实数傅立叶变换和复数傅立叶变换

我们可以将一个载波调制信号写成如下形式：
xc(t)=y(t)cos[2πfct+ϕ(t)]x_c(t)=y(t)cos[2\pi f_ct+\phi(t)]xc(t)=y(t)cos[2πfct+ϕ(t)]
通过欧拉公式：
eix=cosx+isinxe^{ix}=cosx+isinxeix=cosx+isinx
cosx=12[eix+e−ix]cosx=\dfrac{1}{2}[e^{ix}+e^{-ix}]cosx=21[eix+e−ix]
sinx=12i[eix−e−ix]sinx=\dfrac{1}{2i}[e^{ix}-e^{-ix}]sinx=2i1[eix−e−ix]
我们可以把载波调制信号写成：
xc(t)=12[y(t)ei[2πfct+ϕ(t)]+y(t)e−i[2πfct+ϕ(t)]]x_c(t)=\dfrac{1}{2}[y(t)e^{i[2\pi f_ct+\phi(t)]}+y(t)e^{-i[2\pi f_ct+\phi(t)]}]xc(t)=21[y(t)ei[2πfct+ϕ(t)]+y(t)e−i[2πfct+ϕ(t)]]
把载波调制信号写成复数形式：
xc(t)˚=y(t)ei[2πfct+ϕ(t)]\mathring{x_c(t)}=y(t)e^{i[2\pi f_ct+\phi(t)]}xc(t)˚=y(t)ei[2πfct+ϕ(t)]
载波调制信号的复数共轭形式就可以写成：
xc(t)˚‾=y(t)e−i[2πfct+ϕ(t)]\overline{\mathring{x_c(t)}}=y(t)e^{-i[2\pi f_ct+\phi(t)]}xc(t)˚=y(t)e−i[2πfct+ϕ(t)]
所以，可以把载波调制信号的实数形式写成：
xc(t)=12(xc(t)˚+xc(t)˚‾)x_c(t)=\dfrac{1}{2}(\mathring{x_c(t)}+\overline{\mathring{x_c(t)}})xc(t)=21(xc(t)˚+xc(t)˚)
傅立叶变换
F{xc(t)˚}=Xc(w)˚F\{\mathring{x_c(t)}\}=\mathring{X_c(w)}F{xc(t)˚}=Xc(w)˚

F{xc(t)˚‾}=Xc(−w)˚‾F\{\overline{\mathring{x_c(t)}}\}=\overline{\mathring{X_c(-w)}}F{xc(t)˚}=Xc(−w)˚
这个也比较好理解，比如:
对于10hz的复数信号：
ei(2π×10t+ϕ)e^{i(2\pi \times10t+\phi)}ei(2π×10t+ϕ)
当它乘以e−i(2π×10t)e^{-i(2\pi \times10t)}e−i(2π×10t)时，乘积为1，一个周期的积分结果为T，所以它的傅立叶变换就是10hz上的冲击函数，相位为eiϕe^{i\phi}eiϕ
对于10hz的复数共轭信号：
e−i(2π×10t+ϕ)e^{-i(2\pi \times10t+\phi)}e−i(2π×10t+ϕ)
当它乘以ei(2π×10t)e^{i(2\pi \times10t)}ei(2π×10t)时，乘积为1，一个周期的积分结果为T，所以它的傅立叶变换就是-10hz上的冲击函数，相位为e−iϕe^{-i\phi}e−iϕ
所以
Xc(w)=F{xc(t)}=12[Xc(w)˚+Xc(w)˚‾]X_c(w)=F\{x_c(t)\}=\dfrac{1}{2}[\mathring{X_c(w)}+\overline{\mathring{X_c(w)}}]Xc(w)=F{xc(t)}=21[Xc(w)˚+Xc(w)˚]
上式说明，调制信号的傅立叶变换是两个部分的求和，一个部分是正频率Xc(w)˚\mathring{X_c(w)}Xc(w)˚，一个部分是负频率Xc(w)˚‾\overline{\mathring{X_c(w)}}Xc(w)˚。我们因此可以发现，Xc(w)˚\mathring{X_c(w)}Xc(w)˚可以通过Xc(w)X_c(w)Xc(w)获得。我们只需要提取 Xc(w)X_c(w)Xc(w)的正频率部分，即。
Xc(w)˚=2u(w)Xc(w)\mathring{X_c(w)}=2u(w)X_c(w)Xc(w)˚=2u(w)Xc(w)
那么，如果我们获得了调制信号的傅立叶变换之后，如何将其解调呢？
这里引入包络的概念：
xc(t)~=y(t)eiϕ(t)=y(t)(cos(ϕ(t))+isin(ϕ(t)))\widetilde{x_c(t)}=y(t)e^{i\phi(t)}=y(t)(cos(\phi(t))+isin(\phi(t)))xc(t)=y(t)eiϕ(t)=y(t)(cos(ϕ(t))+isin(ϕ(t)))
xc(t)~=xc(t)˚e−iwct\widetilde{x_c(t)}=\mathring{x_c(t)}e^{-iw_ct}xc(t)=xc(t)˚e−iwct
F{xc(t)~}=F{xc(t)˚e−iwct}=∫−∞∞xc(t)˚e−iwcte−iwtdt=∫−∞∞xc(t)˚e−i(wc+w)tdt=X˚(w+wc)F\{\widetilde{x_c(t)}\}=F\{\mathring{x_c(t)}e^{-iw_ct}\}=\int_{-\infty}^{\infty}\mathring{x_c(t)}e^{-iw_ct}e^{-iwt}dt=\int_{-\infty}^{\infty}\mathring{x_c(t)}e^{-i(w_c+w)t}dt=\mathring{X}(w+w_c)F{xc(t)}=F{xc(t)˚e−iwct}=∫−∞∞xc(t)˚e−iwcte−iwtdt=∫−∞∞xc(t)˚e−i(wc+w)tdt=X˚(w+wc)
所以F{xc(t)~}F\{\widetilde{x_c(t)}\}F{xc(t)}相当于将X˚(w)\mathring{X}(w)X˚(w)向左平移wcw_cwc。

实数傅立叶变换和复数傅立叶变换相关推荐

理解离散傅立叶变换（一. 傅立叶变换的由来）
理解离散傅立叶变换(一) ------傅立叶变换的由来关于傅立叶变换,不管是书本还是在网上可以非常easy找到关于傅立叶变换的描写叙述,可是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生 ...
逆clarke变换_是clarke变换还是clark
匿名用户 1级 2017-06-01 回答是clarke变换还是clark 第三,关于abc坐标系,这是最重要的:四,:派克变换的初步推导:先推倒从abc系到静止的xyz系的过度矩阵M1,:这三个基 ...
opencv-python：16_形态学处理【二】（开操作、闭操作、形态学梯度、顶帽变换、黑帽变换，去除皮肤镜中的毛发噪音、cv2.morphologyEx()）
形态学处理[二] 开操作.闭操作.形态学梯度.顶帽变换.黑帽变换相关函数有:cv2.morphologyEx().cv2.getStructuringElement() 有趣的应用:去除皮肤镜中的毛 ...
Matlab 伪彩色处理方法总结（密度分割法、灰度级变换法、频域变换法）
伪彩色处理方法总结伪彩色处理是将黑白图像转换为彩色图像,方法分为空域变换及频域变换.空域变换其基本原理是构建颜色映射函数,将灰度值转换为彩色值.因为人眼对彩色图像的分辨能力大于黑白图像,所以伪彩色处 ...
MATLAB——拉氏变换及反其变换、Z变换及其反变换
一.拉式正反变换 1.拉式变换 [时域转s域] laplace(F) 2.拉式反变换 [s域转时域] ilaplace(L) 二.Z正反变换 1.Z变换 [ztrans 时域转Z域] ztrans(f ...
电机控制反Park变换和反Clarke变换公式推导
电机控制反Park变换和反Clarke变换公式推导反Park变换首先说明一点,正的Park变换和Clarke变换的变换对象是电流,而反Park变换和反Clarke变换的变换对象是电压.作图如下: ...
Simulink仿真---Park变换、反Park变换
1.变换关系使用park变换将电流 Iα.Iβ 和转子的电角度θ转化为电流 Iq.Id. 公式为: 2.建立模型添加Park变换子系统,模型如下:(从"Simulink"-&q ...
9.4 Python图像处理之图像数学形态学-基于灰度形态学的应用(形态梯度、形态平滑、高帽变换、低帽变换)
9.4 Python图像处理之图像数学形态学-基于灰度形态学的应用(形态梯度.形态平滑.高帽变换.低帽变换) 文章目录 9.4 Python图像处理之图像数学形态学-基于灰度形态学的应用(形态梯度.形 ...
脊波变换 matlab,浅析curvelet变换原理与理解 - 全文
Curvelet变换是基于傅里叶变换和小波变换的一种改进,其特点是有高度的各向异性,具有良好表达图形沿边缘的信息的能力,对于恢复形状的沿边缘的主要结构和抑制周边噪声有其特有优势. 其过程为这和传统的 ...

实数傅立叶变换和复数傅立叶变换

实数傅立叶变换和复数傅立叶变换相关推荐

最新文章

热门文章