幂函数与指数函数的近似

幂函数 ( 1 + x ) α (1+x)^\alpha (1+x)α 可以近似为指数函数 e α x e^{\alpha x} eαx，甚至可以进一步近似为 1 + α x 1+\alpha x 1+αx。在一本书中指数平滑方法的介绍中见到了这个近似，总结一下。

1. ( 1 + x ) α ≈ 1 + α x (1+x)^{\alpha}\approx 1+\alpha x (1+x)α≈1+αx

对 ( 1 + x ) α (1+x)^\alpha (1+x)α 在 x = 0 x=0 x=0 处泰勒展开，可以得到
( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 x 2 + α ( α − 1 ) ( α − 2 ) 6 x 3 + … (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3+\dots (1+x)α=1+αx+2α(α−1)x2+6α(α−1)(α−2)x3+…

当 ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣x∣<1 时， x 2 , x 3 , … x^2, x^3,\dots x2,x3,… 越来越小，若进一步 ∣ α x ∣ ≪ 1 |\alpha x| \ll 1 ∣αx∣≪1 (表示 ∣ α x ∣ |\alpha x| ∣αx∣ 足够小于 1)，则上式中右端各项会越来越小，可以将后面的项省略，所以 ( 1 + x ) α ≈ 1 + α x (1+x)^{\alpha}\approx 1+\alpha x (1+x)α≈1+αx

没有找到上面这两个条件的严谨证明，但似乎也是合理的

2. ( 1 + x ) α ≈ e α x (1+x)^{\alpha}\approx e^{\alpha x} (1+x)α≈eαx

这个近似可以通过泰勒展开，轻易看出：
e α x = 1 + α x + α 2 2 x 2 + α 3 6 x 3 + … e{^\alpha x}=1+\alpha x+\frac{\alpha^2}{2}x^2+\frac{\alpha^3}{6}x^3+\dots eαx=1+αx+2α2x2+6α3x3+…

当 ∣ x ∣ |x| ∣x∣ 比较小时， ( 1 + x ) α (1+x)^\alpha (1+x)α 与 e α x e^{\alpha x} eαx 就比较接近。

指数平滑方法中，第 i i i 个历史需求值当权重 α ( 1 − α ) i \alpha(1-\alpha)^i α(1−α)i 可以近似为 α e − α i \alpha e^{-\alpha i} αe−αi，下面这些图形中显示两个函数的近似程度

从图形上，确实比较接近的，尤其是当 α \alpha α 比较小时。

代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltalpha = 0.2
x = np.arange(0, 50)
y1 = [(1 - alpha)**i for i in x]
y2 = [np.exp(-alpha*i) for i in x]plt.plot(x, y1, label = r'$(1-\alpha)^i$')
plt.plot(x, y2, label = r'$e^{-\alpha i}$')
plt.title(r'$\alpha$ = ' + str(alpha) )
plt.legend()
plt.show()plt.figure()
alpha = 0.5
x = np.arange(0, 50)
y1 = [(1 - alpha)**i for i in x]
y2 = [np.exp(-alpha*i) for i in x]plt.plot(x, y1, label = r'$(1-\alpha)^i$')
plt.plot(x, y2, label = r'$e^{-\alpha i}$')
plt.title(r'$\alpha$ = ' + str(alpha) )
plt.legend()
plt.show()plt.figure()
alpha = 0.8
x = np.arange(0, 50)
y1 = [(1 - alpha)**i for i in x]
y2 = [np.exp(-alpha*i) for i in x]plt.plot(x, y1, label = r'$(1-\alpha)^i$')
plt.plot(x, y2, label = r'$e^{-\alpha i}$')
plt.title(r'$\alpha$ = ' + str(alpha) )
plt.legend()
plt.show()