Tarjan点的双联通（寻找割点）

问题概述：给你一个无向联通图，你要在图中标记一些点，使得这个图中的任意一个点消失了，剩余的点都可以通

过一条路径到达你某个标记的点。问你最少需要选择多少个点，并且在最优的情况下有多少总选点方案，（每个样

例输入的第一个数m表示图中有多少条边，当m为0时读入结束）

输入样例：对应输出：

9 Case 1: 2 4

1 3 4 1

3 5 1 2

2 6 1 5

6 3 1 6 3 2

UVALive - 5135

点双连通图：该无向图中的任意两个顶点间都存在两条点不相交的路径

（或是说该图中去掉任意一个点都不会影响其联通性）

定理：

①如果一个连通图不是点双联通图，那么必定存在至少一个点，如果这个点消失，图就会被分成多块，这样的点也

被称为割点

②点双联通分量一定是边双联通分量（除两点一线的特殊情况），反之不一定

③点双联通分量可以有公共点

Trajan主要原理：

time[k]：第一次遍历到k点的时间

low[k]：k点所在点双联通分量子图中第一个被搜到的点的time值

vis[k]：k点是否已经遍历

主要思路：一般来讲无论求解点双联通还是边双连通都是边入栈，如果点入栈，而因为性质③，你将一个点出栈

后，还可能有别的点双联通分量包含它，所以点入栈会导致一些错误和麻烦，但这里有种方法可以不需要栈，大概

思路是把所有的割点找出来（割点的time[]值一定会小于等于他搜索子树儿子点的low[]值，至于为什么？很显然如果一个点不是割点，那么它必定在一个环上或它自身是一个点双联通分量，考虑前者：那么这个点的深搜子树一定

会与他的某个父亲相连接，这样这个点儿子的low[]值就会是这个点某个父亲的low[]值，所以一定小于本身的time[]

值；考虑后者，它就不存在深搜子树更没有儿子，根本不会比较），然后再搜索一遍找出所有在同一点双联通分量

中的点即可。

注意：搜索对于根节点因为它没有父亲节点，所以无法通过上述方法判断根是否是割点，那怎么办？如果根有两个

搜索子树，那么它一定是个割点，反之不是

搜索过程：

→当点k有与点c相连，如果此时（time[k]时）c没有搜过，搜索c点，当c点及其子树搜索完毕回溯后，low[k] =

min(low[k], low[c])，如果此时low[c]的值>=time[k]的值，则说明点k是割点，否则不是

→当点k有与点c相连，如果此时（time[k]时）c已经搜过，low[k] = min(low[k], time[c])

期间保证：每个点每条边都只被搜索1次，且必须搜索1次，复杂度n+m，

此题题解：

看懂这题后第一眼想到是此图有多少个点双联通分量，那么就至少需要标记多少个点，然后情况数就是所有点双联

通分量中点个数的乘积，但没这么简单，要注意以下两点：

①：如果这个图本身是个点双联通分量，那么还是必须要标记两个点，因为有可能标记的点会被去掉，情况数就是

n*(n-1)/2，其中n为图中点的数量

②：如果一个点双联通分量中有不止一个割点，那么这个点双联通分量中就不需要标记任何一个点，因为其中一个

割点被去掉，还可以走另外一个割点到另一个双连通分量中

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
using namespace std;
vector<int> G[50005];
set<int> st;
int n, t, sum, cutsum, vis[50005], low[50005], time[50005], cut[50005];
void Tarjan(int u, int p);
void Sech(int u);
int main(void)
{int i, m, u, v, cas = 1;long long bet, ans;while(scanf("%d", &m), m!=0){cutsum = 0;t = n = 1;memset(vis, 0, sizeof(vis));memset(cut, 0, sizeof(cut));for(i=1;i<=m+2;i++)G[i].clear();for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d", &u, &v);G[u].push_back(v);G[v].push_back(u);n = max(n, max(v, u));}Tarjan(1, 0);memset(vis, 0, sizeof(vis));st.clear();ans = 1, bet = 0;for(i=1;i<=n;i++){sum = 0;if(vis[i]==0 && cut[i]==0){st.clear();Sech(i);if(st.size()==1){ans *= sum;bet++;}}}if(cutsum==0)printf("Case %d: 2 %lld\n", cas++, (long long)n*(n-1)/2);elseprintf("Case %d: %lld %lld\n", cas++, bet, ans);}return 0;
}void Tarjan(int u, int p)
{int i, v, child = 0;vis[u] = 1;low[u] = time[u] = t++;for(i=0;i<G[u].size();i++){v = G[u][i];if(v==p)continue;if(vis[v]==0){child++;Tarjan(v, u);low[u] = min(low[v], low[u]);if(p==0 && child>1 || p!=0 && low[v]>=time[u])cut[u] = 1,  cutsum++;}elselow[u] = min(low[u], time[v]);}
}void Sech(int u)
{int i, v;sum++;vis[u] = 1;for(i=0;i<G[u].size();i++){v = G[u][i];if(cut[v])st.insert(v);         /*因为一个割点可能会被不同的点搜到，所以这里要用set防重*/if(cut[v] || vis[v])continue;Sech(v);}
}

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