1 问题

至此，总结一下已经研究过的排序算法：

insertion sort，Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n2)
merge sort, Θ(nlogn)\Theta(nlogn)Θ(nlogn)
quicksort, Θ(nlogn)\Theta(nlogn)Θ(nlogn)
heapsort,Θ(nlogn)\Theta(nlogn)Θ(nlogn)

从上面这个现象发现，这些算法的算法复杂度≥Θ(nlogn)\ge\Theta(nlogn)≥Θ(nlogn);
从算法的细节上看，算法的最基本的思想是比较元素大小；

从上面的发现中，可以提出这样一个猜想：

所有基于比较的排序算法，算法复杂度≥Θ(nlogn)\ge\Theta(nlogn)≥Θ(nlogn)。

2 证明结论

数学证明的思路分两步，1⃣️找到一种更加抽象的数学结构表达各种基于比较排序算法；2⃣️研究这种抽象的数学结构的性质；3⃣️利用得到的性质说明结论。

2.1 Decision-tree（抽象数学结构）

这个决策树和Machine Learning里的决策树本质上是一个意思。

先看一个简单的例子
三个元素的Decision-tree很容易画出，但是≥4\ge4≥4就不容易画出了，因为有Cn2C_n^2Cn2种比较，而每一次比较又有两种结果，这些比较的结果中一部分就可以决定全序…，已经超出人脑处理范畴，计算机也不太容易处理；
仔细品品基于比较的排序算法，也是一顿比较之后确定一个全序，而这顿比较恰恰是Decision-tree所有比较之一，也就是Decision-tree的一条路径；
不过我们不必过于纠结Decision-tree的细节结构，只需要知道它的存在性就足够解决我们今天的问题了，这就是数学抽象之美；

2.2 Decision-tree的数学性质

2.3 结论得证

决定基于比较的排序算法的复杂度是比较的次数，用decision tree就是某一个路径的高度hhh，现在已经证明整个二叉树的高度h≥Ω(nlogn)h\ge\Omega(nlogn)h≥Ω(nlogn)，那就说明基于比较的排序算法的复杂度≥Ω(nlogn)\ge\Omega(nlogn)≥Ω(nlogn)。

3 强调重点

决定基于比较的排序算法的复杂度是比较的次数；
在input确定的情况下，某种基于比较的排序算法的比较序列和decision tree的结构可以确定，该算法的比较序列只是decision tree的某一条路径；
基于比较的排序算法随机化后仍符合上面的逻辑框架，结论仍然成立；

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