数位DP 学习笔记1（数位DP入门）

HDU 2089 不要62：

题目大意是给你一个区间，让你统计这个区间里不包含 4 和 62 的数字的个数。

最朴素的思路是：

对于每个区间 [l, r]，遍历所有在区间 [l, r] 里的数字，然后检查每个数字是不是合法（没有 4 和 62 ），如果合法答案加一。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool check(int a) {while (a) {int b = a % 10;int c = a % 100;if (b == 4 || c == 62)return false;a /= 10;}return true;
}
int main() {int n, m;while (cin >> n >> m) {int sum = 0;if (n == 0 && m == 0)return 0;for (int i = n; i <= m; i++) {if (check(i))sum++;}cout << sum << endl;}return 0;
}

对于本题，上面的代码是可以通过的（ 998ms 险过），本题时限 1000ms，时间复杂度是非常高的。

引入数位的概念（个位、十位、百位 ... ），有了数位，就可以换一种方式遍历数字，即：

比如对于 [1, 234] 这个区间，就可以按数位去遍历。

遍历百位数，如果百位数小于这一位的最大值 2 ，那么它的的下一位的最大值为 9 ，否则它的下一位最大值就为 3。以此类推，遍历十位数，如果十位数小于 3，那么它的下一位最大值为 9，否则为 4。

对于这种遍历数字的方法，当区间最小值为 1 的时候是容易的，但如果最小值大于 1，遍历的时候不但要考虑数位的最大值，还要考虑数位的最小值，遍历起来会麻烦许多，因此，可以利用前缀和的思想，求 F(n - 1) = { 1 - ( n - 1 ) 的数字数 } 和 F(m) = { 1 - m 的数字数 }，然后 ANS = F(m) - F(n - 1)。

那样就可以根据上面的思路写出统计一个区间里数字个数的遍历数位式的代码：

统计区间里数字个数（错误）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1005];
int cnt(int po, int lim)
//po表示当前遍历到第几个数位，lim表示本次遍历有没有最大值限制
{if(po == -1)return 1;//如果遍历到最后一位了，返回 1，表示加了一个数字。int len = lim ? a[po] : 9, i, ans = 0;//如果有数位最大值限制，那 len 就是最大值，否则数字可以遍历到 9。for(i = 0; i <= len; i++){ans += cnt(po - 1, i == len ? 1 : 0);//遍历下一位，加到ans里，如果 i 遍历到了最大值，那么下一位将受到限制。}return ans;返回答案。
}
int num(int n)
{int p = 0, i;while(n){a[p++] = n % 10;n /= 10;}//将数字拆分int ans = cnt(p - 1, 1);return ans;
}
int main()
{int n, m;while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF){int ans = num(m) - num(n - 1);//前缀和求解答案。printf("%d\n", ans);}return 0;
}

尽管能很容易的按照思路敲出代码，但上面的代码是错误的！原因就是：

如果某一位不受限制，当这一位遍历到 9 时，它的下一位会变成受限制的一位（不应该受限制）。

那么怎么处理呢？

判断下一位是否受限制的时候要判断当前位是否受限，如果当前位受限且遍历到了最大值，下一位才会受限。

统计区间里数字个数（正确）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1005];
int cnt(int po, int lim)
{if(po == -1)return 1;int len = lim ? a[po] : 9, i, ans = 0;for(i = 0; i <= len; i++){ans += cnt(po - 1, i == len && lim);}return ans;
}
int num(int n)
{int p = 0, i;while(n){a[p++] = n % 10;n /= 10;}int ans = cnt(p - 1, 1);
}
int main()
{int n, m;while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF){int ans = num(m) - num(n - 1);printf("%d\n", ans);}return 0;
}

现在，有了一个用数位方法遍历区间内所有数字的代码，接下来就可以用它来解决问题。

先解决简单的，把包含 4 的数字从答案中删去。

只需要遍历的时候判断一下，遍历到四即跳过。

统计区间里不包含 4 的数字个数：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1005];
int cnt(int po, int lim)
{if(po == -1)return 1;int len = lim ? a[po] : 9, i, ans = 0;for(i = 0; i <= len; i++){if(i == 4)continue;//如果遍历到 4 ，跳过。ans += cnt(po - 1, i == len ? && lim);}return ans;
}
int num(int n)
{int p = 0, i;while(n){a[p++] = n % 10;n /= 10;}int ans = cnt(p - 1, 1);return ans;
}
int main()
{int n, m;while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF){int ans = num(m) - num(n - 1);printf("%d\n", ans);}return 0;
}

做完这些，应该能比较容易的实现统计一个区间里不包含某个数的数字个数了。

但如果要统计不包含连续的两个数的数字（ 62 ）该怎么统计呢？

每次遍历到 2 的时候就需要回去看一下它的前一位是否为 6，如果为 6，那么这个数字就不合法。

统计区间里不包含4和62的数字个数：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1005];
int cnt(int po, int lim, int la)
//la表示前一位的数值
{if(po == -1)return 1;int len = lim ? a[po] : 9, i, ans = 0;for(i = 0; i <= len; i++){if(i == 4)continue;if(la == 6 && i == 2){continue;}//如果前一位为 6 且当前位是 2 ，跳过。ans += cnt(po - 1, i == len && lim, i);}return ans;
}
int num(int n)
{int p = 0, i;while(n){a[p++] = n % 10;n /= 10;}int ans = cnt(p - 1, 1, 0);
}
int main()
{int n, m;while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF){int ans = num(m) - num(n - 1);printf("%d\n", ans);}return 0;
}

写到这里，就已经完成了用遍历数位的方法求解这道题目，并且这份代码是可以 AC 的（ 187ms ），时间效率上提高了很多。

HDU 3555 Bomb：

题目大意是统计一个区间里包含49的数字个数。

与上面的题目非常相似，从上一题的思路过渡一下：

可以统计区间里不包含 49 的数字个数，然后用区间里数字总个数减去不包含 49 的数字个数，就是要的答案。

拿过上面的代码，稍作修改，就可以得到本题的代码：

统计区间里包含49的数字个数（TLE）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1005];
int cnt(int po, int lim, int la)
{if(po == -1)return 1;int len = lim ? a[po] : 9, i, ans = 0;for(i = 0; i <= len; i++){if(la == 4 && i == 9){continue;}ans += cnt(po - 1, i == len && lim, i);}return ans;
}
int num(int n)
{int p = 0, i;while(n){a[p++] = n % 10;n /= 10;}int ans = cnt(p - 1, 1, 0);
}
int main()
{int n, m;scanf("%d", &m);while(scanf("%d", &n) != EOF){if(n == 0 && m == 0)break;int ans = num(n) - num(0);printf("%d\n", n - ans);}return 0;
}

提交之后发现超时了：

在这份代码中，对于每个数位，其实遍历了不止一次，这样就造成了时间上的浪费，那么可以通过记忆化搜索优化。

统计区间里包含 49 的数字个数（AC）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[1005], dp[1005][2][10] = {0};
ll cnt(ll po, ll lim, ll la)
{if(po == -1)return 1;if(dp[po][lim][la])return dp[po][lim][la];ll len = lim ? a[po] : 9, i, ans = 0;for(i = 0; i <= len; i++){if(la == 4 && i == 9){continue;}ans += cnt(po - 1, (i == len) && lim, i);}dp[po][lim][la] = ans;return ans;
}
ll num(ll n)
{ll p = 0, i;while(n){a[p++] = n % 10;n /= 10;}memset(dp, 0, sizeof(dp));ll ans = cnt(p - 1, 1, 0);return ans;
}
int main()
{ll n, m;scanf("%lld", &m);while(scanf("%lld", &n) != EOF){//if(n == 0 && m == 0)break;ll ans = num(n) - num(0);printf("%lld\n", n - ans);}return 0;
}

这样的代码大概就是数位DP 了。

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