺图。

这是卡诺图的一般形式。先把所有相关变量分为数量大致相等的两部分，一部分（AB）沿行布置，一部分（CD）沿列布置。再把它们以格雷码编码——00，01，11，10等；这样，每个格子就对应了最小项表达式中的唯一一个项，比如

就位于第四列，第二行位置，对应AB=10，CD=01。并且注意到，如果两个项可以化简，如

：

则它们在卡诺图上必定相邻。它背后的原理是当BCD=111时，无论A为0还是1，结果都为1，所以A就成了无关项，可以消去。按照这个道理，只要是圈起的区域是大小为

的矩形

，那么都可以化简成一个项：

圈起的区域覆盖了所有A、B的值，所以A、B都是无关项；同时还覆盖了CD=01与11，所以C也是无关项，最终结果为D。

卡诺图并不是二维的，而是循环的，可以从一个边界来到另一个边界，形成一个空间中闭合的形状。比如：

也是可以合并的。

使用卡诺图化简时，先把所有最小项在表中对应的位置打勾，再用圈覆盖这些勾。具体有三个原则：

• 圈可以相互重叠交错，但必须覆盖所有勾，且不能覆盖空白格，否则会使函数发生改变。
• 每个圈必须尽量大，这样可以尽可能多地消去无关变量。
• 圈要尽量少，这样会使最终的项的数量最少，因为每个圈会对应最简式中的一个项。

比如，化简函数

。先把所有项填入卡诺图：

再把它们全部圈起来，尽量扩大圈的大小和减少圈的数量：

圈起来的区域有：(0000,0010), (0010,0110), (1010,0010), (0101,1101,0111,1111)。所以化简之后，剩下的项分别为：A'B'D', A'CD', B'CD', BD。所以，我们最终的化简结果便是

。

卡诺图的使用需要一定技巧，所以不是非常常用。但是，卡诺图和真值表都可以作为函数的可视化表达。在“时序电路”一部分，我们将会看到它的作用。