【矩阵论】7.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数谱范不等式

矩阵论
1. 准备知识——复数域上矩阵,Hermite变换)
1.准备知识——复数域上的内积域正交阵
1.准备知识——Hermite阵，二次型，矩阵合同，正定阵，幂0阵，幂等阵，矩阵的秩
2. 矩阵分解——SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——正定阵分解
2. 矩阵分解——单阵谱分解
2. 矩阵分解——正规分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规谱分解
2. 矩阵分解——高低分解
3. 矩阵函数——常见解析函数
3. 矩阵函数——谱公式,幂0与泰勒计算矩阵函数
3. 矩阵函数——矩阵函数求导
4. 矩阵运算——观察法求矩阵特征值特征向量
4. 矩阵运算——张量积
4. 矩阵运算——矩阵拉直
4.矩阵运算——广义逆——加号逆定义性质与特殊矩阵的加号逆
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆的计算
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用
4. 矩阵运算——广义逆——减号逆
5. 线性空间与线性变换——线性空间
5. 线性空间与线性变换——生成子空间
5. 线性空间与线性变换——线性映射与自然基分解,线性变换
6. 正规方程与矩阵方程求解
7. 范数理论——基本概念——向量范数与矩阵范数
7.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数&谱范不等式
7. 矩阵理论——算子范数
7.范数理论——范数估计——许尔估计&谱估计
7. 范数理论——非负/正矩阵
8. 常用矩阵总结——秩1矩阵，优阵(单位正交阵)，Hermite阵
8. 常用矩阵总结——镜面阵，正定阵
8. 常用矩阵总结——单阵，正规阵，幂0阵，幂等阵，循环阵

7.1.3 矩阵范数产生向量范数

Cn×nC^{n\times n}Cn×n 上任一矩阵范数 ∥∙∥\Vert \bullet\Vert∥∙∥ 都产生一个向量范数 φ(X)=∥X∥V\varphi(X)=\Vert X\Vert_Vφ(X)=∥X∥V

矩阵范数与向量范数的相容性：φ(Ax)≤∥A∥φ(x)\varphi(Ax)\le \Vert A\Vert\varphi(x)φ(Ax)≤∥A∥φ(x) ，即 ∥AX∥V≤∥A∥⋅∥X∥V\Vert AX\Vert_V\le \Vert A\Vert\cdot\Vert X\Vert_V∥AX∥V≤∥A∥⋅∥X∥V ,∀A∈Cn,n,∀X∈Cn\forall A\in C^{n,n},\forall X\in C^n∀A∈Cn,n,∀X∈Cn

证明：
设向量范数φ(X)=Δ∥XαT∥,∀X∈Cn,α=(a1⋮an)≠0⃗为权向量,表示对每个列向量放缩形成矩阵则φ(X)=Δ∥XαT∥=∥a1X,a2X,⋯,anX∥，右边为一个矩阵范数显然①正性：φ(X)=∥XαT∥≥0②齐性：φ(kX)=∥(kX)αT∥=∥a1kX,a2kX,⋯,ankX∥=∣k∣∥a1X,a2X,⋯,anXn∥=∣k∣φ(X)③三角性：令X，Y∈Cn,∵φ(X+Y)=∥(X+Y)αT∥=∥XαT+YαT∥≤∥XαT∥+∥YαT∥=φ(X)+φ(Y)④相容性：φ(AX)=∥(AX)αT∥=∥A(XαT)∥≤∥A∥⋅∥XαT∥=∥A∥⋅φ(X)可证，∥AX∥V≤∥A∥⋅∥X∥V,即矩阵范数与向量范数有相容性\begin{aligned} &设向量范数 \varphi(X)\overset{\Delta}{=}\Vert X\alpha^T\Vert,\forall X\in C^n,\alpha=\left( \begin{matrix} a_1\\\vdots\\a_n \end{matrix} \right)\neq \vec{0}为权向量,表示对每个列向量放缩形成矩阵\\ &则\varphi(X)\overset{\Delta}{=}\Vert X\alpha^T\Vert=\Vert a_1X,a_2X,\cdots,a_nX\Vert，右边为一个矩阵范数\\ &显然 ①正性：\varphi(X)=\Vert X\alpha^T \Vert\ge 0\\ & ②齐性：\varphi(kX)=\Vert (kX)\alpha^T\Vert=\Vert a_1kX,a_2kX,\cdots,a_nkX\Vert=\vert k\vert\Vert a_1X,a_2X,\cdots,a_nX_n\Vert=\vert k\vert\varphi(X)\\ &③三角性：令X，Y\in C^n,\\ &\quad \because \varphi(X+Y)=\Vert (X+Y)\alpha^T\Vert =\Vert X\alpha^T+Y\alpha^T \Vert\le \Vert X\alpha^T\Vert+\Vert Y\alpha^T\Vert =\varphi(X)+\varphi(Y)\\ &④相容性：\varphi(AX)=\Vert (AX)\alpha^T\Vert=\Vert A(X\alpha^T)\Vert\le \Vert A\Vert\cdot\Vert X\alpha^T\Vert=\Vert A\Vert\cdot\varphi(X)\\ &可证，\Vert AX\Vert_V\le \Vert A\Vert\cdot\Vert X\Vert_V,即矩阵范数与向量范数有相容性 \end{aligned} 设向量范数φ(X)=Δ∥XαT∥,∀X∈Cn,α=a1⋮an=0为权向量,表示对每个列向量放缩形成矩阵则φ(X)=Δ∥XαT∥=∥a1X,a2X,⋯,anX∥，右边为一个矩阵范数显然①正性：φ(X)=∥XαT∥≥0②齐性：φ(kX)=∥(kX)αT∥=∥a1kX,a2kX,⋯,ankX∥=∣k∣∥a1X,a2X,⋯,anXn∥=∣k∣φ(X)③三角性：令X，Y∈Cn,∵φ(X+Y)=∥(X+Y)αT∥=∥XαT+YαT∥≤∥XαT∥+∥YαT∥=φ(X)+φ(Y)④相容性：φ(AX)=∥(AX)αT∥=∥A(XαT)∥≤∥A∥⋅∥XαT∥=∥A∥⋅φ(X)可证，∥AX∥V≤∥A∥⋅∥X∥V,即矩阵范数与向量范数有相容性
eg

F范数与向量2-范数相容： ∥Ax∥2≤∥A∥F⋅∥x∥2\Vert Ax\Vert_2\le \Vert A\Vert_F\cdot\Vert x\Vert_2∥Ax∥2≤∥A∥F⋅∥x∥2
总和范数与1-范数，∞\infty∞-范数相容：∥Ax∥1≤∥A∥M⋅∥x∥1\Vert Ax\Vert_1\le \Vert A\Vert_M\cdot \Vert x \Vert_1∥Ax∥1≤∥A∥M⋅∥x∥1 ，∥Ax∥∞≤∥A∥M⋅∥x∥∞\Vert Ax\Vert_\infty\le \Vert A\Vert_M\cdot \Vert x\Vert_\infty∥Ax∥∞≤∥A∥M⋅∥x∥∞
G范数与1-范数，∞\infty∞-范数相容，2-范数相容：∥Ax∥1≤∥A∥G⋅∥x∥1\Vert Ax\Vert_1\le \Vert A\Vert_G\cdot \Vert x \Vert_1∥Ax∥1≤∥A∥G⋅∥x∥1 ,∥Ax∥2≤∥A∥G⋅∥x∥2\Vert Ax\Vert_2\le \Vert A\Vert_G\cdot \Vert x \Vert_2∥Ax∥2≤∥A∥G⋅∥x∥2 ,∥Ax∥∞≤∥A∥G⋅∥x∥∞\Vert Ax\Vert_\infty\le \Vert A\Vert_G\cdot \Vert x \Vert_\infty∥Ax∥∞≤∥A∥G⋅∥x∥∞

a. 特别生成公式

令 e1=(10⋮0)e_1=\left(\begin{matrix}1\\0\\\vdots\\0\end{matrix}\right)e1=10⋮0 ，取 e1Te^T_1e1T 作为向量 XXX 的放缩量，将向量范数与矩阵范数建立联系

φ(X)=Δ∥Xe1T∥V=∥X(1,0,⋯,0)∥=∥(x10⋯0x20⋯0⋮⋮⋱⋮xn0⋯0)∥∗\varphi(X)\overset{\Delta}{=}\Vert Xe_1^T\Vert_V=\Vert X(1,0,\cdots,0)\Vert=\left\Vert \left(\begin{matrix} x_1&0&\cdots&0\\x_2&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_n&0&\cdots&0\end{matrix}\right)\right\Vert_*φ(X)=Δ∥Xe1T∥V=∥X(1,0,⋯,0)∥=x1x2⋮xn00⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮0∗ , X=(x1⋮xn)∈CnX =\left(\begin{matrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right)\in C^nX=x1⋮xn∈Cn ，且 ∥X∥V\Vert X\Vert_V∥X∥V 满足相容性 ∥AX∥V≤∥A∥∗⋅∥X∥V\Vert AX\Vert_V\le \Vert A\Vert_*\cdot\Vert X\Vert_{V}∥AX∥V≤∥A∥∗⋅∥X∥V ， A∈Cn,nA\in C^{n,n}A∈Cn,n ， X∈CnX\in C^nX∈Cn

取 F 范数 ∥A∥=∥A∥F\Vert A\Vert=\Vert A\Vert_F∥A∥=∥A∥F ，验证F范数与向量2-范数的相容性
由特别生成公式，∥X∥V=Δ∥Xe1T∥=∥(x10⋯0x20⋯0⋮⋮⋱⋮xn0⋯0)∥F=∣x1∣2+∣x2∣2+⋯+∣xn∣2=∥X∥2,即有F范数∥A∥F可产生向量范数∥X∥2对相容性的验证：∀A∈Cn,n,∥AX∥2=∥(AX)e1T∥=∥A(Xe1T)∥≤∥A∥F⋅∥X∥2\begin{aligned} &由特别生成公式，\Vert X\Vert_V\overset{\Delta}{=}\Vert Xe_1^T\Vert=\left\Vert \left(\begin{matrix} x_1&0&\cdots&0\\x_2&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_n&0&\cdots&0\end{matrix}\right)\right\Vert_F = \sqrt{\vert x_1\vert^2+\vert x_2\vert^2+\cdots+\vert x_n\vert^2}\\ &=\Vert X\Vert_2,即有F范数\Vert A\Vert_F可产生向量范数 \Vert X\Vert_2\\ &对相容性的验证：\\ &\forall A\in C^{n,n},\Vert AX\Vert_2=\Vert (AX)e_1^T\Vert=\Vert A(Xe_1^T)\Vert\le \Vert A\Vert_F\cdot \Vert X\Vert_2 \end{aligned} 由特别生成公式，∥X∥V=Δ∥Xe1T∥=x1x2⋮xn00⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮0F=∣x1∣2+∣x2∣2+⋯+∣xn∣2=∥X∥2,即有F范数∥A∥F可产生向量范数∥X∥2对相容性的验证：∀A∈Cn,n,∥AX∥2=∥(AX)e1T∥=∥A(Xe1T)∥≤∥A∥F⋅∥X∥2

取总和范数 ∥A∥M=∑∣aij∣\Vert A\Vert_M=\sum \vert a_{ij}\vert∥A∥M=∑∣aij∣ ，写出矩阵范数产生的向量范数，并写出相容性
由特别生成公式,∥X∥V=Δ∥Xe1T∥=∥(x10⋯0x20⋯0⋮⋮⋱⋮xn0⋯0)∥M=∑∣aij∣=∥X∥1即有相容性：∥AX∥1=∥AXe1T∥≤∥A∥⋅∥X∥1=∥A∥M⋅∥X∥1至于M范数与∞−范数相容，则需要其他的生成公式证明\begin{aligned} &由特别生成公式,\Vert X\Vert_V\overset{\Delta}{=}\Vert Xe_1^T\Vert=\left\Vert \left(\begin{matrix} x_1&0&\cdots&0\\x_2&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_n&0&\cdots&0\end{matrix}\right)\right\Vert_M=\sum \vert a_{ij}\vert =\Vert X\Vert_1\\ &即有相容性：\Vert AX\Vert_1=\Vert AXe_1^T\Vert\le \Vert A\Vert\cdot\Vert X\Vert_1=\Vert A\Vert_M\cdot \Vert X\Vert_1\\ &至于M范数与\infty-范数相容，则需要其他的生成公式证明 \end{aligned} 由特别生成公式,∥X∥V=Δ∥Xe1T∥=x1x2⋮xn00⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮0M=∑∣aij∣=∥X∥1即有相容性：∥AX∥1=∥AXe1T∥≤∥A∥⋅∥X∥1=∥A∥M⋅∥X∥1至于M范数与∞−范数相容，则需要其他的生成公式证明

取行范数 ∥A∥∞\Vert A\Vert_\infty∥A∥∞ ，写出矩阵范数产生的向量范数，并写出相容性
由特别生成公式，∥X∥V=Δ∥Xe1T∥=∥(x10⋯0x20⋯0⋮⋮⋱⋮xn0⋯0)∥∞=max⁡1≤i≤n{∣xi∣}=∥X∥∞∥AX∥∞≤∥A∥∞∥X∥∞\begin{aligned} &由特别生成公式，\Vert X\Vert_V\overset{\Delta}{=}\Vert Xe_1^T\Vert=\left\Vert \left(\begin{matrix} x_1&0&\cdots&0\\x_2&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_n&0&\cdots&0\end{matrix}\right)\right\Vert_\infty=\max_{1\le i\le n}\{\vert x_i\vert\}=\Vert X\Vert_{\infty}\\ &\Vert AX\Vert_\infty\le\Vert A\Vert_\infty\Vert X\Vert_\infty \end{aligned} 由特别生成公式，∥X∥V=Δ∥Xe1T∥=x1x2⋮xn00⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮0∞=1≤i≤nmax{∣xi∣}=∥X∥∞∥AX∥∞≤∥A∥∞∥X∥∞

取列范数 ∥A∥1\Vert A\Vert_1∥A∥1 ，由特别生成公式 ∥X∥V=Δ∥X∥1\Vert X\Vert_V\overset{\Delta}{=}\Vert X \Vert_1∥X∥V=Δ∥X∥1 , ∥AX∥1≤∥A∥1⋅∥X∥1\Vert AX\Vert_1 \le \Vert A\Vert_1 \cdot \Vert X \Vert_1∥AX∥1≤∥A∥1⋅∥X∥1

7.1.4 谱范不等式

a. 谱半径

ρ(A)=max{∣λ1∣,∣λ2∣,⋯,∣λn∣}为方阵A=An×n的谱半径，其中，方阵A的特征根为λ(A)={λ1,⋯,λn}\begin{aligned} &\rho(A)=max\{\vert \lambda_1\vert,\vert \lambda_2\vert,\cdots,\vert \lambda_n\vert\}为方阵 A=A_{n\times n} 的谱半径，\\ &其中，方阵A的特征根为\lambda(A)=\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\} \end{aligned} ρ(A)=max{∣λ1∣,∣λ2∣,⋯,∣λn∣}为方阵A=An×n的谱半径，其中，方阵A的特征根为λ(A)={λ1,⋯,λn}

∵λ1=12,λ2=13,∴ρ(A)=λ1=12\begin{aligned} &\because \lambda_1=\frac{1}{2},\lambda_2=\frac{1}{3},\therefore \rho(A)=\lambda_1=\frac{1}{2} \end{aligned} ∵λ1=21,λ2=31,∴ρ(A)=λ1=21

λ(A)={2i,1},ρ(A)=2\begin{aligned} &\lambda(A)=\{2i,1\},\rho(A)=2 \end{aligned} λ(A)={2i,1},ρ(A)=2

a. 谱半径性质

正性：任一方阵 An×nA_{n\times n}An×n 必有 ρ(A)≥0\rho(A)\ge 0ρ(A)≥0
齐次公式：ρ(kA)=∣k∣ρ(A)\rho(kA)=\vert k\vert \rho(A)ρ(kA)=∣k∣ρ(A)

可写齐次公式 ρ(Ak)=1∣k∣ρ(A)\rho(\frac{A}{k})=\frac{1}{\vert k\vert}\rho(A)ρ(kA)=∣k∣1ρ(A)

可取正数 k=ρ(A)+ϵ,ϵ>0k=\rho(A)+\epsilon,\epsilon>0k=ρ(A)+ϵ,ϵ>0 ，则有 ρ(Ak)=ρ(Aρ(A)+ϵ)=1ρ(A)+ϵρ(A)<1\rho(\frac{A}{k})=\rho(\frac{A}{\rho(A)+\epsilon})=\frac{1}{\rho(A)+\epsilon}\rho(A)<1ρ(kA)=ρ(ρ(A)+ϵA)=ρ(A)+ϵ1ρ(A)<1
幂公式：ρ(Ak)=[ρ(A)]k\rho(A^k)=[\rho(A)]^kρ(Ak)=[ρ(A)]k

b. 谱范不等式

ρ(A)≤∥A∥\rho(A)\le \Vert A\Vertρ(A)≤∥A∥ 对于一切矩阵范数 ∥A∥\Vert A\Vert∥A∥ 成立

SP：若 A 是正规阵，则 ρ(A)=∥A∥2\rho(A)=\Vert A\Vert_2ρ(A)=∥A∥2
ρ(A)=lim⁡k→∞∥Ak∥1k\rho(A)=\lim_{k\rightarrow \infty}\limits\Vert A^k\Vert^{\frac{1}{k}}ρ(A)=k→∞lim∥Ak∥k1

证明：
λ(A)={λ1,λ2,⋯,λn}，λ1=max{∣λ1∣,⋯,∣λn∣}=ρ(A)取特根X≠0,使AX=λ1X,令矩阵B=(X,X,⋯,X)n×n≠0可知AB=(AX,⋯,AX)=λ1B,∣λ1∣∥B∥=∥AB∥≤∥A∥⋅∥B∥，且∥B∥>0∴∣λ1∣<∥A∥,由谱半径定义得：ρ(A)=∥A∥\begin{aligned} &\lambda(A)=\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\} ，\lambda_1=max\{\vert\lambda_1\vert,\cdots,\vert \lambda_n\vert\} =\rho(A)\\ &取特根X\neq 0,使AX=\lambda_1X,令矩阵B=\left(X,X,\cdots,X\right)_{n\times n}\neq 0\\ &可知AB=(AX,\cdots,AX)=\lambda_1B,\vert \lambda_1\vert\Vert B\Vert=\Vert AB\Vert\le \Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert，且\Vert B\Vert>0\\ &\therefore \vert \lambda_1\vert<\Vert A\Vert,由谱半径定义得：\rho(A)=\Vert A\Vert \end{aligned} λ(A)={λ1,λ2,⋯,λn}，λ1=max{∣λ1∣,⋯,∣λn∣}=ρ(A)取特根X=0,使AX=λ1X,令矩阵B=(X,X,⋯,X)n×n=0可知AB=(AX,⋯,AX)=λ1B,∣λ1∣∥B∥=∥AB∥≤∥A∥⋅∥B∥，且∥B∥>0∴∣λ1∣<∥A∥,由谱半径定义得：ρ(A)=∥A∥
证明2：
任取矩阵范数∥A∥,产生向量范数∥X∥,且∥AX∥≤∣A∥⋅∥X∥任取A的特征值λ,有特向X≠0,使AX=λX则∣λ∣∥X∥=∥λX∥=∥AX∥≤∥A∥⋅∥X∥,且∥X∥>0∴∣λ∣≤∥A∥⇒ρ(A)≤∥A∥\begin{aligned} &任取矩阵范数 \Vert A\Vert,产生向量范数\Vert X\Vert,且 \Vert AX\Vert\le \vert A\Vert\cdot\Vert X\Vert\\ &任取A的特征值\lambda,有特向X\neq 0,使 AX=\lambda X\\ &则\vert \lambda\vert\Vert X\Vert=\Vert \lambda X\Vert=\Vert AX\Vert\le \Vert A\Vert\cdot \Vert X\Vert,且 \Vert X\Vert>0\\ &\therefore \vert \lambda\vert\le \Vert A\Vert\Rightarrow \rho(A)\le \Vert A\Vert \end{aligned} 任取矩阵范数∥A∥,产生向量范数∥X∥,且∥AX∥≤∣A∥⋅∥X∥任取A的特征值λ,有特向X=0,使AX=λX则∣λ∣∥X∥=∥λX∥=∥AX∥≤∥A∥⋅∥X∥,且∥X∥>0∴∣λ∣≤∥A∥⇒ρ(A)≤∥A∥

c. 小范数定理

设 A∈Cn,nA\in C^{n,n}A∈Cn,n 固定，任取很小正数 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0 ，则有矩阵范数 ∥∙∥ϵ\Vert \bullet\Vert_\epsilon∥∙∥ϵ ，使 ∥A∥ϵ≤ρ(A)+ϵ\Vert A\Vert_\epsilon\le \rho(A)+\epsilon∥A∥ϵ≤ρ(A)+ϵ

证明小范数定理

新范数公式：固定可逆阵 P=Pn×nP=P_{n\times n}P=Pn×n ， ∥A∥\Vert A\Vert∥A∥ 为矩阵范数 A∈Cn×nA\in C^{n\times n}A∈Cn×n ，令 φ(A)=∥P−1AP∥\varphi(A)=\Vert P^{-1}AP\Vertφ(A)=∥P−1AP∥ ，则 φ(A)\varphi(A)φ(A) 为矩阵范数，记新范数为 φ(A)=∥A∥P\varphi(A)=\Vert A\Vert_Pφ(A)=∥A∥P 或 φ(A)=∥A∥新\varphi(A)=\Vert A\Vert_新φ(A)=∥A∥新

推论

若 ρ(A)<1\rho(A)<1ρ(A)<1 ，则有某个范数 ∥A∥ϵ<1\Vert A\Vert_\epsilon<1∥A∥ϵ<1
∵ρ(A)<1，则1−ρ(A)>0,取ϵ>0很小，任意ϵ<12[1−ρ(A)]可知ρ(A)+ϵ<ρ(A)+12[1−ρ(A)]=12[1+ρ(A)]<1,由小范数定理，∃∥A∥ϵ<ρ(A)+ϵ<1\begin{aligned} &\because \rho(A)<1，则1-\rho(A)>0,取\epsilon>0很小，任意\epsilon <\frac{1}{2}[1-\rho(A)]\\ &可知 \rho(A)+\epsilon<\rho(A)+\frac{1}{2}[1-\rho(A)] = \frac{1}{2}[1+\rho(A)]<1,\\ &由小范数定理，\exist\Vert A\Vert_\epsilon<\rho(A)+\epsilon<1 \end{aligned} ∵ρ(A)<1，则1−ρ(A)>0,取ϵ>0很小，任意ϵ<21[1−ρ(A)]可知ρ(A)+ϵ<ρ(A)+21[1−ρ(A)]=21[1+ρ(A)]<1,由小范数定理，∃∥A∥ϵ<ρ(A)+ϵ<1

总结

给定方阵 An×nA_{n\times n}An×n ，∀ϵ>0\forall \epsilon >0∀ϵ>0 ，有某个范数 ∥∙∥ϵ<ρ(A)+ϵ\Vert \bullet\Vert_\epsilon<\rho(A)+\epsilon∥∙∥ϵ<ρ(A)+ϵ

SP：若 ρ(A)<1\rho(A)<1ρ(A)<1 ，则有某范数 ∥A∥ϵ<1\Vert A\Vert_\epsilon<1∥A∥ϵ<1

若 A=An×nA=A_{n\times n}A=An×n 为单阵（相似与对角阵），则存在矩阵范数 ∥X∥P,X∈Cn×n\Vert X\Vert_P,X\in C^{n\times n}∥X∥P,X∈Cn×n ，使得 $\Vert A\Vert_P=\rho(A) $

e. 谱范的应用——矩阵绝对收敛判定

若方阵A满足 Ak→0(k→∞)A^k\rightarrow 0(k\rightarrow \infty)Ak→0(k→∞) ，即 lim⁡k→∞Ak=0\lim_{k\rightarrow\infty}\limits A^k=0k→∞limAk=0 ，称A为收敛阵

充要条件

lim⁡k→∞Ak=0⟺∥Ak∥=0\lim_{k\rightarrow\infty}\limits A^k=0\iff \Vert A^k\Vert=0k→∞limAk=0⟺∥Ak∥=0

证明：
∵lim⁡k→∞Ak=0⟺Ak中每个元素aij(k)→0⟺∥Ak∥M=∑i,j∣aij(k)∣→k→∞0且由矩阵范数等价性，有lim⁡k→∞Ak=0⟺∥Ak∥→k→∞0\begin{aligned} &\because \lim_{k\rightarrow \infty}A^k=0\iff A^k中每个元素 a_{ij}^{(k)}\rightarrow 0\iff \Vert A^k\Vert_M=\sum_{i,j}\vert a_{ij}^{(k)}\vert\xrightarrow{k\rightarrow \infty} 0\\ &且由矩阵范数等价性，有\lim_{k\rightarrow \infty}\limits A^k=0\iff \Vert A^k\Vert\xrightarrow{k\rightarrow \infty}0 \end{aligned} ∵k→∞limAk=0⟺Ak中每个元素aij(k)→0⟺∥Ak∥M=i,j∑∣aij(k)∣k→∞0且由矩阵范数等价性，有k→∞limAk=0⟺∥Ak∥k→∞0
ρ(A)<1⟺∥Ak∥→0(k→∞)⇒Ak→0(k→∞)\rho(A)<1\iff \Vert A^k\Vert\rightarrow 0 (k\rightarrow \infty)\Rightarrow A^k\rightarrow 0(k\rightarrow \infty)ρ(A)<1⟺∥Ak∥→0(k→∞)⇒Ak→0(k→∞)
- 充分性：
  
  若 ρ(A)<1\rho(A)<1ρ(A)<1,则 ∃\exist∃ 某小范数 ∥A∥ϵ<1⇒∥Ak∥ϵ≤∥A∥ϵk→0⟺∥Ak∥ϵ→0\Vert A\Vert_\epsilon<1\Rightarrow \Vert A^k\Vert_\epsilon\le \Vert A\Vert^k_\epsilon\rightarrow 0\iff \Vert A^k\Vert_\epsilon\rightarrow 0∥A∥ϵ<1⇒∥Ak∥ϵ≤∥A∥ϵk→0⟺∥Ak∥ϵ→0
  
  由于范数等价性，对于所有范数都有 ∥Ak∥→k→∞0\Vert A^k\Vert\xrightarrow{k\rightarrow \infty}0∥Ak∥k→∞0
- 必要性：

充分条件

某一范数 ∥A∥<1⇒∥Ak∥→0(k→∞)\Vert A\Vert<1\Rightarrow \Vert A^k\Vert\rightarrow 0(k\rightarrow \infty)∥A∥<1⇒∥Ak∥→0(k→∞)

若范数 ∥A∥<1⇒∥Ak∥≤∥A∥k\Vert A\Vert<1\Rightarrow \Vert A^k\Vert\le \Vert A\Vert^k∥A∥<1⇒∥Ak∥≤∥A∥k 已知 ∥A∥<1⇒∥A∥k→k→∞0\Vert A\Vert<1\Rightarrow \Vert A\Vert^k\xrightarrow{k\rightarrow \infty} 0∥A∥<1⇒∥A∥kk→∞0 ,则 ⇒∥Ak∥→0⇒Ak→k→∞0，A为收敛阵\Rightarrow \Vert A^k\Vert\rightarrow 0\Rightarrow A^k\xrightarrow{k\rightarrow\infty} 0，A为收敛阵⇒∥Ak∥→0⇒Akk→∞0，A为收敛阵

总结

ρ(A)<1⟺Ak→0(k→∞)\rho(A)<1\iff A^k\rightarrow 0(k\rightarrow \infty)ρ(A)<1⟺Ak→0(k→∞) ，A为收敛阵

某一范数 ∥A∥<1⇒Ak→0(k→∞)\Vert A\Vert<1\Rightarrow A^k\rightarrow 0(k\rightarrow \infty)∥A∥<1⇒Ak→0(k→∞) ，A为收敛阵

纽曼公式(矩阵级数收敛公式)

若 ρ(A)<1\rho(A)<1ρ(A)<1 ，则 I+A+A2+⋯+Ak=(I−A)−1I+A+A^2+\cdots+A^k=(I-A)^{-1}I+A+A2+⋯+Ak=(I−A)−1 ；

若 ρ(A)≥1\rho(A)\ge 1ρ(A)≥1 ，则 I+A+A2+⋯+AkI+A+A^2+\cdots+A^kI+A+A2+⋯+Ak 发散，无意义
若某范数 ∥A∥<1\Vert A\Vert<1∥A∥<1 ，则 I+A+A2+⋯+Ak=(I−A)−1I+A+A^2+\cdots+A^k=(I-A)^{-1}I+A+A2+⋯+Ak=(I−A)−1

证明
(1)已知ρ(A)<1⇒Ak→0(k→∞)(I−A)(I+A+A2+⋯+Ak)=I−Ak+1当k→∞,⇒(I−A)(I+A+A2+⋯+Ak)=I故可得(I−A)−1=I+A+A2+⋯+Ak\begin{aligned} &(1)已知\rho(A)<1\Rightarrow A^k\rightarrow 0(k\rightarrow \infty) \\ &(I-A)(I+A+A^2+\cdots+A^k)=I-A^{k+1}\\ &当k\rightarrow \infty,\Rightarrow (I-A)(I+A+A^2+\cdots+A^k)=I\\ &故可得 (I-A)^{-1}=I+A+A^2+\cdots+A^k \end{aligned} (1)已知ρ(A)<1⇒Ak→0(k→∞)(I−A)(I+A+A2+⋯+Ak)=I−Ak+1当k→∞,⇒(I−A)(I+A+A2+⋯+Ak)=I故可得(I−A)−1=I+A+A2+⋯+Ak

(2)若∥A∥<1,则ρ(A)≤∥A∥<1,由(1)结论，可知结论成立\begin{aligned} &(2)若 \Vert A\Vert<1,则\rho(A)\le \Vert A\Vert <1,由(1)结论，可知结论成立 \end{aligned} (2)若∥A∥<1,则ρ(A)≤∥A∥<1,由(1)结论，可知结论成立

∥A∥1=43,∥A∥∞=32,λ(A)={12,13}，ρ(A)<1故∑k=0∞Ak=(I−A)−1=(12−1023)−1=3(231012)=(23032)\begin{aligned} &\Vert A\Vert_1=\frac{4}{3},\Vert A\Vert_\infty=\frac{3}{2},\lambda(A)=\{\frac{1}{2},\frac{1}{3}\} ，\rho(A)<1\\ &故\sum_{k=0}\limits^\infty A^k=(I-A)^{-1}=\left( \begin{matrix} \frac{1}{2}&-1\\0&\frac{2}{3} \end{matrix} \right)^{-1}=3\left( \begin{matrix} \frac{2}{3}&1\\0&\frac{1}{2} \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2&3\\0&\frac{3}{2} \end{matrix} \right) \end{aligned} ∥A∥1=34,∥A∥∞=23,λ(A)={21,31}，ρ(A)<1故k=0∑∞Ak=(I−A)−1=(210−132)−1=3(320121)=(20323)

∥(I−A)−1∥\Vert (I-A)^{-1}\Vert∥(I−A)−1∥ 计算

设 A∈Cn×nA\in C^{n\times n}A∈Cn×n ， ∥A∥\Vert A\Vert∥A∥ 是矩阵范数，若 ∥A∥<1\Vert A\Vert<1∥A∥<1 ，则 I−AI-AI−A 为非奇异阵(可逆)，且 ∥(I−A)−1∥≤∥I∥1−∥A∥\Vert (I-A)^{-1}\Vert\le \frac{\Vert I\Vert}{1-\Vert A\Vert}∥(I−A)−1∥≤1−∥A∥∥I∥