凸优化第二章凸集 2.4 广义不等式
2.4 广义不等式
- 正常锥与广义不等式
- 最小元和极小元
正常锥
一个锥K是正常锥需要满足以下几个条件:
- K是凸的
- K是闭的
- K是实的,具有非空内部
- K是尖的,不包含直线
广义不等式
用正常锥可以定义广义不等式,即上的偏序关系。
严格偏序关系:
(K内部)
当时,这种偏序关系也就是R上实际的
例子:
分量不等式:
矩阵不等式:,半正定。
广义不等式的性质:
- 对于加法保序:
- 传递性:
- 非负数乘保序性:
- 自反的:
- 反对称的:
- 极限运算保序:
最小元和极小元
在介绍极小元和最小元之前,先说明“可比较”的概念,广义不等式中的偏序关系比普通意义的不等式更复杂,在实数域,任意两个数都可比较,但是在广义不等式就未必行得通,比如分量不等式,两个向量x,y,如果x<y,则要求x的每一个分量都小于y的对应分量,如果,x和y就是不可比较的。
最小元
最小元:都有且,则x是S的最小元。
且x是S的最小元,当且仅当,x+K表示与x是可比较的(即可以与x相比)并且大于等于x的所有元素。
极小元
极小元;,则x是S的极小元。
x是S的极小元当且仅当,x-K表示与x是可比较的(即可以与x相比)并且小于x的所有元素。
以为例,下图,分别展示了其最小元和极小元
上图为集合的最小元,在中,,以第一分量做水平坐标轴,第二分量做垂直坐标轴,在几何上可以看成是y在x的右上方,即上图浅色阴影区域,同时可以看出。
上图展示了的极小元,首先可以看出中的点并不是全部都与可比较,但在中与可比较的全部的点中,最小。
综上两图可以发现S中最小元m和极小元l的异同。
- 最小元m可与S中全部元素相比较,极小元l不与S中的全部元素可比较(将S中可与极小元l比较的元素集合记为C)。
- m在S中最小,l在C中最小。
来源:https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/86495751
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