一、概念

1.1 分支限界法的基本思想

1.2 分支限界法与回溯法的不同

1.3 分支限界法的搜索方式

1.4 常见的两种分支限界法

二、举例

2.1 单源最短路径问题

三、代码实现

3.1 源程序

3.2 运行结果

一、概念

1.1 分支限界法的基本思想

1.2 分支限界法与回溯法的不同

1.3 分支限界法的搜索方式

1.4 常见的两种分支限界法

二、举例

2.1 单源最短路径问题

下图是用优先队列式(FIFO)分支限界法解有向图G的单源最短路径问题的解空间树；其中，每一个结点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。

找到一条路径：

目前的最短路径是8，一旦发现某个结点的下界不小于这个最短路径，则剪枝：

同一个结点选择最短的到达路径：

剪枝的策略：

1、在算法扩展结点的过程中，一旦发现一个结点的下界不小于当前找到的最短路长，则算法剪去以该结点为根的子树。

2、在算法中，利用结点间的控制关系进行剪枝。从源顶点s出发，2条不同路径到达图G的同一顶点。由于两条路径的路长不同，因此可以将路长较长的路径所对应的树中的结点为根的子树剪去。

最终结果：

所以从源顶点到终点的最短路径值为8，最短路径为：0 2 6 9 10。

三、代码实现

3.1 源程序

package SufaLjh.Exp1.Homework_8.Day_6_11;import SufaLjh.Exp1.Homework_8.Day_6_11.tool.Heap;
import SufaLjh.Exp1.Homework_8.Day_6_11.tool.HeapNode;/*** 分支限界法求单源最短路径问题*/
public class E2 {//定义变量int heapsize = 0,n=10,inf = 1000;//inf 表示距离为无穷int c[][] = new int[11][11],dist[]=new int[11],prev[]=new int[11];/*** 主方法 程序入口* @param args*/public static void main(String[] args) {new E2();}public E2(){for (int i = 0; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= n; j++)c[i][j] = inf;dist[i]=inf;}c[0][1]=2;c[0][2]=3;c[0][3]=4;c[1][2]=3;c[1][4]=7;c[1][5]=2;c[2][5]=9;c[2][6]=2;c[3][6]=2;c[4][7]=1;c[4][8]=2;c[5][6]=1;c[5][8]=3;c[6][8]=5;c[6][9]=1;c[7][10]=2;c[8][10]=2;c[9][8]=2;c[9][10]=2;Shostestpaths(0,10);System.out.printf("从源点到最后一个点的最短路径的值为:%d\n",dist[10]);print(10);}/*** 分支限界法* @param v 源点* @param end 终点*/private void Shostestpaths(int v,int end){Heap heap = new Heap();HeapNode E = new HeapNode(),N = new HeapNode();E.i=v;E.d=0;dist[v]=0;while (true){for (int j = 1; j <= n; j++) {//找当前节点(下标为E，i)的所有儿子节点//int d=E.d+c[E.i][j];//if (c[E.i][j]<inf&&d<dist[j]&&d<dist[end])if (c[E.i][j]<inf&&E.d+c[E.i][j]<dist[j]&&E.d<dist[end]){dist[j]=E.d+c[E.i][j];//更新到第j个顶点的最短距离prev[j]=E.i;//取到第j个顶点的最短距离时，第j个顶点的前一个顶点为E.iN.i=j;N.d=dist[j];//给堆的新节点赋值N.key=N.d;//用最短距离作为堆中关键值heap.minHeapInsert(N);//将所有节点插入堆中}}E=heap.minHeapDelete();//取出堆顶元素作为当前节点if (E.key==-1)break;//堆为空时退出}}/*** 打印输出的方法* @param v 源点*/private void print(int v) {int t[] = new int[11];int i = v,j=0;while (i>0){t[j++]=i;i=prev[i];}t[j]=0;System.out.printf("最短路径为:");for (; j >= 0; j--) {System.out.printf("%d ",t[j]);}}
}定义最大堆和最小堆的类文件Heap.java：
package SufaLjh.Exp1.Homework_8.Day_6_11.tool;//大顶堆
public class Heap {int heapsize=0;//堆的大小HeapNode A[]=new HeapNode[1000];//存放堆的数组/*** 主方法* @param args*/public static void main(String[] args) {new Heap();}/*public Heap(){}*//*** 构造器*/public Heap() {for(int i=0;i<1000;i++)A[i]=new HeapNode();/*System.out.println("小顶堆：");//System.out.println("大顶堆: ");for (int i = 0; i < 10; i++) {HeapNode heapNode = new HeapNode();heapNode.key = i;//maxHeapInsert(heapNode);minHeapInsert(heapNode);}*///HeapNode E = maxHeapDelete();HeapNode E = minHeapDelete();while (E.key!=-1){System.out.println(E.key+"  ");//E=maxHeapDelete();E=minHeapDelete();}}//大顶堆插入public  void maxHeapInsert(HeapNode a) {heapsize++;int i = heapsize;while (i > 1 && A[i / 2].key < a.key) {A[i].clone(A[i/2]);i=i/2;}A[i].clone(a);}//大顶堆返回堆顶元素public  HeapNode maxHeapDelete() {if (heapsize < 1) {A[0].key = -1;A[0].i = 0;return A[0];}HeapNode max = new HeapNode();max.clone(A[1]);A[1].clone(A[heapsize]);heapsize--;maxHeapify(1);//堆化return max;}//大顶堆堆化public  void maxHeapify(int i) {int L, R, max;L = 2 * i;R = 2 * i + 1;if (L <= heapsize && A[L].key > A[i].key)max = L;elsemax = i;if (R <= heapsize && A[R].key > A[max].key)max = R;if (max != i) {HeapNode t = new HeapNode();t.clone(A[i]);A[i].clone(A[max]);A[max].clone(t);maxHeapify(max);}}//小顶堆public void minHeapInsert(HeapNode a){heapsize++;int i=heapsize;while(i>1&&A[i/2].key>a.key){A[i].clone(A[i/2]);i=i/2;}A[i].clone(a);}public HeapNode minHeapDelete(){if(heapsize<1){A[0].key=-1;return A[0];}HeapNode min=new HeapNode();min.clone(A[1]);A[1].clone(A[heapsize]);heapsize--;minHeapify(1);return min;}//小顶堆堆化public void minHeapify(int i){int L,R,min;L=2*i;R=2*i+1;if(L<=heapsize&&A[L].key<A[i].key) min=L;else min=i;if(R<=heapsize&&A[R].key<A[min].key) min=R;if(min!=i){HeapNode  t=new HeapNode();t.clone(A[i]);A[i].clone(A[min]);A[min].clone(t);           minHeapify(min);}}}定义堆节点的类文件HeapNode.java：
package SufaLjh.Exp1.Homework_8.Day_6_11.tool;public class HeapNode {public int ew,wt,i,x,key,d;public double p, up;public void clone(HeapNode t) {this.i=t.i;this.ew=t.ew;this.wt=t.wt;this.x=t.x;this.p=t.p;this.up=t.up;this.key=t.key;this.d=t.d;}
}

3.2 运行结果

算法与程序设计的复习嘻嘻嘻蟹蟹٩('ω')و

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