（搬运）大学物理实验理论部分知识点

零、前言
一、误差的概念
- 1. 实际具有值，记为A——真值
- 2. 绝对误差
- 3. 相对误差
- 4. 误差的分类
- - 1）系统误差
  - 2）随机误差
  - 3）粗大误差
- 5.随机误差大小程度——精密度
  系统误差大小程度——正确度
  测量结果与正值一致程度——精确度
二、随机误差统计处理
- - 服从状态分布的随机误差的特点:
    单峰
    对称
    有界
    抵偿
- 1. 标准差和标准偏差
- 2. 平均值的标准差
三、仪器误差限
- 1. 定义
- 2. 常用
四、不确定度
- 1. 不确定度
- 2.统计方法：
- 3.B类误差的评定方法
- 4.不确定度的方差合成
- 5.最终表达形式：
- 6.测量结果的加权平均值
五、有效数字
- 1.若干位可靠和一位可疑——有效数字
- 2.最高位前的0不算
- 3.一般读最小分度的十分之一和五分之一
- 4.运算法则：
六、实验数据处理
- 1. 列表法：
- 2.作图法
七、最小二乘和一元线性回归
- 1.原理：
- 2.要求：
- 3.一元线性回归
八、逐差法
- 1.测量次数为偶数
- 2.测量次数为奇数
- 3.逐差法大大简化了计算

零、前言

从百度文库的一篇文章摘得,复习大物顺便练习一些标记语言的操作，侵删

一、误差的概念

1. 实际具有值，记为A——真值

约定真值：
物理常数——公认值
更高精度的测量结果——标准值
理论得出的值——理论值

2. 绝对误差

测量值(N)和真值得差：
ΔN=N−A\Delta N=N-A ΔN=N−A

3. 相对误差

绝对误差和正值的比值：
E=ΔNA=N−AA×100%E=\frac{\Delta N}{A}=\frac{N-A}{A} \times 100\% E=AΔN=AN−A×100%

4. 误差的分类

1）系统误差

规律确定
(掌握了误差大小与符号的以至于可以修正的，叫可定系统误差；不能叫未定系统误差）

2）随机误差

不可预知，服从统计规律

3）粗大误差

过失导致，测量错误

5.随机误差大小程度——精密度
系统误差大小程度——正确度
测量结果与正值一致程度——精确度

二、随机误差统计处理

服从状态分布的随机误差的特点:
单峰
对称
有界
抵偿

1. 标准差和标准偏差

标准差：
σ=lim⁡k→+∞∑(xi−A)2k\sigma=\sqrt{\lim_{k\to+\infty}\frac{\sum(x_i-A)^{2}}{k}} σ=k→+∞limk∑(xi−A)2
用标准偏差来代替
S(x)=∑(xi−xˉ)2k−1S(x)=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar{x})^{2}}{k-1}} S(x)=k−1∑(xi−xˉ)2
正值的估计值（单次测量）和单次结果的标准偏差最佳估计值为：
xi±S(x)(置信概率68.3%)x_i\pm S(x) \qquad(置信概率68.3\%) xi±S(x)(置信概率68.3%)

2. 平均值的标准差

正值的最佳估计值（平均）和单次结果的标准偏差最佳估计值为：
xˉ±S(xˉ)\bar{x}\pm S(\bar{x}) xˉ±S(xˉ)
其中，
S(xˉ)=∑(xi−xˉ)2k(k−1)S(\bar{x})=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar{x})^{2}}{k(k-1)}} S(xˉ)=k(k−1)∑(xi−xˉ)2

三、仪器误差限

1. 定义

由国家标准定，最大允许的误差

2. 常用

长度：
游标卡尺取分度值；钢板尺、螺旋测微器按最小分度的一半
指针仪器：
Δ仪=a%⋅Nm（Nm是量程，a是准确度等级）\Delta_仪=a\% \cdot N_m \\ （N_m 是量程，a是准确度等级） Δ仪=a%⋅Nm（Nm是量程，a是准确度等级）
数字式仪表：
Δ仪=a%⋅Nx+b%⋅Nm(Nx为显示的读数，a是数字电表的准确度等极,Nx为仪表的满度值,b是误差的绝对项系数)\Delta_仪=a\%\cdot N_x+b\%\cdot N_m\\(N_x为显示的读数，a是数字电表的准确度等极,N_x为仪表的满度值,b是误差的绝对项系数) Δ仪=a%⋅Nx+b%⋅Nm(Nx为显示的读数，a是数字电表的准确度等极,Nx为仪表的满度值,b是误差的绝对项系数)
或
Δ仪=a%⋅Nx+n（n为固定项偏差）\Delta_仪=a\%\cdot N_x+n\\ （n为固定项偏差） Δ仪=a%⋅Nx+n（n为固定项偏差）
电阻箱：
Δ仪=∑iai%⋅Ri+R0(R0为残余电阻，Ri是第i个度盘的示值，ai是各自的准确度等级)\Delta_仪=\sum_{i}a_i\% \cdot R_i+R_0\\ (R_0为残余电阻，R_i是第i个度盘的示值，a_i是各自的准确度等级) Δ仪=i∑ai%⋅Ri+R0(R0为残余电阻，Ri是第i个度盘的示值，ai是各自的准确度等级)
直流电桥：
Δ仪=a%(Rx+R010)\Delta_仪=a\%\big(R_x+\frac{R_0}{10}\big) Δ仪=a%(Rx+10R0)
直流电位差计
Δ仪=a%(Ux+U010)\Delta_仪=a\%\big(U_x+\frac{U_0}{10}\big) Δ仪=a%(Ux+10U0)

四、不确定度

1. 不确定度

表征分散性

有两类：

A类不确定度——统计方法得出

B类——非统计方法

2.统计方法：

S(xˉ)=∑i(xi−xˉ)2k(k−1)=x2ˉ−xˉ2k−1,其中x2ˉ=∑ixi2kS(\bar{x})=\sqrt{\frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^{2}}{k(k-1)}}=\sqrt{\frac{\bar{x^{2}}-{\bar{x}}^{2}}{k-1}},其中\bar{x^{2}}=\frac{\sum_{i}x_i^{2}}{k} S(xˉ)=k(k−1)∑i(xi−xˉ)2=k−1x2ˉ−xˉ2,其中x2ˉ=k∑ixi2

3.B类误差的评定方法

通常以以下的形式出现：
Δb\Delta_b Δb
ub=ΔbK,K为包含因子u_b=\frac{\Delta_b}{K},K为包含因子 ub=KΔb,K为包含因子
对正态分布来说，K大概为3
对于均匀分布来说，K=根号三

4.不确定度的方差合成

A类不确定度：ua=(ua1,ua2,...,uai,...)B类不确定度：ub=(ub1,ub2,...,ubi,...)A类不确定度：u_a=(u_{a1},u_{a2},...,u_{ai},...)\\B类不确定度：u_b=(u_{b1},u_{b2},...,u_{bi},...) A类不确定度：ua=(ua1,ua2,...,uai,...)B类不确定度：ub=(ub1,ub2,...,ubi,...)
如果相互独立，合成的不确定度为：
u=ua×uaT+ub×ubT=∑iuai2+∑jubj2u=\sqrt{u_a\times {u_a}^{T}+u_b\times {u_b}^{T}}=\sqrt{\sum_{i}{u_{ai}}^{2}+\sum_{j}{u_{bj}}^{2}} u=ua×uaT+ub×ubT=i∑uai2+j∑ubj2
F=f(x1,x2,...,xn),u(F)=∑iui2=∑i(∂f∂xi)2u2(xi)F=f(x_1,x_2,...,x_n),\\ u(F)=\sqrt{\sum_{i}{u_i}^{2}}=\sqrt{\sum_{i}\Big(\frac{\partial f}{\partial x_i}\Big)^{2}u^{2}(x_i)} F=f(x1,x2,...,xn),u(F)=i∑ui2=i∑(∂xi∂f)2u2(xi)
特殊情况
u(F)F=∑i[∂lnf∂xiu(xi)]2\frac{u(F)}{F}=\sqrt{\sum_{i}\Big[\frac{\partial lnf}{\partial x_i}u(x_i)\Big]^{2}} Fu(F)=i∑[∂xi∂lnfu(xi)]2
如：
F=Axpyqzr...u(F)F=[pu(x)x]2+[qu(q)q]2+[ru(z)z]2+...F=Ax^{p}y^{q}z^{r}...\\ \frac{u(F)}{F}=\sqrt{\Big[\frac{pu(x)}{x}\Big]^{2}+\Big[\frac{qu(q)}{q}\Big]^{2}+\Big[\frac{ru(z)}{z}\Big]^{2}+...} F=Axpyqzr...Fu(F)=[xpu(x)]2+[qqu(q)]2+[zru(z)]2+...

5.最终表达形式：

X±u(X)=(__±__)单位X\pm u(X)=(\_\_\pm\_\_)单位 X±u(X)=(__±__)单位
注意：u(X)只保留一位有效数字；测量结果X与不确定度小数位对齐

6.测量结果的加权平均值

进行了n次不等精度测量，n次测量结果为：x1±u(x1),x2±u(x2),...,xn±u(xn),最佳观测值xˉ由∂∂x∑i(x−xiu(xi))2=0给出xˉ=∑ixiu2(xi)∑i1u2(xi),u(x)=1∑i1u2(xi)进行了n次不等精度测量，n次测量结果为：\\x_1\pm u(x_1),x_2\pm u(x_2),...,x_n\pm u(x_n),\\最佳观测值\bar{x}由\frac{\partial}{\partial x}\sum_{i}\Big(\frac{x-x_i}{u(x_i)}\Big)^{2}=0给出\\ \bar{x}=\frac{\sum_{i} \frac{x_i}{u^{2}(x_i)}}{\sum_{i} \frac{1}{u^{2}(x_i)}},u(x)=\frac{1}{\sum_{i} \frac{1}{u^{2}(x_i)}} 进行了n次不等精度测量，n次测量结果为：x1±u(x1),x2±u(x2),...,xn±u(xn),最佳观测值xˉ由∂x∂i∑(u(xi)x−xi)2=0给出xˉ=∑iu2(xi)1∑iu2(xi)xi,u(x)=∑iu2(xi)11

五、有效数字

1.若干位可靠和一位可疑——有效数字

2.最高位前的0不算

3.一般读最小分度的十分之一和五分之一

4.运算法则：

加减法：最末一位位数最高的为准，并对其N=A+B−C−D,则u(N)=u2(A)+u2(B)+u2(C)+u2(D)加减法：\\ 最末一位位数最高的为准，并对其\\ N=A+B-C-D,\\ 则u(N)=\sqrt{u^{2}(A)+u^{2}(B)+u^{2}(C)+u^{2}(D)} 加减法：最末一位位数最高的为准，并对其N=A+B−C−D,则u(N)=u2(A)+u2(B)+u2(C)+u2(D)
乘除法以有效位数最少的为准，结果的有效数字个数与这个相同N=A⋅B⋅CD,则u(N)N=[u(A)A]2+[u(A)A]2+[u(B)B]2+[u(C)C]2+[u(D)D]2乘除法\\ 以有效位数最少的为准，结果的有效数字个数与这个相同\\ N=\frac{A \cdot B \cdot C}{D},\\ 则\frac{u(N)}{N}=\sqrt{\Big[\frac{u(A)}{A}\Big]^{2}+\Big[\frac{u(A)}{A}\Big]^{2}+\Big[\frac{u(B)}{B}\Big]^{2}+\Big[\frac{u(C)}{C}\Big]^{2}+\Big[\frac{u(D)}{D}\Big]^{2}} 乘除法以有效位数最少的为准，结果的有效数字个数与这个相同N=DA⋅B⋅C,则Nu(N)=[Au(A)]2+[Au(A)]2+[Bu(B)]2+[Cu(C)]2+[Du(D)]2
混合四则运算则分开逐一进行

特殊函数:
取Δx=0.01,看Δy在那个量级（比如1.63×10−4)则可疑数字发生在小数点后4位取\Delta x=0.01,看\Delta y在那个量级（比如1.63\times 10^{-4})则可疑数字发生在小数点后4位取Δx=0.01,看Δy在那个量级（比如1.63×10−4)则可疑数字发生在小数点后4位

六、实验数据处理

1. 列表法：

标题栏注明物理量的名称、符号和单位

记录原始数据

简单处理结果和函数关系

参数和说明

2.作图法

要求：

原始数据列表展示
用坐标纸作图，大小不损失有效数字且包括所有点
最小分格以下的估计位与实验数据中最后一位对应
选好坐标轴并标好相关的物理量名称、单位和坐标分度值。比例一般取1、2、5、10…
实验数据点不以细圆点标出，光滑连接曲线
求斜率与截距，在线上取点，不可以用实验点，两点要足够远；标注所取点的坐标

七、最小二乘和一元线性回归

1.原理：

若存在一条最佳拟合曲线，残差的平方和取最小值

2.要求：

因变量有误差，自变量误差做准确值处理

3.一元线性回归

设直线为：
y=a+bxy=a+bx y=a+bx
实验测得数据为
(x1,y1),(x2,y2),...(xk,yk)(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_k,y_k) (x1,y1),(x2,y2),...(xk,yk)
则有
{a=∑xi∑yi−k∑xiyi(∑xi)2−k∑xi2=xˉ⋅yˉ−xyˉxˉ2−x2ˉb=∑xiyi∑yi−∑yiyxi2(∑xi)2−k∑xi2=yˉ−bxˉ其中,xˉ=1k∑ixi,yˉ=1k∑iyi,x2ˉ=1k∑ixi2,xyˉ=1k∑ixi⋅yi,\left\{ \begin{matrix} a= \frac{\sum x_i\sum y_i-k\sum x_i y_i}{(\sum x_i)^{2}-k\sum {x_i}^{2}}=\frac{\bar{x}\cdot\bar{y}-\bar{xy}}{\bar{x}^{2}-\bar{x^{2}}} \\ b= \frac{\sum x_i y_i\sum y_i-\sum y_i y_{{x_i}^{2}}}{(\sum x_i)^{2}-k\sum {x_i}^{2}}=\bar y-b\bar x\\ \end{matrix} \right. \\其中,\bar{x}=\frac{1}{k}\sum_{i}x_i,\bar{y}=\frac{1}{k}\sum_{i}y_i,\bar{x^{2}}=\frac{1}{k}\sum_{i}{x_i}^{2},\bar{xy}=\frac{1}{k}\sum_{i}x_i\cdot y_i, {a=(∑xi)2−k∑xi2∑xi∑yi−k∑xiyi=xˉ2−x2ˉxˉ⋅yˉ−xyˉb=(∑xi)2−k∑xi2∑xiyi∑yi−∑yiyxi2=yˉ−bxˉ其中,xˉ=k1i∑xi,yˉ=k1i∑yi,x2ˉ=k1i∑xi2,xyˉ=k1i∑xi⋅yi,
相关系数r：r=xyˉ−xˉ⋅yˉ(x2ˉ−xˉ2)(y2ˉ−yˉ2)相关系数r：\\ r=\frac{\bar{xy}-\bar{x}\cdot\bar{y}}{\sqrt{(\bar{x^{2}}-{\bar{x}}^{2})(\bar{y^{2}}-{\bar{y}}^{2})}} 相关系数r：r=(x2ˉ−xˉ2)(y2ˉ−yˉ2)xyˉ−xˉ⋅yˉ
∣r∣=1,全部过实验点∣r∣≈1,线性关系强烈r>0,自变量随着因变量增加r<0,自变量随着因变量减小r≈0,无线性关系，拟合直线为与x轴平行直线|r|=1,全部过实验点\\ |r|\approx1,线性关系强烈\\ r>0,自变量随着因变量增加\\ r<0,自变量随着因变量减小\\ r\approx0,无线性关系，拟合直线为与x轴平行直线 ∣r∣=1,全部过实验点∣r∣≈1,线性关系强烈r>0,自变量随着因变量增加r<0,自变量随着因变量减小r≈0,无线性关系，拟合直线为与x轴平行直线
yiy_iyi的不确定度估计
S(y)=∑i[yi−(a+bxi)]2k−2S(y)=\sqrt{\frac{\sum_{i}[y_i-(a+bx_i)]^{2}}{k-2}}S(y)=k−2∑i[yi−(a+bxi)]2
a、b的标准差为
s(a)=s(y)x2ˉk(x2ˉ−xˉ2)s(a)=s(y)\sqrt{\frac{\bar{x^{2}}}{k(\bar{x^2}-\bar{x}^2)}}s(a)=s(y)k(x2ˉ−xˉ2)x2ˉ
s(b)=s(y)1k(x2ˉ−xˉ2)s(b)=s(y)\sqrt{\frac{1}{k(\bar{x^2}-\bar{x}^2)}}s(b)=s(y)k(x2ˉ−xˉ2)1
若a,b,r算出，
s(a)=x2ˉ⋅s(b)s(a)=\sqrt{\bar{x^2}}\cdot s(b)s(a)=x2ˉ⋅s(b)
s(b)=b1k−2(1r2−1)s(b)=b\sqrt{\frac{1}{k-2}(\frac{1}{r^2}-1)}s(b)=bk−21(r21−1)

八、逐差法

存在关系
y=a+bxy=a+bxy=a+bx

已测得
(x1,y1),(x2,y2),...,(xk,yk)(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_k,y_k)(x1,y1),(x2,y2),...,(xk,yk)

1.测量次数为偶数

k=2nk=2nk=2n分组
{x1,...,xnxn+1,...,x2n;{y1,...,ynyn+1,...,y2nb1=yn+1−y1xn+1−x1,...,bn=y2n−ynx2n−xn取bˉ=1n∑ibiaˉ=1k(∑yi−bˉ∑xi)s(b)=∑i(bi−bˉ)2n(n−1)\left\{ \begin{matrix} x_1,...,x_n \\ x_{n+1},...,x_{2n} \end{matrix} \right.; \left\{ \begin{matrix} y_1,...,y_n \\ y_{n+1},...,y_{2n} \end{matrix} \right. b_1=\frac{y_{n+1}-y_1}{x_{n+1}-x_1},...,b_n=\frac{y_{2n}-y_n}{x_{2n}-x_n}\\ 取\bar b =\frac{1}{n}\sum_{i}b_i\\ \bar a=\frac{1}{k}(\sum y_i-\bar b\sum x_i)\\ s(b)=\sqrt{\frac {\sum_{i}(b_i-\bar b)^2}{n(n-1)}} {x1,...,xnxn+1,...,x2n;{y1,...,ynyn+1,...,y2nb1=xn+1−x1yn+1−y1,...,bn=x2n−xny2n−yn取bˉ=n1i∑biaˉ=k1(∑yi−bˉ∑xi)s(b)=n(n−1)∑i(bi−bˉ)2

2.测量次数为奇数

设k=2n−1设k=2n-1设k=2n−1，其他同上

3.逐差法大大简化了计算

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