《高等数学》学习笔记二:导数与微分(持续更新)
前置内容:高中数学选修2-2学习笔记; 《高等数学》学习笔记一:函数与极限
二、导数与微分
2.1 导数的概念
2.1.1 导数定义
假设函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0的某邻域内有定义。取增量Δx\Delta xΔx(x+Δxx+\Delta xx+Δx在邻域内),则Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)Δy=f(x0+Δx)−f(x0)。
如果limΔx→0ΔyΔx\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}Δx→0limΔxΔy存在,那么我们称f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0可导,把这个极限值称为f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的导数,记为f′(x0)f'(x_0)f′(x0),或y′∣x=x0y'|_{x=x_0}y′∣x=x0,或dydx∣x=x0\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}dxdy∣x=x0。
这个极限同样可以表示为limh→0f(x0+h)−f(x0)h\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}h→0limhf(x0+h)−f(x0),或limx→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}x→x0limx−x0f(x)−f(x0)。
类似于左极限、右极限,单侧导数就是从某侧逼近的导数。
左导数:f−′(x0)=limh→0−f(x0+h)−f(x0)h=limx→x0−f(x)−f(x0)x−x0f_-'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}f−′(x0)=h→0−limhf(x0+h)−f(x0)=x→x0−limx−x0f(x)−f(x0)
右导数:f+′(x0)=limh→0+f(x0+h)−f(x0)h=limx→x0+f(x)−f(x0)x−x0f_+'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}f+′(x0)=h→0+limhf(x0+h)−f(x0)=x→x0+limx−x0f(x)−f(x0)
比如f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣,则左导数f−′(0)=−1f_-'(0)=-1f−′(0)=−1,右导数f+′(0)=1f_+'(0)=1f+′(0)=1。导数f′(0)f'(0)f′(0)不存在。
f(x)f(x)f(x)在某点可导,等价于左右导数都存在且相等。
注意:导数的严格写法是ddxy\frac{d}{dx}ydxdy,dydx\frac{dy}{dx}dxdy是简便写法,有时不能看成dydydy与dxdxdx的商(有时可以)。
2.1.2 导数的几何意义(略)
可导相当于光滑,剩下的见选修2-2学习笔记(
2.1.3 可导与连续的关系
连续就是limΔx→0Δy→0\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta y\to 0Δx→0limΔy→0,可导就是limΔx→0ΔyΔx\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}Δx→0limΔxΔy存在。
如果函数可导,那么ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy不为无穷大,而Δx\Delta xΔx又趋于0,那Δy\Delta yΔy只能趋于0。所以可导一定连续。
如果函数连续,只能说明Δx→0\Delta x\to 0Δx→0时,Δy→0\Delta y\to 0Δy→0,但无法说明ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy是否为无穷,也无法说明极限值一定存在。因此连续不一定可导。
2.2 求导方法
2.2.1 导数公式
以下是选修2-2笔记中已证明的公式(补充:(tanx)′=1cos2x(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}(tanx)′=cos2x1)
以下是学习笔记一中提到的公式:
(arcsinx)′=11−x2(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arcsinx)′=1−x21;(arccosx)′=−11−x2(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arccosx)′=−1−x21;(arctanx)′=11+x2(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}(arctanx)′=1+x21
2.2.2 求导法则(略)
见选修2-2学刁笔记(
2.2.3 隐函数求导
显函数是指能表示为y=f(x)y=f(x)y=f(x)的函数,隐函数是能表示为F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0的函数。
例如,y=x2−2x+3y=x^2-2x+3y=x2−2x+3是显函数,ey+xy+114x+514=0e^y+xy+114x+514=0ey+xy+114x+514=0是隐函数。
隐函数无法把yyy都挪到一边再求导,但我们可以通过两边求导间接得到y′y'y′。
魔法:对xxx求导,相当于补上一个ddx\frac{d}{dx}dxd。(d表示变化量,d/dx表示变化量与x变化量的比值,也就是导数)
显然,等式两边对xxx求导之后仍然是相等的。因此我们可以运用魔法对ey+xy+114x+514=0e^y+xy+114x+514=0ey+xy+114x+514=0求导:
d(ey)dx+d(xy)dx+114=0\frac{d(e^y)}{dx}+\frac{d(xy)}{dx}+114=0dxd(ey)+dxd(xy)+114=0。
第一项可以变为d(ey)dy∗dydx\frac{d(e^y)}{dy}*\frac{dy}{dx}dyd(ey)∗dxdy,第二项就是一个乘法求导。因此化简为:
ey∗y′+(y+xy′)+114=0e^y*y'+(y+xy')+114=0ey∗y′+(y+xy′)+114=0
合并同类项:(ey+x)y′=−114−y(e^y+x)y'=-114-y(ey+x)y′=−114−y,那么y′=−114−yey+xy'=\frac{-114-y}{e^y+x}y′=ey+x−114−y。
第一项的求导方式也可以看成复合函数求导,把第一项看成eye^yey和yyy对xxx的函数的复合函数,那么求导就是两个导数相乘,即ey∗y′e^y*y'ey∗y′。
同样的方式,我们可以对y5+2y−x−3x7=0y^5+2y-x-3x^7=0y5+2y−x−3x7=0求导:
5y4y′+2y′−1−21x6=05y^4y'+2y'-1-21x^6=05y4y′+2y′−1−21x6=0,则(5y4+2)y′=21x6+1(5y^4+2)y'=21x^6+1(5y4+2)y′=21x6+1,因此y′=21x6+15y4+2y'=\frac{21x^6+1}{5y^4+2}y′=5y4+221x6+1。
x216+y29=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=116x2+9y2=1,两边求导:x8+2y∗y′9=0\frac{x}{8}+\frac{2y*y'}{9}=08x+92y∗y′=0,得到y′=−9x16yy'=-\frac{9x}{16y}y′=−16y9x
y=xsinxy=x^{\sin x}y=xsinx,变形为lny=sinxlnx\ln y=\sin x\ln xlny=sinxlnx,两边求导:
y′y=cosxlnx+sinxx\frac{y'}{y}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}yy′=cosxlnx+xsinx,则y′=y(cosxlnx+sinxx)=xsinx(cosxlnx+sinxx)y'=y(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})=x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})y′=y(cosxlnx+xsinx)=xsinx(cosxlnx+xsinx)
y=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}y=(x−3)(x−4)(x−1)(x−2),平方得y2=∣(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)∣=∣x−1∣∣x−2∣∣x−3∣∣x−4∣y^2=|\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}|=\frac{|x-1||x-2|}{|x-3||x-4|}y2=∣(x−3)(x−4)(x−1)(x−2)∣=∣x−3∣∣x−4∣∣x−1∣∣x−2∣,取对数得2lny=ln∣x−1∣+ln∣x−2∣−ln∣x−3∣−ln∣x−4∣2\ln y=\ln|x-1|+\ln|x-2|-\ln|x-3|-\ln|x-4|2lny=ln∣x−1∣+ln∣x−2∣−ln∣x−3∣−ln∣x−4∣。
两边求导:2y′y=1∣x−1∣+1∣x−2∣−1∣x−3∣−1∣x−4∣\frac{2y'}{y}=\frac{1}{|x-1|}+\frac{1}{|x-2|}-\frac{1}{|x-3|}-\frac{1}{|x-4|}y2y′=∣x−1∣1+∣x−2∣1−∣x−3∣1−∣x−4∣1,由此推出y′y'y′。
2.2.4 参数方程求导
求导时,求的其实是dydx\frac{dy}{dx}dxdy。参数方程中,已知的只有xxx和yyy分别与ttt的关系,难以直接求dydx\frac{dy}{dx}dxdy。
因此我们可以用dydx=dy/dtdx/dt\large\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}dxdy=dx/dtdy/dt的方式,先求yyy对ttt的导数,再求xxx对ttt的导数,再取比值。
举例:{x=t+1y=t2\left\{ \begin{aligned} x=t+1 \\ y=t^2\ \ \ \ \ \end{aligned} \right. {x=t+1y=t2
那么dydx=dy/dtdx/dt=2t1=2t\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t}{1}=2tdxdy=dx/dtdy/dt=12t=2t,即y′=2ty'=2ty′=2t。
验证:这个参数方程其实就是y=(x−1)2y=(x-1)^2y=(x−1)2,求导得y′=2(x−1)y'=2(x-1)y′=2(x−1)。由于x−1=tx-1=tx−1=t,所以两种求导方式得出的结果相同。
如果想求更高阶导,方式是相同的,不断让分式上下同时对ttt求导。
举例:{x=etcosty=etsint\left\{ \begin{aligned} x=e^t\cos t \\ y=e^t\sin t \end{aligned} \right. {x=etcosty=etsint
先求一阶导:dydx=dy/dtdx/dt=etsint+etcostetcost−etsint=sint+costcost−sint\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{e^t\sin t+e^t\cos t}{e^t\cos t-e^t\sin t}=\frac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t}dxdy=dx/dtdy/dt=etcost−etsintetsint+etcost=cost−sintsint+cost。
二阶导:d2ydx2=d(dydx)dx=ddydx/dtdx/dt=(cost−sint)2+(sint+cost)2(cost−sint)2et(cost−sint)=2(sin2t+cos2t)et(cost−sint)3=2et(cost−sint)3\frac{d^2y}{dx^2}=\large\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d\frac{dy}{dx}/dt}{dx/dt}=\frac{\frac{(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2}{(\cos t-\sin t)^2}}{e^t(\cos t-\sin t)}=\frac{2(\sin^2t+\cos^2t)}{e^t(\cos t-\sin t)^3}=\frac{2}{e^t(\cos t-\sin t)^3}dx2d2y=dxd(dxdy)=dx/dtddxdy/dt=et(cost−sint)(cost−sint)2(cost−sint)2+(sint+cost)2=et(cost−sint)32(sin2t+cos2t)=et(cost−sint)32。
2.3 微分的概念
2.3.1 微分定义
假设f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0的某个去心邻域内有定义。取增量Δx\Delta xΔx,记Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)Δy=f(x0+Δx)−f(x0)。
若Δy\Delta yΔy可表示为AΔx+o(Δx)A\Delta x+o(\Delta x)AΔx+o(Δx)的形式(ooo表示高阶无穷小),且AAA的表示不依赖于Δx\Delta xΔx,那么称f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0可微。
记dy=AΔx\mathrm{dy}=A\Delta xdy=AΔx,将其称为f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的微分(又叫线性主部),将dx=Δx\mathrm{dx}=\Delta xdx=Δx称为自变量xxx的微分。
其实o(Δx)o(\Delta x)o(Δx)对AΔxA\Delta xAΔx来说是很小的,因此dy∼Δy\mathrm{dy}\sim\Delta ydy∼Δy。(dx→0\mathrm{dx}\to 0dx→0)
下面来看微分和导数的关系:微分是dy,dxdy,dxdy,dx,导数是limΔx→0ΔyΔx\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}Δx→0limΔxΔy。
如果某函数可微,那么Δy=AΔx+o(Δx)\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)Δy=AΔx+o(Δx),则limΔx→0ΔyΔx=A+o(dx)dx\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(dx)}{dx}Δx→0limΔxΔy=A+dxo(dx),由无穷小的定义o(dx)dx=0\frac{o(dx)}{dx}=0dxo(dx)=0,故此时函数可导,f′(x0)=Af'(x_0)=Af′(x0)=A。
如果某函数可导,那么limΔx→0ΔyΔx=f′(x0)\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)Δx→0limΔxΔy=f′(x0)。由无穷小性质,此式也可表示为Δy=f′(x0)Δx+αΔx\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha\Delta xΔy=f′(x0)Δx+αΔx。
而αΔx=o(Δx)\alpha\Delta x=o(\Delta x)αΔx=o(Δx),因此Δy=f′(x0)Δx+o(Δx)\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)Δy=f′(x0)Δx+o(Δx),故此时函数可微。
我们其实证明了两件事:1.可微和可导是等价的;2.导数就是微分之商。
例如y=x2y=x^2y=x2在x=1x=1x=1处:导数y′∣x=1=2y'|_{x=1}=2y′∣x=1=2,微分dy∣x=1=2dxdy|_{x=1}=2dxdy∣x=1=2dx,Δx=0.01\Delta x=0.01Δx=0.01时微分dy=0.02dy=0.02dy=0.02。
微分的几何意义:xxx变化很小时yyy的变化量。
2.3.2 微分的运算法则
微分公式其实就是导数公式乘dxdxdx,这里就不写了(
d(u±v)=du±dvd(u\pm v)=du\pm dvd(u±v)=du±dv;
d(uv)=vdu+udvd(uv)=vdu+udvd(uv)=vdu+udv; //前微后不微,后微前不微(
d(uv)=vdu−udvv2d(\frac{u}{v})=\large\frac{vdu-udv}{v^2}d(vu)=v2vdu−udv。
复合函数的微分:假设y=f(u),u=g(x)y=f(u),u=g(x)y=f(u),u=g(x)。
则dy=f′(u)dudy=f'(u)dudy=f′(u)du,du=g′(u)dxdu=g'(u)dxdu=g′(u)dx,因此dy=f′(u)g′(x)dx=yx′dx=yu′dudy=f'(u)g'(x)dx=y_x'dx=y_u'dudy=f′(u)g′(x)dx=yx′dx=yu′du。
上式被称为微分形式不变性,即对于任意中间量ttt,dy=yt′dtdy=y_t'dtdy=yt′dt。
《高等数学》学习笔记二:导数与微分(持续更新)相关推荐
- Vue -- 指令【学习笔记】(持续更新)
Vue – 指令[学习笔记](持续更新) 记录了Vue第三天的学习笔记 v-show 注意,v-show 不支持 <template> 元素,也不支持 v-else. 带有 v-show ...
- AutoCAD2019+vs2019+C# 二次开发学习笔记day01(持续更新)
目录 一.新建项目 1.应用程序 目标框架 选择 4.7.2版 2.生成 目标平台选择x64 3.调试 启动外部程序 选择 acad.exe 二.添加autocad类库 三.如何运用命名空间 1.[C ...
- 个人学习笔记汇总(持续更新)
白墨的个人学习笔记 HTML JAVA Python MySQL 等待添加 说明 大家好,这里白墨,话不多说,先放笔记: HTML HTML笔记 JAVA JAVA笔记Myeclipse快捷键占位符的 ...
- AutoCAD2019+vs2019+C# 二次开发学习笔记day05(持续更新)
目录 一. 给定半径和圆心 绘制圆 Circle 1.代码记录 2.封装函数 二.给定两点绘制圆 1.代码记录 2.封装函数 三.给定三点绘制圆 1.代码记录 2.封装函数 四.多段线 Polylin ...
- HTML+CSS学习笔记<每周三持续更新>
实训笔记 Day1 一.Typora快捷键 二.Git 1.工作原理 Workspace:工作区 Index / Stage:暂存区 Repository:仓库区(或本地仓库) Remote:远程仓库 ...
- 超级详解遗传算法(GA)学习笔记(1.1) 持续更新
遗传算法入门第一式---------求解函数极值问题(附完整代码和详解) 声明:大佬请指点,小白同学一起聚聚交流~~~~ 联想到球球大作战!!!!! 以这幅图为例,可以将其看成是一个种群,当中的散点就 ...
- 高等数学-学习笔记-汤讲义
高等数学-学习笔记-汤家凤辅导讲义 第一章--极限与连续 第二章--导数与微分 题型二[p41-46] 情形一:显函数求导 情形二:隐函数求导 情形三:参数方程确定的函数的导数求导 情形四:分段函数求 ...
- [转载]dorado学习笔记(二)
原文地址:dorado学习笔记(二)作者:傻掛 ·isFirst, isLast在什么情况下使用?在遍历dataset的时候会用到 ·dorado执行的顺序,首先由jsp发送请求,调用相关的ViewM ...
- PyTorch学习笔记(二)——回归
PyTorch学习笔记(二)--回归 本文主要是用PyTorch来实现一个简单的回归任务. 编辑器:spyder 1.引入相应的包及生成伪数据 import torch import torch.nn ...
- 吴恩达《机器学习》学习笔记二——单变量线性回归
吴恩达<机器学习>学习笔记二--单变量线性回归 一. 模型描述 二. 代价函数 1.代价函数和目标函数的引出 2.代价函数的理解(单变量) 3.代价函数的理解(两个参数) 三. 梯度下降- ...
最新文章
- 【移动开发】Android中强大的适配功能----Fragment(碎片)总结
- 小学生python-小学生都能学会的python(函数)
- python接口自动化接口依赖_Python接口自动化之mock模块简单使用
- 苹果公司的新的编程语言 Swift 高级语言()两--基本数据类型
- 【飞秋】SQL Server性能调教系列(4)--Profiler(上)
- C语言:查找数组中最小的元素
- PPC手机上用Skype打电话的方法
- 网络性能分析仪-RFC2544测试
- 湖南工大计算机学院大一分班,大一新生入学计算机分级教学考试会影响分班吗?...
- sql server 无法为该请求检索数据
- 《八扇屏》贯口全本(共22番)
- html制作简历供人填写,求职简历制作个人定制代写
- MBA-day21 假言推理-练习题
- 数据库mysql实训报告_数据库实训报告.doc
- 以编程会安全,以安全辅未来——2017看雪安全开发者峰会 强势来袭!
- 读后感:八部众---走出软件作坊:三五个人十来条枪 如何成为开发正规军(二十三)
- Tomcat配置HTPPS访问
- android studio大作业-简易计算器实现
- 宇宙代码与磁子计算机,新认识!宇宙产生什么最强磁铁?比人类产生的最强磁场强一亿倍...
- 合并两个list数据集合