傅里叶变换及其应用笔记(part 1)

斯坦福EE261

预备内容：
周期性：三角函数表示复杂函数
将一般周期函数表为简单周期函数和
应用(热方程)
傅里叶变换（周期现象到非周期现象）
傅里叶变换符号
高斯函数
对偶性（傅里叶变换的对偶性质）
三个重要问题：时延(delays),时域尺度变换，卷积
- 卷积运算
- 怎样利用卷积求热方程??
卷积核中心极限定理(conbolution and the Central Limit Theorem,CLT)
讨论积分收敛问题
傅里叶变换扩展（重新定义傅里叶变换，广义傅里叶变换）
分布的导数和卷积
傅里叶变换与衍射(diffraction)
晶体成像
采样于差值 sampling and interpolation
音乐上的采样，离散变换
离散傅里叶变换及其性质
FFT（Fast Fourier Transform）的主要思想

录)

预备内容：

由Fourier级数过渡到Fourier分析(源于周期性，空间周期性和时间周期性)
傅里叶变换作为Fourier级数的极限情况，用来分析非周期现象，有些概念两者通用，有些不同
分析：分解一个函数（信号）为一些简单的部分
合成：吧基本部分重组成信号本身
分析和合成是由线性运算完成的，就是积分和序列
Fourier分析是线性系统的一部分
和群论有关的研究对称性

周期性：三角函数表示复杂函数

并非所有现象都有周期性，即使为周期现象，最终也会消失，然而cos，sin是无限的，但在一段时间内，即使没有周期性也可以用周期延拓使其成为周期现象

用来表示复杂信号（函数），使用cos和sin（通过改变相位和频率相加）周期为1
∑ k = 1 N A k sin ⁡ ( s π k t + φ k ) \sum_{k=1}^N A_k \sin(s\pi k t + \varphi_k) k=1∑NAksin(sπkt+φk)
可以看成音频的叠加（音乐音符的组合）可以产生声音
上式的另一个形式为
∑ k = 1 N a k sin ⁡ 2 π k t + b k cos ⁡ 2 π k t \sum_{k=1}^N a_k \sin 2\pi kt +b_k \cos 2\pi kt k=1∑Naksin2πkt+bkcos2πkt
再加一个常数
a 0 2 + ∑ k = 1 N a k sin ⁡ 2 π k t + b k cos ⁡ 2 π k t \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^N a_k \sin 2\pi kt +b_k \cos 2\pi kt 2a0+k=1∑Naksin2πkt+bkcos2πkt
由 e 2 π i k t = cos ⁡ 2 π k t + i sin ⁡ 2 π k t e^{2\pi i kt} = \cos 2\pi kt + i \sin 2\pi kt e2πikt=cos2πkt+isin2πkt得
cos ⁡ 2 π k t = e 2 π i k t + e − 2 π i k t 2 sin ⁡ 2 π k t = e 2 π i k t − e − 2 π i k t 2 i \cos 2\pi kt = \frac{e^{2\pi i kt} + e^{-2\pi i kt}}{2}\\ \sin 2\pi kt = \frac{e^{2\pi i kt} - e^{-2\pi i kt}}{2i} cos2πkt=2e2πikt+e−2πiktsin2πkt=2ie2πikt−e−2πikt
得，和式可表示为( c k c_k ck为复数，满足对称性 c − k = c k ‾ c_{-k} = \overline{c_k} c−k=ck，因为结果为实数)
∑ k = − N N c k e 2 π i k t \sum_{k = -N}^Nc_k e^{2\pi i kt} k=−N∑Ncke2πikt
对于一个周期性为1的函数 f ( t ) f(t) f(t),它能表示成
f ( t ) = ∑ k = − n n c k e 2 π i k t f(t) = \sum_{k = -n}^nc_k e^{2\pi i kt} f(t)=k=−n∑ncke2πikt
先不管为什么，我们假设等式成立，那么怎么求 c k c_k ck，分离系数

c m e 2 π i m t = f ( t ) − ∑ k   ≠ m e 2 π i k t c_m e^{2\pi i m t} = f(t) - \sum_{k \,\ne m} e^{2\pi i kt} cme2πimt=f(t)−k̸=m∑e2πikt
两边乘 e − 2 π i m t e^{-2\pi i m t} e−2πimt,的

c m = f ( t ) e − 2 π i m t − ∑ k   ≠ m e 2 π i k t e − 2 π i m t c_m = f(t)e^{-2\pi i m t} - \sum_{k \,\ne m} e^{2\pi i kt} e^{-2\pi i m t} cm=f(t)e−2πimt−k̸=m∑e2πikte−2πimt
做积分(其实就是内积)
c m = ∫ 0 1 c m d t = ∫ 0 1 f ( t ) e − 2 π i m t d t + 0 c_m = \int_0^1 c_m dt =\int_0^1 f(t)e^{-2\pi i m t} dt + 0 cm=∫01cmdt=∫01f(t)e−2πimtdt+0

将一般周期函数表为简单周期函数和

考虑前面剩下的问题：为什么能这么表示，什么时候能表示
记 f ^ ( k ) = ∫ 0 1 f ( t ) e − 2 π i k t d t \hat{f}(k)=\int_0^1 f(t)e^{-2\pi i k t} dt f^(k)=∫01f(t)e−2πiktdt表示 f ( t ) f(t) f(t)的第 k k k个系数

上面阶梯函数是不能表示成有限和的，对于

就算上面这样的连续函数也是不行的，因为无限可微的函数的有限组合也是无限可微的，所以表示成有限和的必要条件是无限可微，对于不是很光滑的地方，我们就需要更高频的成分去弥补它
所以为了表示更一般的周期现象，必须考虑无限和
∑ − ∞ ∞ f ( t ) e 2 π i k t \sum_{-\infty}^{\infty}f(t) e^{2\pi i kt} −∞∑∞f(t)e2πikt
还要确定它是否收敛，需要一些消去技巧(见傅里叶分析导论)
连续的情况它收敛于 f ( t ) f(t) f(t)，为逐点收敛
如果 f ( t ) f(t) f(t)可微，那么级数一致收敛到 f ( t ) f(t) f(t)
对于不连续的情况，如果 t 0 t_0 t0为跳跃不连续点，那么它收敛于 1 2 ( f ( t 0 + ) + f ( t 0 − ) ) \frac{1}{2}(f(t_0^+)+f(t_0^-)) 21(f(t0+)+f(t0−))
当满足一些情况的时候，级数均方收敛
只要有一点不光滑，就会产生无穷的傅里叶级数
补充，内积定义：见分析学，可以定义内积为如下
< f , g > = ∫ 0 1 f ( t ) g ( t ) ‾ d t \left<f,g\right>=\int_0^1 f(t) \overline{g(t)}dt ⟨f,g⟩=∫01f(t)g(t)dt
范数为 < f , f > = ∥ f ∥ 2 = ∫ 0 1 f ( t ) f ( t ) ‾ d t = ∫ 0 1 ∣ f ( t ) ∣ 2 d t \left<f,f \right>=\|f\|^2 =\int_0^1 f(t) \overline{f(t)}dt =\int_0^1 |f(t)|^2dt ⟨f,f⟩=∥f∥2=∫01f(t)f(t)dt=∫01∣f(t)∣2dt
可以证明 e 2 π i n t , n ∈ Z e^{2\pi i nt},n \in \mathbb{Z} e2πint,n∈Z是 L 2 ( 0 , 1 ) L^2(0,1) L2(0,1)的正交基，并且是完备的
傅里叶级数可以看成分到正交基上分量的和

瑞利等式（Rayleigh equality）：
∫ 0 1 ∣ f ∣ 2 d t = ∑ − ∞ ∞ ∣ f ^ ( k ) ∣ 2 \int_0^1 |f|^2 dt = \sum_{-\infty}^\infty |\hat{f}(k)|^2 ∫01∣f∣2dt=−∞∑∞∣f^(k)∣2
可以看成能量部分和为总和

应用(热方程)

heat flow（热流）物理导致傅里叶分析的快速发展
有一个空间区域，有初始温度分布 f ( x ) f(x) f(x)，温度如何随时间和位置变化
关注一个热环（周长为1）， u ( x , t ) u(x,t) u(x,t)为我们所要找的

温度为空间的周期函数， u ( x + 1 , t ) = u ( x , t ) u(x+1,t) = u(x,t) u(x+1,t)=u(x,t)，对 x x x进行展开
u ( x , t ) = ∑ − ∞ ∞ c k e 2 π i k x = ∑ − ∞ ∞ c k ( t ) e 2 π i k x u(x,t) = \sum_{-\infty}^\infty c_k e^{2\pi i kx} = \sum_{-\infty}^\infty c_k(t) e^{2\pi i kx} u(x,t)=−∞∑∞cke2πikx=−∞∑∞ck(t)e2πikx

Heat equation (热方程，下标表示偏导，这是偏微分方程)：
温度随时间变化跟周围温度差大小成正比，原理见另一篇博客
多变量微积分中散度定理关于扩散方程的推导
一维： u t = a u x x u_t = au_{xx} ut=auxx( a a a和物理特性有关），为了方便这里令 a = 1 2 a=\frac{1}{2} a=21
u t = 1 2 u x x u_t = \frac{1}{2}u_{xx} ut=21uxx
u t = ∑ − ∞ ∞ c k ′ ( t ) e 2 π i k x u_t=\sum_{-\infty}^\infty c_k'(t) e^{2\pi i kx} ut=−∞∑∞ck′(t)e2πikx
u x x = ∑ − ∞ ∞ c k ( t ) ( 2 π i k ) 2 e 2 π i k x u_{xx}=\sum_{-\infty}^\infty c_k(t) (2\pi i k)^2e^{2\pi i kx} uxx=−∞∑∞ck(t)(2πik)2e2πikx
对应项相等，得到 c k ′ ( t ) = − 1 2 c k ( t ) ( 4 π 2 k 2 ) c_k'(t)=-\frac{1}{2}c_k(t)(4\pi^2k^2) ck′(t)=−21ck(t)(4π2k2)
即
c k ′ ( t ) = − 2 π 2 k 2 c k ( t ) c_k'(t) = -2\pi^2 k^2 c_k(t) ck′(t)=−2π2k2ck(t)
这是一个ODE解为
c k ( t ) = c k ( 0 ) e − 2 π 2 k 2 t c_k(t) = c_k(0)e^{-2\pi^2k^2t} ck(t)=ck(0)e−2π2k2t

由 u ( x , t ) = ∑ − ∞ ∞ c k ( t ) e 2 π i k x u(x,t) = \sum_{-\infty}^\infty c_k(t) e^{2\pi i kx} u(x,t)=−∞∑∞ck(t)e2πikx
令 t = 0 t=0 t=0,
u ( x , 0 ) = ∑ − ∞ ∞ c k ( 0 ) e 2 π i k x u(x,0) = \sum_{-\infty}^\infty c_k(0) e^{2\pi i kx} u(x,0)=−∞∑∞ck(0)e2πikx
也就是
f ( x ) = u ( x , 0 ) = ∑ k = − ∞ ∞ c k ( 0 ) e 2 π i k x f(x) = u(x,0) = \sum_{k=-\infty}^\infty c_k(0) e^{2\pi i kx} f(x)=u(x,0)=k=−∞∑∞ck(0)e2πikx
故 c k ( 0 ) = ∫ f ( x ) e − 2 π i k x d x = f ^ ( k ) c_k(0)=\int f(x) e^{-2\pi i k x}dx = \hat{f}(k) ck(0)=∫f(x)e−2πikxdx=f^(k)
代入上面的，得到
u ( x , t ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ^ ( k ) e − 2 π 2 k 2 t e 2 π i k x u(x,t) = \sum_{k=-\infty}^\infty \hat{f}(k) e^{-2\pi^2 k^2 t }e^{2\pi ikx} u(x,t)=k=−∞∑∞f^(k)e−2π2k2te2πikx

以另一种方式写
f ^ ( k ) = ∫ 0 1 e − 2 π i k y f ( y ) d y \hat{f}(k) = \int_0^1 e^{-2\pi i ky}f(y)dy f^(k)=∫01e−2πikyf(y)dy
u ( x , t ) = ∑ k = − ∞ ∞ c k ( t ) e 2 π i k x = ∑ k = − ∞ ∞ c k ( 0 ) e − 2 π 2 k 2 t e 2 π i k x = ∑ k = − ∞ ∞ ∫ 0 1 f ( y ) e − 2 π i k y d y   e − 2 π 2 k 2 t e 2 π i k x = ∫ 0 1 ( ∑ k = − ∞ ∞ e − 2 π i k y e − 2 π 2 k 2 t e 2 π i k x ) f ( y ) d y = ∫ 0 1 ( e 2 π i k ( x − y ) e − 2 π 2 k 2 t ) f ( y ) d y \begin{aligned}u(x,t) &= \sum_{k=-\infty}^\infty c_k(t)e^{2\pi ikx}\\ &= \sum_{k=-\infty}^\infty c_k(0) e^{-2\pi^2 k^2t} e^{2\pi ikx} \\ &= \sum_{k=-\infty}^\infty \int_0^1 f(y) e^{-2\pi i k y }dy \,e^{-2\pi^2 k^2t} e^{2\pi ikx}\\ &=\int_0^1\left(\sum_{k=-\infty}^\infty e^{-2\pi i k y }e^{-2\pi^2 k^2t} e^{2\pi ikx} \right) f(y) dy\\ &=\int_0^1\left(e^{2\pi i k(x - y)}e^{-2\pi^2 k ^2 t} \right) f(y) dy\end{aligned} u(x,t)=k=−∞∑∞ck(t)e2πikx=k=−∞∑∞ck(0)e−2π2k2te2πikx=k=−∞∑∞∫01f(y)e−2πikydye−2π2k2te2πikx=∫01(k=−∞∑∞e−2πikye−2π2k2te2πikx)f(y)dy=∫01(e2πik(x−y)e−2π2k2t)f(y)dy
记
g ( x , t ) = e 2 π i k x e − 2 π 2 k 2 t g(x,t)=e^{2\pi i kx}e^{-2\pi^2 k ^2 t} g(x,t)=e2πikxe−2π2k2t
则
u ( x , t ) = ∫ 0 1 g ( x − y , t ) f ( y ) d y u(x,t) = \int_0^1 g(x - y,t) f(y) dy u(x,t)=∫01g(x−y,t)f(y)dy
这表达了 u ( x m t ) u(xmt) u(xmt)是 f ( x ) f(x) f(x)与热核函数 g ( x , t ) g(x,t) g(x,t)的卷积
g的不同叫法：热核函数也称为格林函数
（泊松核和狄利克雷问题也会类似）

傅里叶变换（周期现象到非周期现象）

将非周期函数看做周期无限函数。傅里叶变换是一种一般（也就是另一种极限的情况，即周期无限）情况，即傅里叶级数的极限形式
对于周期T的函数（再让 T → ∞ T\rightarrow \infty T→∞）
傅里叶基为 e 2 π i k ( t / T ) e^{2\pi i k (t/T)} e2πik(t/T)，傅里叶级数为
f ( t ) = ∑ c k e 2 π i ( k / T ) t c k = 1 T ∫ 0 1 e − 2 π i ( k / T ) t f ( t ) d t f(t) = \sum c_k e^{2\pi i (k / T)t}\\ c_k = \frac{1}{T} \int_0^1 e^{-2\pi i (k/T)t}f(t) dt f(t)=∑cke2πi(k/T)tck=T1∫01e−2πi(k/T)tf(t)dt
(缩放即可，然而为什么基完备这是另一个问题)
可写成
c k = 1 T ∫ − T 2 T 2 e − 2 π i ( k / T ) t f ( t ) d t c_k = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-2\pi i (k/T)t}f(t) dt ck=T1∫−2T2Te−2πi(k/T)tf(t)dt

频谱Picture of frequency( spectrum)

它是对称的因为 c c c对称，周期为 T T T，则间隔为 1 T \frac{1}{T} T1
当 T → ∞ T\rightarrow \infty T→∞的时候，频谱变得连续。
不能直接让 T → ∞ T\rightarrow \infty T→∞得到傅里叶变换，因为当 T → ∞ T\rightarrow \infty T→∞时，由
c k = 1 T ∫ − T 2 T 2 e − 2 π i ( k / T ) t f ( t ) d t c_k = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-2\pi i (k/T)t}f(t) dt ck=T1∫−2T2Te−2πi(k/T)tf(t)dt
计算的 c k c_k ck趋于0
比如 f ( t ) f(t) f(t)是一个只在[a,b]上不为0的函数，将其周期延 − T 2 -\frac{T}{2} −2T到 T 2 \frac{T}{2} 2T包含[a,b]即可)
我们计算 c k = 1 T ∫ − T 2 T 2 e − 2 π i ( k / T ) t f ( t ) d t = 1 T ∫ a b e − 2 π i ( k / T ) t f ( t ) d t \begin{aligned}c_k &= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-2\pi i (k/T)t}f(t) dt\\ &=\frac{1}{T} \int_{a}^{b} e^{-2\pi i (k/T)t}f(t) dt\\\end{aligned} ck=T1∫−2T2Te−2πi(k/T)tf(t)dt=T1∫abe−2πi(k/T)tf(t)dt
∣ c k ∣ = 1 T ∣ ∫ a b e − 2 π i ( k / T ) t f ( t ) d t ∣ ≤ 1 T ∫ a b ∣ e − 2 π i ( k / T ) t ∣ ∣ f ( t ) ∣ d t ≤ 1 T ∫ a b ∣ f ( t ) ∣ d t ≤ M T → 0 \begin{aligned}|c_k|&= \frac{1}{T}\left| \int_{a}^{b} e^{-2\pi i (k/T)t}f(t) dt\right|\\ &\le \frac{1}{T}\int_{a}^{b} \left|e^{-2\pi i (k/T)t}\right|\left|f(t)\right| dt\\ &\le \frac{1}{T}\int_{a}^{b} \left|f(t)\right| dt\\ &\le \frac{M}{T}\rightarrow 0 \end{aligned} ∣ck∣=T1∣∣∣∣∣∫abe−2πi(k/T)tf(t)dt∣∣∣∣∣≤T1∫ab∣∣∣e−2πi(k/T)t∣∣∣∣f(t)∣dt≤T1∫ab∣f(t)∣dt≤TM→0
这不能得到有用的结果，必须寻找其他途径

记线性算子 F f ( k T ) = ∫ − T 2 T 2 e − 2 π i ( k / T ) t f ( t ) d t \mathcal{F}f(\frac{k}{T})=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-2\pi i (k/T)t}f(t) dt Ff(Tk)=∫−2T2Te−2πi(k/T)tf(t)dt
则 f ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ F f ( k T ) e 2 π i ( k / T ) t 1 T f(t) = \sum_{k = -\infty}^\infty\mathcal{F}f(\frac{k}{T}) e^{2\pi i (k/T)t}\frac{1}{T} f(t)=k=−∞∑∞Ff(Tk)e2πi(k/T)tT1
当 T → ∞ T\rightarrow \infty T→∞时， k T \frac{k}{T} Tk趋于连续，记为 s ∈ ( − ∞ , ∞ ) s\in (-\infty,\infty) s∈(−∞,∞)，则求和变成积分
F f ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t f ( t ) d t \mathcal{F}f(s)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i st}f(t) dt Ff(s)=∫−∞∞e−2πistf(t)dt
f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ F f ( s ) e 2 π i s t d s f(t) = \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F} f(s) e^{2\pi i st} ds f(t)=∫−∞∞Ff(s)e2πistds
我们需要知道积分的收敛问题。
傅里叶变换将 f ( t ) f(t) f(t)分解为组成成分 e 2 π i s t e^{2\pi i st} e2πist，逆变换则从组成成分合成原函数
f ( t ) f(t) f(t)定义在时域， F f ( s ) \mathcal{F}f(s) Ff(s)定义在频域
信号都有一个频谱，频谱确定了信号

正逆变换
F f ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t f ( t ) d t F − 1 g ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e 2 π i s t g ( s ) d s \mathcal{F}f(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st}f(t) dt\\ \mathcal{F}^{-1}g(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{2\pi i st}g(s) ds Ff(s)=∫−∞∞e−2πistf(t)dtF−1g(t)=∫−∞∞e2πistg(s)ds

傅里叶变换表明，对函数的傅里叶变换进行反变换得到原函数
F − 1 F f = f F F − 1 g = g \mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f=f\\ \mathcal{F}\mathcal{F}^{-1}g=g F−1Ff=fFF−1g=g
在0点处，傅里叶变换为函数的平均值
F f ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ e 2 π i 0 t f ( t ) d t = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t \mathcal{F} f(0) = \int_{-\infty}^\infty e^{2\pi i 0t} f(t) dt = \int_{-\infty}^\infty f(t)dt Ff(0)=∫−∞∞e2πi0tf(t)dt=∫−∞∞f(t)dt
F − 1 g ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ g ( s ) d s \mathcal{F} ^{-1} g(0) = \int_{-\infty}^\infty g(s) ds F−1g(0)=∫−∞∞g(s)ds

Examples:
矩形函数，或者叫 − 1 2 到 1 2 的特征函数 -\frac{1}{2}到\frac{1}{2}的特征函数 −21到21的特征函数
Π ( t ) = { 1 ∣ t ∣ < 1 2 0 ∣ t ∣ ≥ 1 2 \Pi(t) = \begin{cases} \begin{aligned} 1 \quad &|t| < \frac{1}{2}\\ 0 \quad &|t|\ge \frac{1}{2} \end{aligned} \end{cases} Π(t)=⎩⎪⎨⎪⎧10∣t∣<21∣t∣≥21

F Π ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t Π ( t ) d t = ∫ − 1 2 1 2 e − 2 π i s t d t = [ 1 − 2 π i s e − 2 π i s t ] ∣ − 1 2 1 2 = − 1 2 π i s e − π i s + 1 2 π i s e π i s = 1 π s ( e π i s − e − π i s 2 i ) = sin ⁡ π s π s \begin{aligned}\mathcal{F} \Pi(s) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st} \Pi(t) dt\\ &= \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}e^{-2\pi i st} dt\\ &=\left[\frac{1}{-2\pi i s} e^{-2\pi i st} \right] \left|_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \right. = \frac{-1}{2\pi i s} e^{-\pi i s} + \frac{1}{2\pi i s} e^{\pi i s}\\ &=\frac{1}{\pi s} \left(\frac{e^{\pi i s} - e^{-\pi i s}}{2i} \right) = \frac{\sin \pi s}{\pi s} \end{aligned} FΠ(s)=∫−∞∞e−2πistΠ(t)dt=∫−2121e−2πistdt=[−2πis1e−2πist]∣∣∣−2121=2πis−1e−πis+2πis1eπis=πs1(2ieπis−e−πis)=πssinπs
最后这个函数就是sinc函数 s i n c ( s ) = sin ⁡ π s π s sinc(s) = \frac{\sin \pi s}{\pi s} sinc(s)=πssinπs
函数图像：

三角形函数

Λ ( t ) = { 1 − ∣ t ∣ ∣ t ∣ ≤ 1 0 ∣ t ∣ ≥ 1 \Lambda(t) = \begin{cases}1-|t| \quad &|t| \le 1\\ 0 \quad & |t| \ge 1 \end{cases} Λ(t)={1−∣t∣0∣t∣≤1∣t∣≥1
F Λ ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t Λ ( t ) d t = ∫ − 1 0 e − 2 π i s t ( 1 + t ) d t + ∫ 0 1 e − 2 π i s t ( 1 − t ) d t = sin ⁡ 2 π s π 2 s 2 = s i n c 2 ( s ) \begin{aligned}\mathcal{F} \Lambda(s) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st}\Lambda (t) dt\\ &=\int_{-1}^0 e^{-2\pi i st} (1+t) dt + \int_0^1 e^{-2\pi i st}(1-t)dt\\ &=\frac{\sin^2 \pi s}{\pi^2 s^2} =sinc^2 (s)\end{aligned} FΛ(s)=∫−∞∞e−2πistΛ(t)dt=∫−10e−2πist(1+t)dt+∫01e−2πist(1−t)dt=π2s2sin2πs=sinc2(s)

傅里叶变换符号

在不同的上下文和材料中，傅里叶的定义和符号是变化的（不是唯一的）
比如
f ^ ( s ) = F f ( s ) \hat{f}(s) = \mathcal{F}f(s) f^(s)=Ff(s)
f ˇ ( t ) = F − 1 f ( t ) \check{f}(t) = \mathcal{F}^{-1}f(t) fˇ(t)=F−1f(t)
或者
f ( t ) ， F ( s ) f(t)，F(s) f(t)，F(s)

有时候将正变换表示为（正负变换相调换）
F f ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t f ( t ) d t \mathcal{F}f(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st}f(t) dt Ff(s)=∫−∞∞e−2πistf(t)dt
有时候表示为
F f ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e 2 π i s t f ( t ) d t \mathcal{F}f(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{2\pi i st}f(t) dt Ff(s)=∫−∞∞e2πistf(t)dt

高斯函数

f ( t ) = e − π t 2 f(t) = e^{-\pi t^2} f(t)=e−πt2指数加 π \pi π使得面积为1，则
F f ( s 0 = e − π s 2 \mathcal{F} f(s0 = e^{-\pi s^2} Ff(s0=e−πs2
为本身。我们得到结论，高斯函数的傅里叶变换等于本身
证明：
F ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t e − π t 2 d t F(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st}e^{-\pi t^2}dt F(s)=∫−∞∞e−2πiste−πt2dt
求微分
F ′ ( s ) = ∫ − ∞ ∞ d d s ( e − 2 π i s t e − π t 2 ) d t = ∫ − ∞ ∞ − 2 π i t e − 2 π i s t e − π t 2 d t = i ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t ( − 2 π t e − π t 2 ) d t \begin{aligned} F'(s)&=\int_{-\infty}^\infty \frac{d}{ds} \left(e^{-2\pi i st}e^{-\pi t^2} \right)dt \\ &= \int_{-\infty}^\infty -2\pi i t e^{-2\pi i st}e^{-\pi t^2}dt \\ &=i \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st} (-2\pi te^{-\pi t^2})dt \end{aligned} F′(s)=∫−∞∞dsd(e−2πiste−πt2)dt=∫−∞∞−2πite−2πiste−πt2dt=i∫−∞∞e−2πist(−2πte−πt2)dt
分部积分
= i ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t d e − π t 2 = i e − 2 π i s t e − π t 2 ∣ − ∞ ∞ − i ∫ − ∞ ∞ e − π t 2 d e − 2 π i s t = − ∫ − ∞ ∞ 2 π s   e − π t 2 e − 2 π i s t d t = − 2 π s ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t e − π t 2 d t = − 2 π s F ( s ) \begin{aligned} &=i\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st} de^{-\pi t^2} \\ &=ie^{-2\pi i st} e^{-\pi t^2} \bigg| ^\infty_{-\infty} - i \int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2} d e^{-2\pi i st}\\ &=- \int_{-\infty}^\infty 2\pi s \,e^{-\pi t^2}e^{-2\pi i st} dt\\ &=-2\pi s \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st} e^{-\pi t^2}dt\\ &=-2\pi s F(s) \end{aligned} =i∫−∞∞e−2πistde−πt2=ie−2πiste−πt2∣∣∣∣−∞∞−i∫−∞∞e−πt2de−2πist=−∫−∞∞2πse−πt2e−2πistdt=−2πs∫−∞∞e−2πiste−πt2dt=−2πsF(s)
于是我们得到等式
F ′ ( s ) = − 2 π s F ( s ) F'(s) = -2\pi sF(s) F′(s)=−2πsF(s)

(这个ODE表明) F ( 是） = F ( 0 ) e − π s 2 F(是） = F(0)e^{-\pi s^2} F(是）=F(0)e−πs2
而 F ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = 1 F(0) = \int_{-\infty}^\infty f(t) dt= 1 F(0)=∫−∞∞f(t)dt=1
故 F ( s ) = e − π s 2 F(s)=e^{-\pi s^2} F(s)=e−πs2
证明完毕

对偶性（傅里叶变换的对偶性质）

根据定义有
F f ( − s ) = F − 1 f ( s ) \mathcal{F} f(-s) = \mathcal{F}^{-1}f(s) Ff(−s)=F−1f(s)
F f ( s ) = F − 1 f ( − s ) \mathcal{F} f(s) = \mathcal{F}^{-1}f(-s) Ff(s)=F−1f(−s)

定义 f − ( t ) = f ( − t ) f^-(t) = f(-t) f−(t)=f(−t)(反转信号)，按照记号记 ( F f ) − ( s ) = F f ( − s ) (\mathcal{F}f)^-(s) = \mathcal{F}f(-s) (Ff)−(s)=Ff(−s)(这是一个记号)，则按前面有
( F f ) − = F − 1 f (\mathcal{F}f)^- = \mathcal{F}^{-1}f (Ff)−=F−1f
还有
F ( f − ) = F − 1 f \mathcal{F} (f^-) = \mathcal{F}^{-1}f F(f−)=F−1f
所以
( F f ) − = F ( f − ) = F − 1 f (\mathcal{F}f)^- =\mathcal{F} (f^-) = \mathcal{F}^{-1}f (Ff)−=F(f−)=F−1f
根据前面有
F F f = f − \mathcal{F}\mathcal{F}f = f^- FFf=f−
因为 F F f = F F − 1 f − = f − \mathcal{F}\mathcal{F}f = \mathcal{F}\mathcal{F}^{-1} f^- = f^- FFf=FF−1f−=f−

例子： s i n c = sin ⁡ π t π t sinc = \frac{\sin \pi t}{\pi t} sinc=πtsinπt
根据对偶性质
F s i n c = F F π = π − = π \mathcal{F} sinc = \mathcal{F}\mathcal{F}\pi = \pi^- = \pi Fsinc=FFπ=π−=π
如果直接按照定义求解积分，积分存在严重的收敛问题，难以计算
同样可以得到 F s i n c 2 = Λ \mathcal{F}sinc^2 = \Lambda Fsinc2=Λ

三个重要问题：时延(delays),时域尺度变换，卷积

时延：如果信号移动b，傅里叶变换会怎样
f ( t ) ↔ F ( s ) f(t) \leftrightarrow F(s) f(t)↔F(s)
f ( t − b ) ↔ ? f(t-b) \leftrightarrow ? f(t−b)↔?

F ( s ) = ∫ − ∞ ∞ − e − 2 π i s t f ( t ) d t F(s) = \int_{-\infty}^\infty -e^{-2\pi i st}f(t) dt F(s)=∫−∞∞−e−2πistf(t)dt

F f ( t − b ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t f ( t − b ) d t = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s ( u + b ) f ( u ) d u = e − 2 π i s b ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s u f ( u ) d u = e − 2 π i s b F ( s ) \begin{aligned}\mathcal{F} f(t - b) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st} f( t - b) dt\\ &=\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i s(u+b)}f(u) du \\ &= e^{-2\pi i sb} \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i su}f(u) du\\ &= e^{-2\pi i sb}F(s) \end{aligned} Ff(t−b)=∫−∞∞e−2πistf(t−b)dt=∫−∞∞e−2πis(u+b)f(u)du=e−2πisb∫−∞∞e−2πisuf(u)du=e−2πisbF(s)
即(时延定理)，时域的位移导致频域的位移
F ( f ( t ± b ) ) ( s ) = e ± 2 π i s b F ( s ) \mathcal{F}\left(f(t\pm b) \right)(s) =e^{\pm 2\pi i sb} F(s) F(f(t±b))(s)=e±2πisbF(s)
记(复数表示成幅度乘以角度)
F ( s ) = ∣ F ( s ) ∣ e 2 π i θ ( s ) F(s) = |F(s)| e^{2\pi i \theta(s)} F(s)=∣F(s)∣e2πiθ(s)
故
e − 2 π i s b F ( s ) = ∣ F ( s ) ∣ e 2 π i ( θ ( s ) − s b ) e^{-2\pi i sb}F(s) = |F(s)| e^{2\pi i (\theta (s)- sb)} e−2πisbF(s)=∣F(s)∣e2πi(θ(s)−sb)
时域的位移导致频域角度的变换，幅度不变
接下来是尺度变换
f ( t ) ↔ F ( s ) f(t) \leftrightarrow F(s) f(t)↔F(s)
f ( a t ) ↔ ? f(at) \leftrightarrow ? f(at)↔?

F ( f ( a t ) ) ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t f ( a t ) d t \mathcal{F}\left(f(at) \right)(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st} f(at) dt F(f(at))(s)=∫−∞∞e−2πistf(at)dt
i f   a > 0 if\, a >0 ifa>0,令 u = a t u = at u=at
F ( f ( a t ) ) ( s ) = 1 a ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i ( s / a ) u f ( u ) d u = 1 a ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i ( s / a ) u f ( u ) d u = 1 a F ( s a ) \begin{aligned}\mathcal{F}\left(f(at) \right)(s) &= \frac{1}{a}\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i (s/a)u} f(u) du \\ &=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i (s/a)u} f(u) du=\frac{1}{a} F(\frac{s}{a}) \end{aligned} F(f(at))(s)=a1∫−∞∞e−2πi(s/a)uf(u)du=a1∫−∞∞e−2πi(s/a)uf(u)du=a1F(as)
i f   a < 0 if\, a <0 ifa<0,令 u = a t u = at u=at
F ( f ( a t ) ) ( s ) = − 1 a ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i ( s / a ) u f ( u ) d u = − 1 a F ( s a ) \mathcal{F}\left(f(at) \right)(s) = -\frac{1}{a}\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i (s/a)u} f(u) du=-\frac{1}{a} F(\frac{s}{a}) F(f(at))(s)=−a1∫−∞∞e−2πi(s/a)uf(u)du=−a1F(as)
综上
F ( f ( a t ) ) ( s ) = 1 ∣ a ∣ F ( s a ) \mathcal{F}\left(f(at) \right)(s) = \frac{1}{|a|} F(\frac{s}{a}) F(f(at))(s)=∣a∣1F(as)
f ( a t ) ↔ 1 ∣ a ∣ F ( s a ) f(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|} F(\frac{s}{a}) f(at)↔∣a∣1F(as)
这个结果说明，当 ∣ a ∣ > 1 |a|>1 ∣a∣>1时，频谱被拉长了，而且变矮， ∣ a ∣ < 1 |a|<1 ∣a∣<1则相反
即时域压缩（伸长），则频域伸长（压缩）
Heisenberg测不准定理实际上也是依赖傅里叶变换证明，不能同事间压缩时域和频域，即不能同时知道位置和速度

卷积运算

关于怎样使用一个函数对另一个函数或信号进行调制，大部分情况下着手于改变信号的频谱
eg.线性和叠加性
F ( f + g ) = F ( f ) + F ( g ) \mathcal{F}(f+g) = \mathcal{F}(f) + \mathcal{F}(g) F(f+g)=F(f)+F(g)
通过改变频谱调制信号
如果是相乘呢
( F g ) ( F f ) = F ( ? ? f 和 g 的某种组合？ ) (\mathcal{F}g)(\mathcal{F}f) = \mathcal{F}(??f和g的某种组合？) (Fg)(Ff)=F(??f和g的某种组合？)
G g ( s ) F f ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t g ( t ) d t ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s x f ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s ( t + x ) g ( t ) f ( x ) d t d x = ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s ( t + x ) g ( t ) d t ) f ( x ) d x \begin{aligned}\mathcal{G} g(s) \mathcal{F} f(s) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st } g(t) dt \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i sx } f(x) dx\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i s(t+ x) } g(t) f(x) dt dx\\ &= \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i s(t+ x) } g(t)dt \right) f(x) dx\end{aligned} Gg(s)Ff(s)=∫−∞∞e−2πistg(t)dt∫−∞∞e−2πisxf(x)dx=∫−∞∞∫−∞∞e−2πis(t+x)g(t)f(x)dtdx=∫−∞∞(∫−∞∞e−2πis(t+x)g(t)dt)f(x)dx
令 u = t + x , d u = d t , t = u − x u=t+x,du=dt,t=u-x u=t+x,du=dt,t=u−x，的上式为
∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s u g ( u − x ) d u ) f ( x ) d x \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i su } g(u-x)du \right) f(x) dx ∫−∞∞(∫−∞∞e−2πisug(u−x)du)f(x)dx
改变积分顺序
∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ g ( u − x ) f ( x ) d x ) e − 2 π i s u d u \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty g(u-x)f(x) dx \right) e^{-2\pi i su} du ∫−∞∞(∫−∞∞g(u−x)f(x)dx)e−2πisudu

定义 h ( u ) = ∫ − ∞ ∞ g ( u − x ) f ( x ) d x h(u)=\int_{-\infty}^\infty g(u-x)f(x) dx h(u)=∫−∞∞g(u−x)f(x)dx，上面就是
∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s u h ( u ) d u = F h ( s ) \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i su} h(u) du = \mathcal{F}h(s) ∫−∞∞e−2πisuh(u)du=Fh(s)
即 ( F g ) ( F f ) = F h ( s ) (\mathcal{F}g)(\mathcal{F}f) =\mathcal{F}h(s) (Fg)(Ff)=Fh(s)
h ( u ) h(u) h(u)即称为 g g g和 f f f的卷积函数，定义 g g g和 f f f的卷积:
( g ∗ f ) ( x ) = ∫ − ∞ ∞ g ( x − y ) f ( y ) d y (g*f)(x)=\int_{-\infty}^\infty g(x-y)f(y) dy (g∗f)(x)=∫−∞∞g(x−y)f(y)dy
依照上面的卷积定理我们有
F ( g ∗ f ) = F ( g ) F ( f ) \mathcal{F}(g*f) =\mathcal{F}(g)\mathcal{F}(f) F(g∗f)=F(g)F(f)
Briggs, William L.Henson写的离散傅里叶手册中有很好的问题例子

eg.:浑浊度研究：与测量睡的清澈度有关，假如得到一张测量数据 T T T。这个数据有很多的毛刺，我们需要去除掉这些毛刺，使之平滑。在频域进行处理，去掉高频的成分，方法是呈上一个矩形函数（也叫低通滤波） Π 2 V c ( 在 − V c 和 V c 之间为 1 ，其他为 0 ) \Pi_{2V_c}(在-V_c和V_c之间为1，其他为0) Π2Vc(在−Vc和Vc之间为1，其他为0)得到
Π 2 V c F T \Pi_{2V_c}\mathcal{F}T Π2VcFT
转换到时域得
2 V c s i n c ( 2 V c t ) ∗ T ( t ) 2V_c sinc(2V_c t) * T(t) 2Vcsinc(2Vct)∗T(t)
滤波通常（不总是）等同于卷积
在频域中（频域滤波）
G ( s ) = F ( s ) H ( s ) G(s) = F(s) H(s) G(s)=F(s)H(s)（ H ( s ) H(s) H(s)为传递函数），设计滤波器就是设计一个 H H H。
比较常见的事低通滤波器，高通滤波器和带通滤波器
在频域更容易理解滤波器而在时域中转换为卷积就没那么好理解
有时卷积并不容易计算，甚至不能显式表示，如
∫ − ∞ ∞ s i n c ( x − y ) f ( y ) d y \int_{-\infty}^\infty sinc(x - y) f(y) dy ∫−∞∞sinc(x−y)f(y)dy

有什么关于卷积更好的解释？有很多的解释
在很多情况下，卷积核滤波或平均相关
通常 f f f和 g g g的卷积比单独考虑 f , g f,g f,g更好（更平滑），比如
Π ∗ Π = Λ \Pi * \Pi = \Lambda Π∗Π=Λ
左边不连续，右边连续
如果 f f f可微 g g g不可微，则 f ∗ g f*g f∗g可微： ( f ∗ g ) ′ = f ′ ∗ g (f*g)' = f' * g (f∗g)′=f′∗g

怎样利用卷积求热方程??

首先
F ( f ′ ) ( s ) = 2 π i s F f ( s ) \mathcal{F}(f')(s) = 2\pi i s \mathcal{F}f(s) F(f′)(s)=2πisFf(s)
相似的
F ( f ( n ) ) ( s ) = ( 2 π i s ) n F f ( s ) \mathcal{F}(f^{(n)})(s) = (2\pi i s)^n \mathcal{F}f(s) F(f(n))(s)=(2πis)nFf(s)
证明：
假设当 t → ± ∞ , f ( t ) → 0 t\rightarrow \pm \infty ,f(t) \rightarrow 0 t→±∞,f(t)→0(一种特殊情形，一般要把函数限制在一个族里面，分析学专门讨论)
F ( f ′ ) ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t f ′ ( t ) d t = e − 2 π i s t f ( t ) ∣ − ∞ ∞ + 2 π i s ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t f ( t ) d t = 0 + 2 π i s F f ( s ) \begin{aligned} \mathcal{F}(f')(s) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st}f'(t) dt\\ &=e^{-2\pi i st}f(t) \bigg|_{-\infty}^\infty + 2\pi i s \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st} f(t) dt \\ &=0 + 2\pi i s \mathcal{F}f(s)\end{aligned} F(f′)(s)=∫−∞∞e−2πistf′(t)dt=e−2πistf(t)∣∣∣∣−∞∞+2πis∫−∞∞e−2πistf(t)dt=0+2πisFf(s)
研究无限长实线热方程， u ( x , t ) , u ( x , 0 ) = f ( x ) u(x,t),u(x,0)=f(x) u(x,t),u(x,0)=f(x)无限周期 u t = 1 2 u x x u_t = \frac{1}{2} u_{xx} ut=21uxx
记 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t)关于 x x x的傅里叶变换为 u ( s , t ) u(s,t) u(s,t)，则
F u t = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s x ∂ u ( x , t ) ∂ t d x = ∂ ∂ t ( ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s x u ( x , t ) d x ) = ∂ ∂ t u ( s , t ) \begin{aligned} \mathcal{F} u_t &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i sx} \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}dx\\ &=\frac{\partial}{\partial t}\left( \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i sx} u (x,t) dx \right) \\ &=\frac{\partial}{\partial t} u(s,t)\end{aligned} Fut=∫−∞∞e−2πisx∂t∂u(x,t)dx=∂t∂(∫−∞∞e−2πisxu(x,t)dx)=∂t∂u(s,t)
F u x x = ( 2 π i s ) 2 u ( s , t ) \mathcal{F}u_{xx} = (2\pi i s)^2 u(s,t) Fuxx=(2πis)2u(s,t)
联合上面，得到热方程为
∂ ∂ t u ( s , t ) = − 2 ( π s ) 2 u ( s , t ) \frac{\partial}{\partial t} u(s,t)=- 2(\pi s)^2 u(s,t) ∂t∂u(s,t)=−2(πs)2u(s,t)
这是一个普通的微分方程，解得
u ( s , t ) = u ( s , 0 ) e − 2 π 2 s 2 t u(s,t) = u(s,0) e^{-2\pi^2 s^2 t} u(s,t)=u(s,0)e−2π2s2t
u ( s , 0 ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s x u ( x , 0 ) d x = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s x f ( x ) = F ( s ) u(s,0) = \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i sx} u(x,0) dx = \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i sx} f(x) = F(s) u(s,0)=∫−∞∞e−2πisxu(x,0)dx=∫−∞∞e−2πisxf(x)=F(s)
所以
u ( s , t ) = F ( s ) e − 2 π 2 s 2 t u(s,t) = F(s) e^{-2\pi^2 s^2 t} u(s,t)=F(s)e−2π2s2t
由于
F ( 1 2 π t e − x 2 / 2 t ) = e − 2 π 2 s 2 t \mathcal{F}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-x^2 /2t} \right) = e^{-2\pi^2 s^2 t} F(2πt 1e−x2/2t)=e−2π2s2t
故
u ( x , t ) = f ( x ) ∗ ( 1 2 π t e − x 2 / 2 t ) u(x,t) = f(x) * \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-x^2 /2t} \right) u(x,t)=f(x)∗(2πt 1e−x2/2t)

卷积核中心极限定理(conbolution and the Central Limit Theorem,CLT)

CLT某种程度上阐述了一般钟形曲线的一般形式，也就是概率论中的高斯分布
大部分概率事件，可以看做可以按照钟形曲线进行计算和近似，或者说有高斯函数决定
p ( x ) = 1 2 π e − x 2 / 2 p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} p(x)=2π 1e−x2/2
p ( a ≤ m e a s u r e m e n t ) ≤ b = ∫ a b 1 2 π e − x 2 / 2 d x p(a\le measurement ) \le b = \int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} dx p(a≤measurement)≤b=∫ab2π 1e−x2/2dx
对矩形函数自身做一次卷积，得到一个三角形函数，做三次卷积则得到一个钟形（更平滑），做四个更平滑。令人惊叹(spooky)的是，不仅对矩形函数，对任意函数，自身卷积做若干次以后，将类似于一个钟形函数
建立：
X X X为随机变量， x x x为时机测量值，测量 x x x如何分布 P X ( x ) P_X(x) PX(x), P a , b ( a ≤ x ≤ b ） = ∫ a b p ( x ) d x P_{a,b}(a\le x \le b） = \int_a^b p(x) dx Pa,b(a≤x≤b）=∫abp(x)dx
∫ − ∞ ∞ p ( x ) d x = 1 , p ( x ) ≥ 0 \int_{-\infty}^{\infty} p(x) dx = 1,p(x) \ge 0 ∫−∞∞p(x)dx=1,p(x)≥0
怎么和卷积联系起来
假设 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2是独立随机变量 p 1 ( x 1 ) , p 2 ( x 2 ) , x 1 + x 2 p_1(x_1),p_2(x_2),x_1 + x_2 p1(x1),p2(x2),x1+x2的分布为 p 1 ∗ p 2 p_1 * p_2 p1∗p2(利用积分变量替换即可得到)
同样可以得到
p ( x 1 + ⋯ + x n ) = p 1 ∗ p 2 ∗ ⋯ ∗ p n p(x_1+\cdots+x_n) = p_1 * p_2 * \cdots * p_n p(x1+⋯+xn)=p1∗p2∗⋯∗pn
CLT建立过程
设 x 1 , ⋯   , x n x_1,\cdots,x_n x1,⋯,xn是独立同分布随机变量(iid)，记为p(均值为0，方差为1）
即
∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x = 0 \int_{-\infty}^{\infty} xp(x) dx = 0 ∫−∞∞xp(x)dx=0
∫ − ∞ ∞ x 2 p ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty} x^2p(x) dx = 1 ∫−∞∞x2p(x)dx=1
∫ − ∞ ∞ p ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty} p(x) dx = 1 ∫−∞∞p(x)dx=1
S n = x 1 + ⋯ + x n S_n = x_1 + \cdots + x_n Sn=x1+⋯+xn，则 , E ( S n ) = 0 , E ( S n 2 ) = n \mathbb{E}(S_n) = 0, \sqrt{\mathbb{E}(S_n^2)} = \sqrt{n} E(Sn)=0,E(Sn2) =n (标准差)
故， S n n \frac{S_n}{\sqrt{n}} n Sn方差为1
CLT：当 n → ∞ n\rightarrow \infty n→∞时，
lim ⁡ n → ∞ p r o b ( a ≤ S n n ≤ b ) = 1 2 π ∫ a b e − x 2 / 2 d x \lim_{n\rightarrow \infty} prob(a \le \frac{S_n}{\sqrt{n}} \le b ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_a^b e^{-x^2/2} dx n→∞limprob(a≤n Sn≤b)=2π 1∫abe−x2/2dx
非积分形式：如果 P n ( x ) P_n(x) Pn(x)为 S n n \frac{S_n}{\sqrt{n}} n Sn的分布，则当 n → ∞ n\rightarrow \infty n→∞时，
P n ( x ) → 1 2 π e − x 2 / 2 P_n(x) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} Pn(x)→2π 1e−x2/2

因为 x 1 + ⋯ + x n x_1+\cdots +x_n x1+⋯+xn的分布为 p ∗ n ( x ) = ( p ∗ ⋯ ∗ p ⎵ n 个 ) p^{*n}(x) =( \underbrace{p*\cdots * p}_{n个}) p∗n(x)=(n个 p∗⋯∗p)，则
x 1 + ⋯ + x n n \frac{x_1+\cdots+x_n}{\sqrt{n}} n x1+⋯+xn的分布为 n p ∗ n ( n x ) \sqrt{n} p^{*n}(\sqrt{n}x) n p∗n(n x). ( x 分布为 p ( x ) , 则 a x 的分布为 1 a p ( x a ) (x分布为p(x),则ax的分布为\frac{1}{a} p(\frac{x}{a}) (x分布为p(x),则ax的分布为a1p(ax)

P r ( a X ≤ x ) = P r ( X ≤ x a ) = ∫ − ∞ p ( t ) d t = ∫ − ∞ x p ( t a ) d t a = 1 a ∫ − ∞ x p ( t a ) d t \begin{aligned}Pr(aX \le x) &= Pr(X \le \frac{x}{a}) = \int_{-\infty}^{ } p(t) dt \\ &= \int_{-\infty}^{ x} p\left(\frac{t}{a}\right) d\frac{t}{a} = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^x p\left(\frac{t}{a}\right) dt \end{aligned} Pr(aX≤x)=Pr(X≤ax)=∫−∞p(t)dt=∫−∞xp(at)dat=a1∫−∞xp(at)dt

做傅里叶变换 F ( p n ( x ) ) = n F ( p ∗ n ( n x ) ) = n ∗ 1 n F ( p ∗ n ) ( s n ) = ( F p ) n ( s n ) = ( F p ( s n ) ) n \begin{aligned}\mathcal{F}(p_n(x)) &= \sqrt{n} \mathcal{F} \left(p^{*n}(\sqrt{n} x )\right)\\ &= \sqrt{n} * \frac{1}{\sqrt{n} } \mathcal{F} \left(p^{*n}\right) \left(\frac{s}{ \sqrt{n}} \right) \\ &= (\mathcal{F}p)^n \left(\frac{s}{ \sqrt{n}} \right)\\ &= \left(\mathcal{F}p\left(\frac{s}{ \sqrt{n}} \right) \right)^n \end{aligned} F(pn(x))=n F(p∗n(n x))=n ∗n 1F(p∗n)(n s)=(Fp)n(n s)=(Fp(n s))n
使用泰勒级数（展开） ( e x = 1 + x + x 2 2 + ⋯   ) (e^x = 1 +x + \frac{x^2}{2}+\cdots) (ex=1+x+2x2+⋯)
F p ( s n ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i ( s / n ) x p ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ ( 1 − 2 π i s x n − 1 2 ( 2 π i s x n ) 2 + ⋯   ) p ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ p ( x ) d x ⎵ = 1 − 2 π i s n ∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x ⎵ = 0 − 2 π 2 s 2 n ∫ − ∞ ∞ x 2 p ( x ) d x ⎵ = 1 + ⋯ = 1 − 2 π 2 s 2 n + ε ≈ 1 − 2 π 2 s 2 n \begin{aligned}\mathcal{F}p\left(\frac{s}{ \sqrt{n}} \right) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i (s/\sqrt{n})x} p(x) dx \\ &= \int_{-\infty}^\infty \left(1-\frac{2\pi i sx}{\sqrt{n}} - \frac{1}{2} \left(\frac{2\pi i sx}{\sqrt{n}}\right)^2 + \cdots \right) p(x) dx\\ &= \underbrace{\int_{-\infty}^\infty p(x) dx}_{=1} - \frac{2\pi i s}{\sqrt{n}}\underbrace{\int_{-\infty}^\infty xp(x) dx}_{=0} - \frac{2\pi^2 s^2}{n} \underbrace{ \int_{-\infty}^\infty x^2 p(x) dx}_{=1} + \cdots \\ &=1 -\frac{2\pi^2 s^2}{n}+ \varepsilon \approx 1 -\frac{2\pi^2 s^2}{n} \end{aligned} Fp(n s)=∫−∞∞e−2πi(s/n )xp(x)dx=∫−∞∞(1−n 2πisx−21(n 2πisx)2+⋯)p(x)dx==1 ∫−∞∞p(x)dx−n 2πis=0 ∫−∞∞xp(x)dx−n2π2s2=1 ∫−∞∞x2p(x)dx+⋯=1−n2π2s2+ε≈1−n2π2s2
所以
( F p ( s n ) ) n ≈ ( 1 − 2 π 2 s 2 n ) n \left(\mathcal{F}p\left(\frac{s}{ \sqrt{n}} \right) \right)^n \approx \left(1 -\frac{2\pi^2 s^2}{n} \right)^n (Fp(n s))n≈(1−n2π2s2)n
当 n → + ∞ n\rightarrow +\infty n→+∞, ( 1 − 2 π 2 s 2 n ) n ⟶ e − 2 π 2 s 2 \left(1 -\frac{2\pi^2 s^2}{n} \right)^n \longrightarrow e^{-2\pi^2s^2} (1−n2π2s2)n⟶e−2π2s2
利用傅里叶反变换，饿到原分布密度为
p n ( x ) ≈ 1 2 π e − x 2 / 2 p_n(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} pn(x)≈2π 1e−x2/2

讨论积分收敛问题

需要傅里叶变换的更严谨的定义才能处理一般信号。如果积分不收敛，怎么利用傅里叶变换
两种方式处理这种情况
1.一种是使用特定方法(ad hot)
2.重新研究基础，给出一个另外的定义
第一个例子: f ( t ) = Π ( t ) f(t) = \Pi(t) f(t)=Π(t)积分收敛可以进行傅里叶变换，然而问题出现在反变换上 F − 1 s i n c = Π \mathcal{F}^{-1} sinc = \Pi F−1sinc=Π
F − 1 s i n c = ∫ − ∞ ∞ e 2 π i s t sin ⁡ π s π s d s = { 1 , ∣ s ∣ < 1 2 0 , ∣ s ∣ > 1 2 \mathcal{F}^{-1} sinc = \int_{-\infty}^\infty e^{2\pi i st } \frac{\sin \pi s}{\pi s} ds = \begin{cases}1,\quad &|s| < \frac{1}{2} \\ 0,\quad &|s| > \frac{1}{2} \end{cases} F−1sinc=∫−∞∞e2πistπssinπsds={1,0,∣s∣<21∣s∣>21
（无法用简单积分算出，需要用一些技巧）
在边界上即不连续点上 s = ± 1 2 s=\pm \frac{1}{2} s=±21有些问题，收敛于 1 2 \frac{1}{2} 21而不是0或者1
第二个例子中， f ( t ) = 1 f(t) = 1 f(t)=1,傅里叶积分是无意义的
∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t d t = 1 − 2 π i s e − 2 π i s t ∣ − ∞ ∞ = 0 \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st } dt = \frac{1}{-2\pi i s} e^{-2\pi i st } \bigg|_{-\infty}^\infty = 0 ∫−∞∞e−2πistdt=−2πis1e−2πist∣∣∣∣−∞∞=0
例子3： f ( t ) = sin ⁡ ( 2 π t ) , g ( t ) = cos ⁡ ( 2 π t ) f(t) = \sin(2\pi t),g(t) =\cos(2\pi t) f(t)=sin(2πt),g(t)=cos(2πt)

∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t sin ⁡ ( 2 π t ) d t \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st } \sin(2\pi t) dt ∫−∞∞e−2πistsin(2πt)dt
是无法收敛的。对于等等这些情况，我们必须重新定义收敛的问题
怎样选取基本现象来啊研究其他一切现象
1940年代解决了这个问题。退一步，最好的情形是什么（定义为 s s s，Schwarz）
我们需要两个性质：
1.如果 f ∈ s f \in s f∈s,那么 F ∈ s \mathcal{F} \in s F∈s
2.傅里叶由方程定义
F F − 1 f = f \mathcal{F}\mathcal{F}^{-1}f = f FF−1f=f
更进一步的性质（Parseval等式Rayleigh 等式）
∫ − ∞ ∞ ∣ g ( s ) ∣ 2 d s = ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ 2 d t \int_{-\infty}^\infty |g(s) |^2 ds = \int_{-\infty}^\infty |f(t)|^2 dt ∫−∞∞∣g(s)∣2ds=∫−∞∞∣f(t)∣2dt
怎样定义 s s s（Laurent Schwartz找到了这个类）:s指的就是这类速降函数
{ f ( x ) 为光滑函数对任意 m , n ≥ 0 , 当 x → ± ∞ , ∣ x ∣ n ∣ d m d x m f ( x ) ∣ → 0 \begin{cases}f(x) 为光滑函数\\ 对任意m,n\ge 0,当x \rightarrow \pm \infty,|x|^n |\frac{d^m}{dx^m}f(x) | \rightarrow 0 \end{cases} {f(x)为光滑函数对任意m,n≥0,当x→±∞,∣x∣n∣dxmdmf(x)∣→0
即递降速度非常快，比 x n x^n xn快. 存在这样的函数吗
{ f ( x ) = e − π x 2 就是这样的函数在一个区间外全为 0 的光滑函数（紧支集光滑函数） \begin{cases}f(x) = e^{-\pi x^2}就是这样的函数\\在一个区间外全为0的光滑函数（紧支集光滑函数） \end{cases} {f(x)=e−πx2就是这样的函数在一个区间外全为0的光滑函数（紧支集光滑函数）
这是从导数定理中来的
F ( f ( m ) ) ( s ) = ( 2 π i s ) m F f ( s ) \mathcal{F}(f^{(m)})(s) = (2\pi i s)^m \mathcal{F}f(s) F(f(m))(s)=(2πis)mFf(s)
这表明可微性和递降速率的关系
Parseval等式适用于s函数，适用于不涉及收敛问题的函数
∫ − ∞ ∞ ∣ F ( f ) ( s ) ∣ 2 d s = ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ 2 d t \int_{-\infty}^\infty |\mathcal{F}(f)(s) |^2 ds = \int_{-\infty}^\infty |f(t)|^2 dt ∫−∞∞∣F(f)(s)∣2ds=∫−∞∞∣f(t)∣2dt
下面证明一个更一般的等式
∫ − ∞ ∞ F f ( s ) F g ( s ) ‾ d s = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) g ( t ) ‾ d t \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}f(s) \overline{\mathcal{F}g(s)} ds = \int_{-\infty}^\infty f(t) \overline{g(t)} dt ∫−∞∞Ff(s)Fg(s)ds=∫−∞∞f(t)g(t)dt
令 g ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e 2 π i s t F g ( s ) d s g(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{2\pi i st} \mathcal{F}g(s) ds g(t)=∫−∞∞e2πistFg(s)ds,即 g ( t ) = F − 1 F g g(t)=\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}g g(t)=F−1Fg
两边取共轭，将共轭算子放进积分中
g ( t ) ‾ = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t F g ( s ) ‾ d s \overline{g(t)} = \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st} \overline{\mathcal{F}g(s)} ds g(t)=∫−∞∞e−2πistFg(s)ds
故
∫ − ∞ ∞ f ( x ) g ( t ) ‾ d t = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ( ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t F g ( s ) ‾ d s ) d t = ∫ − ∞ ∞ F g ( s ) ‾ ( ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − 2 π i s t d t ) d s = ∫ − ∞ ∞ F f ( s ) F g ( s ) ‾ d s \begin{aligned}\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(t)}dt &= \int_{-\infty}^\infty f(t) \left( \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i st} \overline{\mathcal{F}g(s)} ds\right)dt \\ &=\int_{-\infty}^\infty \overline{\mathcal{F}g(s)} \left( \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-2\pi i st} dt\right)ds\\ &= \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}f(s) \overline{\mathcal{F}g(s)} ds \end{aligned} ∫−∞∞f(x)g(t)dt=∫−∞∞f(t)(∫−∞∞e−2πistFg(s)ds)dt=∫−∞∞Fg(s)(∫−∞∞f(t)e−2πistdt)ds=∫−∞∞Ff(s)Fg(s)ds

傅里叶变换扩展（重新定义傅里叶变换，广义傅里叶变换）

傅里叶变换的最佳集合，速降函数集合s
为什么这个对于傅里叶变幻时最佳的
Π ∉ s , Λ , sin ⁡ , cos ⁡ , s i n c ∉ s , 常数 c ∉ s \Pi \notin s,\Lambda,\sin,\cos,sinc \notin s,常数c \notin s Π∈/s,Λ,sin,cos,sinc∈/s,常数c∈/s，许多常见的函数都不属于 s s s,怎么办，必须采取一条特别的路，那就是广义函数（也称为分布）
脉冲函数 δ \delta δ(单独考虑是没有意义的)
通常定义 δ \delta δ为
δ ( 0 ) = 0 , x ≠ 0 δ ( 0 ) = ∞     \delta(0) = 0,x \ne 0\\ \delta(0) = \infty \quad\quad\,\,\, δ(0)=0,x̸=0δ(0)=∞
∫ − ∞ ∞ δ ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^\infty \delta(x) dx = 1 ∫−∞∞δ(x)dx=1
∫ − ∞ ∞ δ ( 0 ) φ ( x ) d x = φ ( 0 ) \int_{-\infty}^\infty \delta(0) \varphi(x) dx = \varphi(0) ∫−∞∞δ(0)φ(x)dx=φ(0)
上面的定义完全是垃圾。
δ \delta δ函数是一个只关注一点的函数，考虑经典的那些函数，当他们变得越来越窄，取极限的时候。eg.:考虑一个长方形函数，变窄，变高，积分不变
∫ − ∞ ∞ 1 ε Π ε ( x ) φ ( x ) d x = 1 ε ∫ − ε 2 ε 2 φ ( x ) d x = 1 ε ∫ − ε 2 ε 2 φ ( 0 ) + φ ′ ( c ) x + φ ′ ′ ( c ) 2 x 2 + ⋯ d x = φ ( 0 ) + O ( ε ) ⟶ φ ( 0 ) \begin{aligned}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\varepsilon} \Pi_\varepsilon(x) \varphi(x) dx &= \frac{1}{\varepsilon} \int_{-\frac{\varepsilon}{2}}^{\frac{\varepsilon}{2}} \varphi(x) dx\\ &= \frac{1}{\varepsilon} \int_{-\frac{\varepsilon}{2}}^{\frac{\varepsilon}{2}} \varphi(0) + \varphi'(c) x + \frac{\varphi''(c)}{2}x^2 +\cdots dx \\ &=\varphi(0) + O(\varepsilon) \longrightarrow \varphi(0) \end{aligned} ∫−∞∞ε1Πε(x)φ(x)dx=ε1∫−2ε2εφ(x)dx=ε1∫−2ε2εφ(0)+φ′(c)x+2φ′′(c)x2+⋯dx=φ(0)+O(ε)⟶φ(0)
即
lim ⁡ ε → 0 ∫ − ∞ ∞ 1 ε Π ε ( x ) φ ( x ) d x = φ ( 0 ) \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\varepsilon} \Pi_\varepsilon(x) \varphi(x) dx=\varphi(0) ε→0lim∫−∞∞ε1Πε(x)φ(x)dx=φ(0)
单独考虑 lim ⁡ ε → 0 1 ε Π ε ( x ) \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon} \Pi_\varepsilon(x) limε→0ε1Πε(x)是没有意义的，而是和其他函数成对出现才有意义，这才是 δ \delta δ函数通常出现的形式， δ \delta δ单独出现没有意义。把视角放在结果而不是过程
定义：1）从分布测试函数 φ \varphi φ开始（那些最优的函数）
2)和测试函数相关的叫广义函数或者分布的集合，一个分布较 T T T，是一个作用于测试函数的线性泛函. T ( φ ) T(\varphi) T(φ)是一个数， T ( a φ 1 + b φ 2 ) = a T ( φ 1 ) + b T ( φ 2 ) T(a\varphi_1 + b\varphi_2)= aT(\varphi_1) + bT(\varphi_2) T(aφ1+bφ2)=aT(φ1)+bT(φ2)
3）如果 ϕ n → φ \phi_n \rightarrow \varphi ϕn→φ(序列趋近于 φ \varphi φ)，那么 T ( φ n ) → T ( φ ) T(\varphi_n) \rightarrow T(\varphi) T(φn)→T(φ)
一个分布于一个测试函数配对，符号 < T , φ > <T,\varphi> <T,φ>
重新定义 δ \delta δ，通过 < δ , φ > = φ ( 0 ) <\delta,\varphi> = \varphi(0) <δ,φ>=φ(0)，显然是线性的，而且 ϕ n → φ ⇒ ϕ n ( 0 ) → φ ( 0 ) \phi_n \rightarrow \varphi \Rightarrow \phi_n(0) \rightarrow \varphi(0) ϕn→φ⇒ϕn(0)→φ(0)这才是 δ \delta δ的定义
定义位移 δ \delta δ函数， δ a \delta_a δa为一个分布 < δ a , φ > = φ ( a ) <\delta_a,\varphi>=\varphi(a) <δa,φ>=φ(a),并满足1),2),3)
怎样才能是的那些不符合测试函数的函数回到视野中来（傅里叶变换变得有意义）
通过一种特别的方式合理化
eg.:怎样将常函数看做一个分布，怎样定义匹配 1 1 1和 φ \varphi φ(通过积分实现)
< 1 , φ > = ∫ − ∞ ∞ 1 φ ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ φ ( x ) d x <1,\varphi> = \int_{-\infty}^\infty 1\varphi(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x) dx <1,φ>=∫−∞∞1φ(x)dx=∫−∞∞φ(x)dx
同样对于矩形函数
< Π , φ > = ∫ − ∞ ∞ Π ( x ) φ ( x ) d x <\Pi,\varphi> = \int_{-\infty}^\infty \Pi(x) \varphi(x) dx <Π,φ>=∫−∞∞Π(x)φ(x)dx
三角函数
< sin ⁡ ( 2 π x ) , φ > = ∫ − ∞ ∞ sin ⁡ ( 2 π x ) φ ( x ) d x <\sin(2\pi x),\varphi> = \int_{-\infty}^\infty \sin(2\pi x) \varphi(x) dx <sin(2πx),φ>=∫−∞∞sin(2πx)φ(x)dx
对于大部分函数，将 f ( x ) f(x) f(x)看成分布， < f , φ > = ∫ f ( x ) φ ( x ) d x <f,\varphi> = \int f(x) \varphi(x) dx <f,φ>=∫f(x)φ(x)dx这包括基本的所有函。
下面正式介绍广义函数（分布）傅里叶变换
测试集合（速降函数集合） T \mathcal{T} T，和上面那样定义 < T , φ > <T,\varphi> <T,φ>， ϕ n → φ ⇒ T ( φ n ) → T ( φ ) \phi_n \rightarrow \varphi \Rightarrow T(\varphi_n) \rightarrow T(\varphi) ϕn→φ⇒T(φn)→T(φ)
比较难的是定义函数的收敛性（这里不讨论）
分布的集合是一系列测试函数的对偶空间（dual space）
定义 < f , φ > = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) φ ( x ) d x <f,\varphi> = \int_{-\infty}^\infty f(x) \varphi(x) dx <f,φ>=∫−∞∞f(x)φ(x)dx（如果积分都收敛），大部分的函数都是分布
故 < e 2 π i a x , φ > = ∫ − ∞ ∞ e 2 π i a x φ ( x ) d x <e^{2\pi i ax}, \varphi> = \int_{-\infty}^\infty e^{2\pi i ax}\varphi(x) dx <e2πiax,φ>=∫−∞∞e2πiaxφ(x)dx是有意义的
把测试函数看做 s s s，那么
① φ ∈ s , F φ ∈ s , F − 1 φ ∈ s ①\varphi \in s, \mathcal{F}\varphi \in s, \mathcal{F}^{-1} \varphi \in s ①φ∈s,Fφ∈s,F−1φ∈s
② F F − 1 φ = φ F − 1 F = φ ② \mathcal{F} \mathcal{F}^{-1} \varphi= \varphi\\ \mathcal{F}^{-1} \mathcal{F} = \varphi ②FF−1φ=φF−1F=φ
与之对应的分布，通常也称为缓增广义函数
如果 T T T是一个缓增广义函数，则通过傅里叶变换，变成另一个缓增广义函数
我们现在需要定义 < F T , φ > <\mathcal{F} T,\varphi> <FT,φ>
假设，所有性质都很好地满足,则
< F T , f > = ∫ − ∞ ∞ F T ( x ) f ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i x y f ( x ) d x   T ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ F f ( y ) T ( y ) d y = < T , F f > \begin{aligned} <\mathcal{F} T,f> &= \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}T(x) f(x) dx \\ &=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i xy} f(x) dx\, T(y) dy\\ &= \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}f(y) T(y) dy\\ &= <T,\mathcal{F}f> \end{aligned} <FT,f>=∫−∞∞FT(x)f(x)dx=∫−∞∞∫−∞∞e−2πixyf(x)dxT(y)dy=∫−∞∞Ff(y)T(y)dy=<T,Ff>
所以定义 < F T , φ > = < T , F φ > <\mathcal{F} T,\varphi> = <T,\mathcal{F} \varphi> <FT,φ>=<T,Fφ>
同样定义 < F − 1 T , φ > = < T , F − 1 φ > <\mathcal{F}^{-1}T,\varphi> = <T,\mathcal{F}^{-1}\varphi> <F−1T,φ>=<T,F−1φ>
容易证明这样定义是合理的，即 < F F − 1 T , φ > = < T , φ > <\mathcal{F}\mathcal{F}^{-1}T,\varphi> = <T,\varphi> <FF−1T,φ>=<T,φ>, < F − 1 F T , φ > = < T , φ > <\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}T,\varphi> = <T,\varphi> <F−1FT,φ>=<T,φ>

根据定义
< F δ , φ > = < δ , F φ > = F φ ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ 1 φ ( x ) d x = < 1 , φ > <\mathcal{F}\delta, \varphi> = <\delta, \mathcal{F} \varphi> = \mathcal{F} \varphi(0) = \int_{-\infty}^\infty 1 \varphi(x) dx = <1,\varphi> <Fδ,φ>=<δ,Fφ>=Fφ(0)=∫−∞∞1φ(x)dx=<1,φ>
故(频域分散，时域聚集)
F δ = 1 \mathcal{F} \delta = 1 Fδ=1
同样
F δ a = e − 2 π i a x \mathcal{F} \delta_a = e^{-2\pi i a x} Fδa=e−2πiax
F e − 2 π i a x = δ a \mathcal{F} e^{-2\pi i a x} = \delta_a Fe−2πiax=δa

而由 cos ⁡ ( 2 π a x ) = 1 2 ( e 2 π i a x + e − 2 π i a x ) \cos(2\pi a x ) = \frac{1}{2}(e^{2\pi i a x}+e^{-2\pi i a x}) cos(2πax)=21(e2πiax+e−2πiax)，得
F cos ⁡ ( 2 π a x ) = 1 2 ( δ a + δ − a ) \mathcal{F} \cos(2\pi a x ) = \frac{1}{2} (\delta_a + \delta_{-a}) Fcos(2πax)=21(δa+δ−a)
必须证明这和原来的是不矛盾的

分布的导数和卷积

< T ′ , φ > = ? <T',\varphi>=? <T′,φ>=?
如果 T T T由一个函数给出
< T ′ , φ > = ∫ − ∞ ∞ T ′ ( x ) φ ( x ) d x = [ T ( x ) φ ( x ) ] ∣ − ∞ ∞ − ∫ − ∞ ∞ T ( x ) φ ′ ( x ) d x = − ∫ − ∞ ∞ T ( x ) φ ′ ( x ) d x = − < T , φ ′ > \begin{aligned}<T',\varphi> &= \int_{-\infty}^\infty T'(x) \varphi(x) dx \\ &= [T(x)\varphi(x)] \bigg|_{-\infty}^\infty - \int_{-\infty}^\infty T(x) \varphi'(x)dx \\ &= - \int_{-\infty}^\infty T(x) \varphi'(x)dx \\ &= -<T,\varphi'> \end{aligned} <T′,φ>=∫−∞∞T′(x)φ(x)dx=[T(x)φ(x)]∣∣∣∣−∞∞−∫−∞∞T(x)φ′(x)dx=−∫−∞∞T(x)φ′(x)dx=−<T,φ′>
把它作为定义
< T ′ , φ > = − < T , φ ′ > <T',\varphi> = -<T,\varphi'> <T′,φ>=−<T,φ′>

Example: (跳跃函数Heaviside函数)
u ( x ) = { 1 ,   x > 0 0 ,   x ≤ 0 u(x) = \begin{cases} 1, \, &x>0 \\ 0,\, & x \le 0 \end{cases} u(x)={1,0,x>0x≤0
< u ′ , φ > = − < u , φ ′ > = − ∫ − ∞ ∞ u x ( x ) φ ′ ( x ) d x = − ∫ 0 ∞ φ ′ ( x ) d x = − φ ( x ) ∣ 0 ∞ = < δ , φ > \begin{aligned} <u',\varphi> &= -<u,\varphi'> = -\int_{-\infty}^\infty ux(x) \varphi'(x) dx \\ &=- \int_0^\infty \varphi'(x) dx = - \varphi(x) \bigg|_0^\infty = <\delta,\varphi> \end{aligned} <u′,φ>=−<u,φ′>=−∫−∞∞ux(x)φ′(x)dx=−∫0∞φ′(x)dx=−φ(x)∣∣∣∣0∞=<δ,φ>
所以 u ′ = δ u' = \delta u′=δ
同理得到
s i g n   x = { 1 ,   x > 0 0 ,   x = 0 − 1 ,   x < 0 sign \,x = \begin{cases}1,\, & x> 0\\ 0,\, &x =0 \\-1,\, & x<0\end{cases} signx=⎩⎪⎨⎪⎧1,0,−1,x>0x=0x<0
s i g n ′ = 2 δ sign' = 2\delta sign′=2δ
傅里叶变换的导数和导数的傅里叶变换
( F T ) ′ = F ( − 2 π i t T ) (\mathcal{F}T)' = \mathcal{F}(-2\pi i t T) (FT)′=F(−2πitT)
F ( T ′ ) = 2 π i s F T \mathcal{F}(T') = 2\pi i s \mathcal{F} T F(T′)=2πisFT
< ( F T ) ′ , φ > = − < F T , φ ′ > = − < T , F φ ′ > = − < T , 2 π i t F φ > = < − 2 π i t T , F φ > = < F ( − 2 π i t T ) , φ > \begin{aligned}<(\mathcal{F}T)',\varphi> &= -<\mathcal{F}T,\varphi'> = -<T,\mathcal{F} \varphi'>\\ &= -<T,2\pi i t \mathcal{F} \varphi> = <-2\pi i t T ,\mathcal{F} \varphi> = <\mathcal{F}( -2\pi i t T),\varphi> \end{aligned} <(FT)′,φ>=−<FT,φ′>=−<T,Fφ′>=−<T,2πitFφ>=<−2πitT,Fφ>=<F(−2πitT),φ>
< F ( T ′ ) , φ > = < T ′ , F φ > = − < T , ( F φ ) ′ > = − < T , F ( − 2 π i s φ ) > = < 2 π i s F T , φ > \begin{aligned} <\mathcal{F}(T'),\varphi> &= <T', \mathcal{F} \varphi> = -<T,(\mathcal{F} \varphi)'>\\ &=-<T,\mathcal{F}(-2\pi i s \varphi)> = <2\pi i s\mathcal{F} T, \varphi > \end{aligned} <F(T′),φ>=<T′,Fφ>=−<T,(Fφ)′>=−<T,F(−2πisφ)>=<2πisFT,φ>

利用这个来找 s g n   x sgn\,x sgnx的傅里叶变换，由于 s g n ′ = 2 δ sgn' =2 \delta sgn′=2δ
F ( s g n ′ ) = 2 δ = 2 \mathcal{F}(sgn') = \mathcal{2\delta} = 2 F(sgn′)=2δ=2
另外有
F ( s g n ′ ) = 2 π i s F ( s g n ) \mathcal{F}(sgn') = 2\pi i s \mathcal{F}(sgn) F(sgn′)=2πisF(sgn)
故
F ( s g n ) = 2 2 π i s = 1 π i s \mathcal{F}(sgn) = \frac{2}{2\pi i s } = \frac{1}{\pi i s } F(sgn)=2πis2=πis1

需要注意的是，如果 S , T S,T S,T都是分布，那么 S T ST ST是没有定义的。特殊情况是当 f f f为函数(满足一定条件，使得 f φ ∈ s f\varphi \in s fφ∈s)， < f T , φ > = < T , f φ > <fT,\varphi> = <T,f\varphi> <fT,φ>=<T,fφ>

例子
< f δ , φ > = < δ , f φ > = f ( 0 ) φ ( 0 ) = < f ( 0 ) δ , φ > <f\delta,\varphi> = <\delta,f\varphi> = f(0)\varphi(0) = <f(0)\delta,\varphi> <fδ,φ>=<δ,fφ>=f(0)φ(0)=<f(0)δ,φ>
即
f δ = f ( 0 ) δ f\delta = f(0) \delta fδ=f(0)δ
同理
f δ a = f ( a ) δ a f\delta_a = f(a) \delta_a fδa=f(a)δa
这是 δ \delta δ的采样性质

如果 T , S T,S T,S是分布，如何定义卷积(必须对分布进行限制，不知所有都有定义)
以下许多情况下是可以的
f ∗ T f*T f∗T,当 f f f作为一个函数，并且卷积定理成立
F ( f ∗ T ) = ( F f ) ( F T ) \mathcal{F}(f*T) = (\mathcal{F}f)(\mathcal{F}T) F(f∗T)=(Ff)(FT)
一个特例，当 T = δ T=\delta T=δ(根据卷积定理和前面的结果有)
f ∗ δ = f f* \delta = f f∗δ=f
( f ∗ δ a ) ( x ) = f ( x − a ) (f* \delta_a)(x) = f(x - a) (f∗δa)(x)=f(x−a)
δ \delta δ的缩放性质， δ ( a x ) \delta(ax) δ(ax)定义为?
当 a > 0 a>0 a>0， < δ ( a x ) , φ ( x ) > = ∫ − ∞ ∞ δ ( a x ) φ ( x ) d x = 1 a ∫ − ∞ ∞ δ ( u ) φ ( u a ) d u = < δ , 1 a φ ( x a ) > = 1 a φ ( 0 ) = 1 a < δ , φ > \begin{aligned} <\delta(ax) ,\varphi(x)> &= \int_{-\infty}^\infty \delta(ax) \varphi(x) dx = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^\infty \delta(u) \varphi(\frac{u}{a}) du\\ &=<\delta,\frac{1}{a} \varphi(\frac{x}{a})> = \frac{1}{a} \varphi(0) = \frac{1}{a}<\delta,\varphi> \end{aligned} <δ(ax),φ(x)>=∫−∞∞δ(ax)φ(x)dx=a1∫−∞∞δ(u)φ(au)du=<δ,a1φ(ax)>=a1φ(0)=a1<δ,φ>
当 a < 0 a<0 a<0同理 < δ ( a x ) , φ ( x ) > = − 1 a < δ , φ > <\delta(ax) ,\varphi(x)> = - \frac{1}{a}<\delta,\varphi> <δ(ax),φ(x)>=−a1<δ,φ>
所以 < δ ( a x ) , φ ( x ) > = 1 ∣ a ∣ < δ , φ > <\delta(ax) ,\varphi(x)> = \frac{1}{|a|}<\delta,\varphi> <δ(ax),φ(x)>=∣a∣1<δ,φ>

傅里叶变换与衍射(diffraction)

衍射是光的一种现象
透过过光阑或者小孔。光来自远处光源，光偷过光屏（光屏上有一些小孔），在远处有一接受屏，可以看到衍射现象
假设光是震荡的电磁场，并假设为单色光，衍射图形和光接收屏的位置有关
两种衍射 { 近场衍射：菲涅尔衍射远场衍射：夫琅禾费衍射 \begin{cases}近场衍射：菲涅尔衍射\\ 远场衍射：夫琅禾费衍射 \end{cases} {近场衍射：菲涅尔衍射远场衍射：夫琅禾费衍射
下面介绍夫琅禾费衍射

光波可以表示为 E e 2 π i ν t Ee^{2\pi i \nu t} Ee2πiνt, E E E为衍射屏上（光栅）的电场强度 ν \nu ν为频率
假设 E E E为常数，接受屏上一点 p p p的电场强度怎么表示？不同光沿不同的路径到达同一点 p p p，会产生怎样的叠加
波阵面上的各点，可以看做新的光源（惠更斯Huygens原理）

如图， x x x点处的场强大小为 d x dx dx处的场强 E 0 e 2 π i ν t d x E_0 e^{2\pi i \nu t}dx E0e2πiνtdx(一点的场强)
x x x点的光，到 p p p(经过距离为 r r r)，相位改变多少（经过多少周期）
λ \lambda λ为波长，那么经过了 r λ \frac{r}{\lambda} λr个周期，改变相位为 2 π r λ \frac{2\pi r}{\lambda} λ2πr，所以 x x x点的电磁场到 p p p点处的电场为 d E = E 0 e 2 π i ν t e − 2 π i r / λ d x dE = E_0 e^{2\pi i \nu t} e^{-2\pi i r / \lambda} dx dE=E0e2πiνte−2πir/λdx
总电场为
E = ∫ E 0 e 2 π i ν t e − 2 π i r / λ d x = E 0 e 2 π i ν t ∫ e − 2 π i r / λ d x E = \int E_0 e^{2\pi i \nu t} e^{-2\pi i r / \lambda} dx = E_0 e^{2\pi i \nu t} \int e^{-2\pi i r / \lambda} dx E=∫E0e2πiνte−2πir/λdx=E0e2πiνt∫e−2πir/λdx
实际上看到的场强是 ∣ E ∣ |E| ∣E∣
引入Fraunhofer近似，假设 r ≫ x r \gg x r≫x
r 0 − x sin ⁡ θ ≈ r r_0 - x \sin \theta \approx r r0−xsinθ≈r
代入积分得到
E = E 0 e 2 π i ν t ∫ e − 2 π i ( r 0 − x sin ⁡ θ ) / λ d x = E 0 e 2 π i ν t e − 2 π i r 0 / λ ∫ e 2 π i x sin ⁡ θ / λ d x \begin{aligned} E &= E_0 e^{2\pi i \nu t} \int e^{-2\pi i (r_0 - x\sin \theta) / \lambda} dx\\ &= E_0 e^{2\pi i \nu t} e^{-2\pi i r_0 /\lambda} \int e^{2\pi i x \sin \theta / \lambda}dx\end{aligned} E=E0e2πiνt∫e−2πi(r0−xsinθ)/λdx=E0e2πiνte−2πir0/λ∫e2πixsinθ/λdx
令 p = sin ⁡ θ / λ p=\sin\theta / \lambda p=sinθ/λ，积分变为
E 0 e 2 π i ν t e − 2 π i r 0 / λ ∫ a p e r t u r e e 2 π i p x d x E_0 e^{2\pi i \nu t } e^{-2\pi i r_0 /\lambda} \int_{aperture} e^{2\pi i px }dx E0e2πiνte−2πir0/λ∫aperturee2πipxdx
引入孔径函数 A ( x ) = { 1 ,   x ∈ a p e r t u r e 0 ,   x ∉ a p e r t u r e A(x) = \begin{cases}1,\, x \in aperture \\ 0,\, x\notin aperture \end{cases} A(x)={1,x∈aperture0,x∈/aperture
后边的积分可以写成 ∫ − ∞ ∞ e 2 π i x p A ( x ) d x = F − 1 A ( p ) \int_{-\infty}^\infty e^{2\pi i xp}A(x) dx = \mathcal{F}^{-1} A(p) ∫−∞∞e2πixpA(x)dx=F−1A(p)
在物理学上记为 F A ( p ) \mathcal{F} A(p) FA(p)而不是 F − 1 A ( p ) \mathcal{F}^{-1} A(p) F−1A(p)(因为物理学上傅里叶和这里的相反)
结果就是说，远场衍射电场强度是孔径函数傅里叶变换的幅值

Example
a slit（狭缝），宽度为 a a a写成 Π a ( x ) \Pi_a(x) Πa(x)
接受屏的光强为 a   s i n c ( a sin ⁡ θ λ ) = a   s i n c ( a p ) a \,sinc \left(\frac{a\sin \theta}{\lambda}\right)=a \,sinc(ap) asinc(λasinθ)=asinc(ap) p = sin ⁡ θ λ p = \frac{\sin \theta}{\lambda} p=λsinθ
如果光阑尾一个点光源，则狭缝变为 δ \delta δ，接收屏是均匀亮度。这是对 δ \delta δ傅里叶变换的物理实验解释

另一个实验室杨氏双缝干涉实验（Young’s double-slit experiment）
孔径函数为 A ( x ） = Π a ( x − b 2 ) + Π a ( x + b 2 ) A(x） = \Pi_a\left(x - \frac{b}{2}\right) + \Pi_a\left(x + \frac{b}{2}\right) A(x）=Πa(x−2b)+Πa(x+2b)
其傅里叶变换为
a ( s i n c ( a p ) ) 2 cos ⁡ ( π b p ) , p = sin ⁡ θ λ a\left(sinc(ap) \right) 2\cos(\pi b p ),p = \frac{\sin\theta}{\lambda} a(sinc(ap))2cos(πbp),p=λsinθ

晶体成像

X射线1895年由伦琴（Roentgen）发现，它是波吗？如果是，那么波长为10.8cm，太短，不好测量
晶体结构有原子结构组成，排列成晶格，劳厄(Max Von Laue)1912年做了一系列实验
他假设
1)X射线为波，可以进行衍射
2)晶体具有周期原子结构
3)原子间距和X射线波长相比拟

考虑一维的情况（一维晶体间距为p）

要研究晶体的电子云密度，晶体的电子云密度为单个原子电子密度的周期形式
ρ p ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ ρ ( x − k p ) \rho_p(x) = \sum_{k = -\infty}^\infty \rho(x - kp) ρp(x)=k=−∞∑∞ρ(x−kp)
晶体的衍射条纹是由 F ρ p \mathcal{F} \rho_p Fρp决定的，将 ρ p ( x ) \rho_p(x) ρp(x)写成卷积
ρ ( x − k p ) = ρ ( x ) ∗ δ ( x − k p ) \rho(x - kp) = \rho(x) * \delta(x - kp) ρ(x−kp)=ρ(x)∗δ(x−kp)
故
ρ p ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ ρ ( x ) ∗ δ ( x − k p ) = ρ ( x ) ∗ ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x − k p ) \rho_p(x) = \sum_{k = -\infty}^\infty \rho(x) * \delta(x - kp)\\ =\rho(x) *\sum_{k = -\infty}^\infty \delta(x - kp) ρp(x)=k=−∞∑∞ρ(x)∗δ(x−kp)=ρ(x)∗k=−∞∑∞δ(x−kp)
使用(间隔为 p p p的 Ш Ш Ш(Shah)函数) Ш p ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x − k p ) Ш_p(x) = \sum_{k = -\infty}^\infty \delta(x - kp) Шp(x)=k=−∞∑∞δ(x−kp)

故
ρ p ( x ) = ρ ( x ) ∗ Ш p ( x ) \rho_p (x) = \rho(x) *Ш_p(x) ρp(x)=ρ(x)∗Шp(x)
F ρ p = ( F p ) ( F Ш p ) \mathcal{F} \rho_p = (\mathcal{F} p)(\mathcal{F} Ш_p) Fρp=(Fp)(FШp)
问题是 F Ш p = ? \mathcal{F} Ш_p = ? FШp=?

让 p = 1 p=1 p=1， Ш ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x − k ) Ш(x) = \sum_{k = -\infty}^\infty \delta(x - k) Ш(x)=∑k=−∞∞δ(x−k)，这是一个有意义的分布，为什么
因为 < Ш , φ > = ∑ k = − ∞ ∞ φ ( k ) <Ш,\varphi> = \sum_{k = -\infty}^\infty\varphi(k) <Ш,φ>=∑k=−∞∞φ(k)收敛，所以 F Ш \mathcal{F}Ш FШ也有意义
F Ш = ∑ k = − ∞ ∞ F ( δ ( x − k ) ) = ∑ k = − ∞ ∞ e − 2 π i k s \mathcal{F} Ш = \sum_{k = -\infty}^\infty \mathcal{F} (\delta( x - k)) = \sum_{k = -\infty}^\infty e^{-2\pi i ks} FШ=k=−∞∑∞F(δ(x−k))=k=−∞∑∞e−2πiks
不符合一般的收敛，但对于分布仍然有意义

< F Ш , φ > = < Ш , F φ > = ∑ k = − ∞ ∞ F φ ( k ) <\mathcal{F}Ш,\varphi> = <Ш,\mathcal{F}\varphi> = \sum_{k = -\infty}^\infty\mathcal{F} \varphi(k) <FШ,φ>=<Ш,Fφ>=k=−∞∑∞Fφ(k)
引入泊松（poison）求和公式(后面证明)。 φ \varphi φ为速将函数，则
∑ k = − ∞ ∞ φ ( k ) = ∑ k = − ∞ ∞ F φ ( k ) \sum_{k = -\infty}^\infty \varphi(k) = \sum_{k = -\infty}^\infty \mathcal{F}\varphi(k) k=−∞∑∞φ(k)=k=−∞∑∞Fφ(k)
用这个来推导 F Ш \mathcal{F}Ш FШ

< F Ш , φ > = < Ш , F φ > = ∑ k = − ∞ ∞ F φ ( k ) = ∑ k = − ∞ ∞ φ ( k ) = < Ш , φ > <\mathcal{F}Ш,\varphi> = <Ш,\mathcal{F}\varphi> = \sum_{k = -\infty}^\infty\mathcal{F} \varphi(k) = \sum_{k = -\infty}^\infty \varphi(k) = <Ш,\varphi> <FШ,φ>=<Ш,Fφ>=k=−∞∑∞Fφ(k)=k=−∞∑∞φ(k)=<Ш,φ>
那么 F Ш p = ? \mathcal{F}Ш_p=? FШp=?
Ш p ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x − k p ) = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( p ( x p ) − k ) = 1 p ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x p − k ) = 1 p Ш ( x p ) \begin{aligned} Ш_p(x)&=\sum_{k = -\infty}^\infty \delta(x - kp) = \sum_{k = -\infty}^\infty \delta \left(p\left(\frac{x}{p} \right) -k\right)\\ &=\frac{1}{p} \sum_{k = -\infty}^\infty \delta \left(\frac{x}{p} -k\right) = \frac{1}{p} Ш\left( \frac{x}{p}\right)\end{aligned} Шp(x)=k=−∞∑∞δ(x−kp)=k=−∞∑∞δ(p(px)−k)=p1k=−∞∑∞δ(px−k)=p1Ш(px)

F Ш p = 1 p F [ Ш ( x p ) ] = 1 p p ( F Ш ) ( p x ) = Ш ( p x ) \mathcal{F}Ш_p= \frac{1}{p}\mathcal{F}\left[Ш\left( \frac{x}{p}\right) \right]=\frac{1}{p} p (\mathcal{F}Ш)(px)=Ш(px) FШp=p1F[Ш(px)]=p1p(FШ)(px)=Ш(px)
Ш ( p x ) = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( p x − k ) = 1 p ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x − k p ) = 1 p Ш 1 p ( x ) Ш(px) = \sum_{k = -\infty}^\infty \delta(px-k) = \frac{1}{p} \sum_{k = -\infty}^\infty \delta(x - \frac{k}{p})=\frac{1}{p} Ш_{\frac{1}{p} }(x) Ш(px)=k=−∞∑∞δ(px−k)=p1k=−∞∑∞δ(x−pk)=p1Шp1(x)
即 F Ш p = 1 p Ш 1 p ( x ) \mathcal{F}Ш_p=\frac{1}{p} Ш_{\frac{1}{p} }(x) FШp=p1Шp1(x)

泊松(poison)等式的证明，
∑ k = − ∞ ∞ φ ( k ) = ∑ k = − ∞ ∞ F φ ( k ) \sum_{k = -\infty}^\infty \varphi(k) = \sum_{k = -\infty}^\infty \mathcal{F}\varphi(k) k=−∞∑∞φ(k)=k=−∞∑∞Fφ(k)
证明：
将 φ \varphi φ周期延拓（变成周期为1）
Φ ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ φ ( x − k ) \Phi(x) = \sum_{k = -\infty}^\infty \varphi(x - k) Φ(x)=k=−∞∑∞φ(x−k)
一方面
Φ ( 0 ) = ∑ k = − ∞ ∞ φ ( − k ) = ∑ k = − ∞ ∞ φ ( k ) \Phi(0) = \sum_{k = -\infty}^\infty \varphi( - k) = \sum_{k = -\infty}^\infty \varphi( k) Φ(0)=k=−∞∑∞φ(−k)=k=−∞∑∞φ(k)
另一方面，展开成傅里叶级数
Φ ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ Φ ^ ( k ) e 2 π i k x \Phi(x) = \sum_{k = -\infty}^\infty \widehat{\Phi}(k) e^{2\pi i kx} Φ(x)=k=−∞∑∞Φ (k)e2πikx
Φ ^ ( k ) = F φ ( k ) \widehat{\Phi}(k) =\mathcal{F} \varphi(k) Φ (k)=Fφ(k)
故 Φ ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ F φ ( k ) e 2 π i k x \Phi(x) = \sum_{k = -\infty}^\infty \mathcal{F} \varphi(k) e^{2\pi i kx} Φ(x)=k=−∞∑∞Fφ(k)e2πikx
得到
Φ ( 0 ) = ∑ k = − ∞ ∞ F φ ( k ) \Phi(0) = \sum_{k = -\infty}^\infty \mathcal{F} \varphi(k) Φ(0)=k=−∞∑∞Fφ(k)
因此poison等式成立

回头来看晶体
ρ p ( x ) = ρ ( x ) ∗ Ш p ( x ) \rho_p(x) = \rho(x) * Ш_p(x) ρp(x)=ρ(x)∗Шp(x)
F ρ p = ( F ρ ) ( 1 p Ш 1 p ) = 1 p F ρ ( x ) ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x − k p ) = 1 p ∑ k = − ∞ ∞ ρ ( x ) δ ( x − k p ) = 1 p ∑ k = − ∞ ∞ ρ ( k p ) δ ( x − k p ) \begin{aligned} \mathcal{F} \rho_p &= \left(\mathcal{F} \mathcal{\rho}\right)\left(\frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}} \right)\\ &=\frac{1}{p} \mathcal{F} \rho(x) \sum_{k = -\infty}^\infty \delta\left(x -\frac{k}{p} \right)\\ &=\frac{1}{p} \sum_{k = -\infty}^\infty \rho(x) \delta\left(x -\frac{k}{p} \right)\\ &=\frac{1}{p} \sum_{k = -\infty}^\infty \rho \left( \frac{k}{p}\right) \delta\left(x -\frac{k}{p} \right) \end{aligned} Fρp=(Fρ)(p1Шp1)=p1Fρ(x)k=−∞∑∞δ(x−pk)=p1k=−∞∑∞ρ(x)δ(x−pk)=p1k=−∞∑∞ρ(pk)δ(x−pk)
测量这些间隔，它和原子距离成反比

采样于差值 sampling and interpolation

一些性质（关于 Ш Ш Ш）
1)采样性质
f ( x ) Ш p ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( k p ) δ ( x − k p ) f(x)Ш_p(x) = \sum_{k = -\infty}^\infty f(kp) \delta(x - kp) f(x)Шp(x)=k=−∞∑∞f(kp)δ(x−kp)
2)卷积性质
( f ∗ Ш p ) ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( x − k p ) \left(f*Ш_p \right)(x)=\sum_{k = -\infty}^\infty f(x - kp) (f∗Шp)(x)=k=−∞∑∞f(x−kp)
3)傅里叶变换性质
F Ш p = 1 p Ш 1 p \mathcal{F}Ш_p = \frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}} FШp=p1Шp1
F − 1 Ш p = 1 p Ш 1 p \mathcal{F}^{-1}Ш_p = \frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}} F−1Шp=p1Шp1

建立内插值问题
我们需要对一组离散数据进行插值，需要一些假设
在相等时间间隔内进行采样，很多种插值的可能（或拟合），拐弯越多，越不可能
一种比较好的方法
假设：把高于某个值的频率去掉，把注意力投向满足这种性质的函数上
对于一个有限带宽函数 f ( t ) f(t) f(t),如果当 ∣ s ∣ > ≥ p / 2 |s|>\ge p/2 ∣s∣>≥p/2 , F f ( s ） = 0 \mathcal{F}f(s） = 0 Ff(s）=0,对于某个 p p p成立
最小的值 p p p称为带宽（傅里叶变换是对称的）
对于有限带宽信号，可以完全解决内差值问题
根据测量值或采样值就可以得到函数的公式，用 ( t k ) (t_k) (tk)表示采样值， Ш Ш Ш函数的三个性质是推导的基础
如果原函数频谱为带宽 p p p，通过卷积将其周期化
F f ∗ Ш p \mathcal{F} f *Ш_p Ff∗Шp
为了得到原函数的变换
Π p ( F f ∗ Ш p ) = F f \Pi_p (\mathcal{F} f *Ш_p ) = \mathcal{F} f Πp(Ff∗Шp)=Ff
进行反变换，得
f ( t ) = F − 1 ( Π p ( F f ∗ Ш p ) ) = ( F − 1 Π p ) ∗ F − 1 ( F f ∗ Ш p ) = p   s i n c ( p t ) ∗ [ ( f ) ( 1 p Ш 1 p ) ] \begin{aligned}f(t) &=\mathcal{F}^{-1} \left( \Pi_p (\mathcal{F} f *Ш_p ) \right)\\ &= (\mathcal{F}^{-1} \Pi_p ) * \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F} f *Ш_p)\\ &=p \,sinc(pt) * \left[(f)\left(\frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}\right) \right] \end{aligned} f(t)=F−1(Πp(Ff∗Шp))=(F−1Πp)∗F−1(Ff∗Шp)=psinc(pt)∗[(f)(p1Шp1)]
后面部分
1 p f Ш 1 p ( t ) = 1 p f ( t ) ∑ k = − ∞ ∞ δ ( t − k p ) = 1 p ∑ k = − ∞ ∞ f ( k p ) δ ( t − k p ) \frac{1}{p}fШ_{\frac{1}{p}}(t)=\frac{1}{p} f(t) \sum_{k = -\infty}^\infty\delta \left(t - \frac{k}{p}\right) =\frac{1}{p} \sum_{k = -\infty}^\infty f\left(\frac{k}{p}\right)\delta \left(t - \frac{k}{p}\right) p1fШp1(t)=p1f(t)k=−∞∑∞δ(t−pk)=p1k=−∞∑∞f(pk)δ(t−pk)
则得
f ( t ) = p   s i n c ( p t ) ∗ ( 1 p ∑ k = − ∞ ∞ f ( k p ) δ ( t − k p ) ) = s i n c ( p t ) ∗ ( ∑ k = − ∞ ∞ f ( k p ) δ ( t − k p ) ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( k p ) s i n c ( p t ) ∗ δ ( t − k p ) ( 卷积线性性质 ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( k p ) s i n c ( p ( t − k p ) ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( k p ) s i n c ( p t − k ) \begin{aligned}f(t) &= p \,sinc(pt)* \left( \frac{1}{p} \sum_{k = -\infty}^\infty f\left(\frac{k}{p}\right)\delta \left(t - \frac{k}{p}\right) \right)\\ &=sinc(pt)*\left( \sum_{k = -\infty}^\infty f\left(\frac{k}{p}\right)\delta \left(t - \frac{k}{p}\right) \right)\\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty f\left(\frac{k}{p}\right)sinc(pt)* \delta \left(t - \frac{k}{p}\right)(卷积线性性质) \\ &=\sum_{k = -\infty}^\infty f\left(\frac{k}{p}\right) sinc\left(p \left(t - \frac{k}{p}\right) \right) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty f\left(\frac{k}{p}\right) sinc\left(pt - k\right)\end{aligned} f(t)=psinc(pt)∗(p1k=−∞∑∞f(pk)δ(t−pk))=sinc(pt)∗(k=−∞∑∞f(pk)δ(t−pk))=k=−∞∑∞f(pk)sinc(pt)∗δ(t−pk)(卷积线性性质)=k=−∞∑∞f(pk)sinc(p(t−pk))=k=−∞∑∞f(pk)sinc(pt−k)

这叫采样定理，也叫香农采样公式(Shannon sampling theorem)或者叫惠特克(Whittaker)采样公式
简单重述一遍
当 F f ( s ) = 0 , ∣ s ∣ ≥ p 2 \mathcal{F} f(s) = 0,|s| \ge \frac{p}{2} Ff(s)=0,∣s∣≥2p，即可得到
F f = Π p ( F f ∗ Ш p ) \mathcal{F} f =\Pi_p (\mathcal{F} f *Ш_p ) Ff=Πp(Ff∗Шp)
f ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( k p ) s i n c ( p t − k ) f(t) = \sum_{k = -\infty}^\infty f\left(\frac{k}{p}\right) sinc\left(pt - k\right) f(t)=k=−∞∑∞f(pk)sinc(pt−k)
就是说，频域中的周期化，转化成了时域中的采样 k / p k/p k/p为采样点，称 p p p为采样速率
p（每秒采样p次）
可以称为奈奎斯特（Nyquist）速率，p能够改变，仍然成立(p变得更大依然成立)，如果p降低，结构就不正确，因为频谱重叠。插值依靠无限点，对于实际应用则采光近似，当然有误差

一个信号不可能同时在频域和时域都受限制，即不可能都是紧集
证明：
F f ( s ) ≡ 0 , ∣ s ∣ ≥ p 2 \mathcal{F} f(s) \equiv 0,|s| \ge \frac{p}{2} Ff(s)≡0,∣s∣≥2p，那么 f ( t ) ̸ ≡ 0 , ∀ t > ∣ T ∣ f(t) \not{\equiv} 0,\forall t > |T| f(t)̸≡0,∀t>∣T∣
因为
F f = Π p ( F f ) \mathcal{F} f = \Pi_p (\mathcal{F} f) Ff=Πp(Ff)
f ( t ) = F − 1 F f = p   s i n c ( p t ) ∗ f ( t ) = p ∫ − ∞ ∞ s i n c ( p t − p x ) f ( x ) d x f(t) = \mathcal{F}^{-1} \mathcal{F} f=p \,sinc (pt) * f(t)\\ = p \int_{-\infty}^\infty sinc(pt - px) f(x) dx f(t)=F−1Ff=psinc(pt)∗f(t)=p∫−∞∞sinc(pt−px)f(x)dx
因为 s i n c sinc sinc无限长，故不能为0

接下来探讨混叠和插值关系
f ( t ) f(t) f(t)受限， F f ( s ) = 0 , ∣ s ∣ ≥ p / 2 , F f ≡ Π p ( F f ∗ Ш p ) \mathcal{F}f(s) = 0,|s| \ge p/2, \mathcal{F} f \equiv \Pi_p( \mathcal{F} f *Ш_p ) Ff(s)=0,∣s∣≥p/2,Ff≡Πp(Ff∗Шp)
如果采样速率 p p p取得太小，可以构造 F f ∗ Ш p \mathcal{F} f *Ш_p Ff∗Шp，但会产生重叠
记 g g g为采样速率过小，得到的原函数
g ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( k p ′ ) s i n c ( p ′ ( t − k p ′ ) ) g(t) = \sum_{k = -\infty}^\infty f\left( \frac{k}{p'} \right) sinc\left(p' \left( t - \frac{k}{p'}\right) \right) g(t)=k=−∞∑∞f(p′k)sinc(p′(t−p′k))
g g g和 f f f虽然不相等，但是 g ( k p ′ ) = f ( k p ′ ) g\left( \frac{k}{p'} \right) = f\left( \frac{k}{p'} \right) g(p′k)=f(p′k)
因为
g ( m p ′ ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( k p ′ ) s i n c ( m − k ) g\left(\frac{m}{p'} \right) = \sum_{k = -\infty}^\infty f\left(\frac{k}{p'} \right) sinc(m - k) g(p′m)=k=−∞∑∞f(p′k)sinc(m−k)
而
s i n c ( m − k ) = { 0 ,   m ≠ k 1 ,   m = k sinc(m-k)=\begin{cases}0,\,m\ne k\\ 1,\, m = k \end{cases} sinc(m−k)={0,m̸=k1,m=k
所以 g ( k p ′ ) = f ( k p ′ ) g\left( \frac{k}{p'} \right) = f\left( \frac{k}{p'} \right) g(p′k)=f(p′k)
说 g g g为 f f f的混叠
Example
f ( t ) = cos ⁡ ( 9 π 2 t ) f(t) = \cos(\frac{9\pi}{2} t) f(t)=cos(29πt)
F f = 1 2 ( δ ( s + 9 4 ) + δ ( s − 9 4 ) ) \mathcal{F} f=\frac{1}{2} \left(\delta\left(s +\frac{9}{4} \right)+\delta\left(s -\frac{9}{4} \right) \right) Ff=21(δ(s+49)+δ(s−49))
要取 p > 9 2 p>\frac{9}{2} p>29才能与 Ш p Ш_p Шp卷积不重叠,如果 p p p太小，比如 p = 1 p=1 p=1
那么 Π 1 ( F f ∗ Ш 1 ) = Π 1 ( 1 2 ( δ ( s + 9 4 ) + δ ( s − 9 4 ) ) ∗ Ш 1 ) = 1 2 ( δ ( s + 1 4 ) + δ ( s − 1 4 ) ) \begin{aligned}\Pi_1\left(\mathcal{F}f * Ш_1 \right)&=\Pi_1\left(\frac{1}{2} \left(\delta\left(s +\frac{9}{4} \right)+\delta\left(s -\frac{9}{4} \right) \right) * Ш_1 \ \right)\\ &=\frac{1}{2} \left(\delta\left(s +\frac{1}{4} \right)+\delta\left(s -\frac{1}{4} \right) \right) \end{aligned} Π1(Ff∗Ш1)=Π1(21(δ(s+49)+δ(s−49))∗Ш1 )=21(δ(s+41)+δ(s−41))
做逆变换 F − 1 Π 1 ( F f ∗ Ш 1 ) = 1 2 F − 1 ( δ ( s + 1 4 ) + δ ( s − 1 4 ) ) = cos ⁡ ( π t 2 ) \begin{aligned} \mathcal{F}^{-1} \Pi_1 \left( \mathcal{F}f * Ш_1 \right) &=\frac{1}{2}\mathcal{F}^{-1} \left(\delta\left(s +\frac{1}{4} \right)+\delta\left(s -\frac{1}{4} \right) \right)\\ &=\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) \end{aligned} F−1Π1(Ff∗Ш1)=21F−1(δ(s+41)+δ(s−41))=cos(2πt)
当 t ∈ Z t\in \mathbb{Z} t∈Z时， cos ⁡ ( π t 2 ) = cos ⁡ ( 9 4 π t ) \cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) = \cos\left(\frac{9}{4}\pi t\right) cos(2πt)=cos(49πt)

音乐上的采样，离散变换

人类大概能听上限为20000Hz的声音。采样频率超过 40000 H z 40000Hz 40000Hz的速率的声音，人就分不出差别。实际上CD的采样速率为 44.1 k H z > 40000 H z 44.1kHz>40000Hz 44.1kHz>40000Hz
混叠（低频成分变成高频成分，高频变低频的重叠）

从连续向离散DFT（离散傅里叶变换）过度
三部分
f ( t ) f(t) f(t)是连续的
1)合理的离散逼近 f ( t ) f(t) f(t)
2)合理的离散啊傅里叶变换
3)找到一种从 f f f的离散形式到傅里叶变换的离散变换
将它建立在采样的"换用"上
做一些假设
f ( t ) f(t) f(t)有限，限制在 0 ≤ t ≤ L 0\le t \le L 0≤t≤L
F f ( s ) \mathcal{F}f(s) Ff(s)限制在 0 ≤ s ≤ 2 B 0 \le s \le 2 B 0≤s≤2B(之所以是2B而不是B是为了索引方便)
区间外的值忽略不计
为了得到一个可靠的近似（离散近似），以 1 2 B \frac{1}{2B} 2B1的间隔进行采样（频率为2B）
取采样点为 N = 2 B L N = 2BL N=2BL,样本 t 0 = 0 , t 1 = 1 2 B , ⋯   , t N − 1 = N − 1 2 B t_0 = 0,t_1 = \frac{1}{2B},\cdots,t_{N-1} = \frac{N-1}{2B} t0=0,t1=2B1,⋯,tN−1=2BN−1,共N个点
采样结果为
f d i s c r e t e = f ( t ) ∑ k = 0 N − 1 δ ( t − t k ) = ∑ k = 0 N − 1 f ( t k ) δ ( t − t k ) f_{discrete}=f(t) \sum_{k = 0}^{N- 1}\delta(t-t_k)= \sum_{k = 0}^{N- 1} f(t_k)\delta(t-t_k) fdiscrete=f(t)k=0∑N−1δ(t−tk)=k=0∑N−1f(tk)δ(t−tk)
它的傅里叶变换是
F f d i s c r e t e = ∑ k = 0 N − 1 f ( t k ) e − 2 π i s t k \mathcal{F} f_{discrete} = \sum_{k = 0}^{N- 1}f(t_k) e^{-2\pi i st_k} Ffdiscrete=k=0∑N−1f(tk)e−2πistk
仍为连续函数，怎么得到离散点。怎样在频域采样
对频域以 1 L \frac{1}{L} L1的间隔采样，共 2 B L = N 2BL=N 2BL=N个点
s 0 = 0 , s 1 = 1 L , ⋯   , s N − 1 = N − 1 L s_0 = 0,s_1 = \frac{1}{L},\cdots, s_{N-1} = \frac{N - 1}{L} s0=0,s1=L1,⋯,sN−1=LN−1
( F f d i s c r e t e ) ∑ k = 0 N − 1 δ ( s − s k ) = ( ∑ k = 0 N − 1 f ( t k ) e − 2 π i s t k ) ( ∑ k = 0 N − 1 δ ( s − s k ) ) = ∑ k , m = 0 N − 1 f ( t k ) e − 2 π i s m t k δ ( s − s m ) (\mathcal{F} f_{discrete}) \sum_{k = 0}^{N- 1} \delta(s - s_k) = \left(\sum_{k = 0}^{N- 1}f(t_k) e^{-2\pi i st_k}\right)\left( \sum_{k = 0}^{N- 1} \delta(s - s_k) \right)\\ =\sum_{k,m = 0}^{N- 1} f(t_k) e^{-2\pi i s_mt_k} \delta(s - s_m) (Ffdiscrete)k=0∑N−1δ(s−sk)=(k=0∑N−1f(tk)e−2πistk)(k=0∑N−1δ(s−sk))=k,m=0∑N−1f(tk)e−2πismtkδ(s−sm)
定这些值为
F ( s m ) = ∑ k = 0 N − 1 f ( t k ) e − 2 π i s m t k , m = 0 , ⋯   , N − 1 F(s_m)=\sum_{k=0}^{N-1} f(t_k) e^{-2\pi i s_m t_k},m=0,\cdots,N-1 F(sm)=k=0∑N−1f(tk)e−2πismtk,m=0,⋯,N−1
把这些点，作为 F f \mathcal{F} f Ff的近似，准确来说是 F f d i s c r e t e \mathcal{F} f_{discrete} Ffdiscrete的近似。
它也是连续傅里叶变换的离散形式(积分近似和归一化系数)，解释如下
首先依照傅里叶变换 F f ( s ) ∫ 0 L e − 2 π i s t f ( t ) d t \mathcal{F} f(s) \int_0^L e^{-2\pi i st} f(t) dt Ff(s)∫0Le−2πistf(t)dt
也就有
F f ( s m ) ∫ 0 L e − 2 π i s m t f ( t ) d t \mathcal{F} f(s_m) \int_0^L e^{-2\pi i s_mt} f(t) dt Ff(sm)∫0Le−2πismtf(t)dt
利用积分的黎曼和近似
F f ( s m ) = ∫ 0 L e − 2 π i s m t f ( t ) d t ≈ ∑ k = 0 N − 1 f ( t k ) e − 2 π i s m t k Δ t = 1 2 B ∑ k = 0 N − 1 f ( t k ) e − 2 π i s m t k = 1 2 B F ( s m ) \begin{aligned} \mathcal{F} f(s_m) &=\int_0^L e^{-2\pi i s_mt} f(t) dt\approx \sum_{k=0}^{N-1}f(t_k)e^{-2\pi i s_mt_k} \Delta t \\ &= \frac{1}{2B} \sum_{k=0}^{N-1}f(t_k)e^{-2\pi i s_mt_k} = \frac{1}{2B} F(s_m)\end{aligned} Ff(sm)=∫0Le−2πismtf(t)dt≈k=0∑N−1f(tk)e−2πismtkΔt=2B1k=0∑N−1f(tk)e−2πismtk=2B1F(sm)

为了方便，用索引代替变量，我们记
f = ( f [ 0 ] , ⋯   , f [ N − 1 ] ) f = (f[0],\cdots,f[N-1]) f=(f[0],⋯,f[N−1])
F = ( F [ 0 ] , ⋯   , F [ N − 1 ] ) F=(F[0],\cdots,F[N-1]) F=(F[0],⋯,F[N−1])

回顾连续的情况，时域和频域的情况，一个分散，另一个就聚集，反之亦然。在离散的情况，也是类似的。N个抽样点 t 0 , ⋯   , t N − 1 t_0,\cdots,t_{N-1} t0,⋯,tN−1,间隔为 Δ t \Delta t Δt
同样在时域 s 0 , ⋯   , s N − 1 s_0,\cdots,s_{N-1} s0,⋯,sN−1间隔为 Δ s \Delta s Δs
{ N Δ t = L N Δ s = 2 B 2 B L = N ⇒ Δ t Δ s = 1 N \begin{cases}N\Delta t = L \\ N\Delta s = 2B\\ 2BL=N \end{cases} \Rightarrow \Delta t \Delta s = \frac{1}{N} ⎩⎪⎨⎪⎧NΔt=LNΔs=2B2BL=N⇒ΔtΔs=N1
如果采样时确定 Δ t \Delta t Δt和 N N N，么 Δ s \Delta s Δs也就确定了。即频域的分辨率的精度确定，好坏由 Δ t \Delta t Δt和 N N N确定
我们让离散情况的公式与连续的情况相似
将展示复指数也源于离散信号（复指数向量）
记
ω = ( 1 , e 2 π i / N , e 2 π i 2 / N , ⋯   , e 2 π i ( N − 1 ) / N ) , ω [ m ] = e 2 π i m / N \omega = (1,e^{2\pi i /N},e^{2\pi i 2/N},\cdots,e^{2\pi i (N-1)/N}),\omega[m] = e^{2\pi i m/N} ω=(1,e2πi/N,e2πi2/N,⋯,e2πi(N−1)/N),ω[m]=e2πim/N
定义 ω \omega ω的幂次
ω n = ( 1 , e 2 π i n / N , e 2 π i 2 n / N , ⋯   , e 2 π i n ( N − 1 ) / N ) \omega^n = (1,e^{2\pi i n/N},e^{2\pi i 2n/N},\cdots,e^{2\pi i n(N-1)/N}) ωn=(1,e2πin/N,e2πi2n/N,⋯,e2πin(N−1)/N)
我们可以把DFT记为
F f [ m ] = ∑ n = 1 N − 1 f [ n ] ω − n [ m ] \mathcal{F} f[m] = \sum_{n = 1}^{N- 1} f[n] \omega^{-n} [m] Ff[m]=n=1∑N−1f[n]ω−n[m]
或者
F f = ∑ n = 1 N − 1 f [ n ] ω − n \mathcal{F} f= \sum_{n = 1}^{N- 1} f[n] \omega^{-n} Ff=n=1∑N−1f[n]ω−n

有些需要注意
1)输入和输出的周期（后面介绍）
连续和离散的情况还是要注意的。DFT的定义迫使我们把输入 f f f和输出 F F F不仅作为 0 − N 0-N 0−N的离散数值，而是周期为N的离散函数。这是因为 ω \omega ω本身是周期为N的复向量
2)离散复指数的正交性
如果 k ≠ l k\ne l k̸=l，则 ω k \omega^k ωk和 ω l \omega^l ωl正交
ω k ⋅ ω l = ∑ n = 0 N − 1 ω k [ n ] ω l [ n ] ‾ = ∑ n = 0 N − 1 e 2 π i k n / N e − 2 π i l n / N = ∑ n = 0 N − 1 e 2 π i ( k − l ) n / N = 1 − ( e 2 π i ( k − l ) / N ) N 1 − e 2 π i ( k − l ) / N = 0 \begin{aligned}\omega^k \cdot \omega^l &= \sum_{n=0}^{N-1}\omega^k[n] \overline{\omega^l[n]}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i k n /N} e^{-2\pi i ln/N}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i (k - l)n/N}\\ &=\dfrac{1-\left(e^{2\pi i (k - l)/N} \right)^N}{1 - e^{2\pi i (k - l)/N}} \\ &= 0 \end{aligned} ωk⋅ωl=n=0∑N−1ωk[n]ωl[n]=n=0∑N−1e2πikn/Ne−2πiln/N=n=0∑N−1e2πi(k−l)n/N=1−e2πi(k−l)/N1−(e2πi(k−l)/N)N=0

∣ ω k ∣ 2 = N |\omega^k|^2=N ∣ωk∣2=N，不是标准正交的，许多公式引入 N N N和 1 N \frac{1}{N} N1就是因为这个

DFT逆变换
F − 1 F = 1 N ∑ n = 0 N − 1 f [ n ] ω n \mathcal{F}^{-1} F = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} f[n] \omega^n F−1F=N1n=0∑N−1f[n]ωn

必须证明 F F − 1 f = f , F − 1 F f = f \mathcal{F}\mathcal{F}^{-1} f = f,\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f = f FF−1f=f,F−1Ff=f
直接利用对应的公式代入就可以证明

离散傅里叶变换及其性质

将离散和连续的情况联系（不同的地方比相同的要少）
特殊情形
F f [ 0 ] = ∑ n = 0 N − 1 f [ k ] ω − n [ 0 ] = ∑ n = 0 N − 1 f [ k ] \mathcal{F} f[0] = \sum_{n = 0}^{N- 1} f[k] \omega^{-n} [0] = \sum_{n = 0}^{N- 1}f[k] Ff[0]=n=0∑N−1f[k]ω−n[0]=n=0∑N−1f[k]
F f ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t \mathcal{F} f(0) = \int_{-\infty}^\infty f(t) d t Ff(0)=∫−∞∞f(t)dt
两个特殊信号
一个是 1 = ( 1 , ⋯   , 1 ) \mathcal{1}=(1,\cdots,1) 1=(1,⋯,1)
另一个是离散 δ \delta δ函数 δ 0 = ( 1 , 0 , ⋯   , 0 ) \delta_0 = (1,0,\cdots,0) δ0=(1,0,⋯,0), δ k = ( 0 , ⋯   , 1 , 0 , ⋯   , 1 ) \delta_k = (0,\cdots,1,0,\cdots,1) δk=(0,⋯,1,0,⋯,1)第k个位置为1
F δ 0 = ∑ n = 0 N − 1 δ 0 [ n ] ω − n = ( 1 , 1 , ⋯   , 1 ) = 1 \mathcal{F} \delta_0 = \sum_{n = 0}^{N- 1} \delta_0 [n] \omega^{-n} = (1,1,\cdots,1) = \mathcal{1} Fδ0=n=0∑N−1δ0[n]ω−n=(1,1,⋯,1)=1
和连续的情形一样，同样
F δ k = ∑ n = 0 N − 1 δ k [ n ] ω − n = ω − k \mathcal{F} \delta_k = \sum_{n = 0}^{N- 1} \delta_k[n] \omega^{-n}=\omega^{-k} Fδk=n=0∑N−1δk[n]ω−n=ω−k
F ω k = N δ k \mathcal{F} \omega^k = N\delta_k Fωk=Nδk
和连续的差了一个系数N
从稍微不同的角度了解DFT。将DFT看做一个矩阵矩阵变换，即乘以一个矩阵
F f ] n ] = ∑ n = 0 N − 1 f [ n ] ω − n [ m ] \mathcal{F} f]n] = \sum_{n = 0}^{N- 1} f[n] \omega^{-n} [m] Ff]n]=n=0∑N−1f[n]ω−n[m]
写成矩阵形式为
[ F f [ 0 ] F f [ 1 ] ⋮ F f [ N − 1 ] ] = [ 1 1 ⋯ 1 1   ω − 1 ⋯ ω − ( N − 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 ω − ( N 1 ) ⋯ ω − ( N − 1 ) ( N − 1 ) ] [ f [ 0 ] ⋮ f [ N − 1 ] ] \begin{bmatrix} \mathcal{F} f[0]\\\mathcal{F} f[1]\\ \vdots\\\mathcal{F} f[N-1]\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &1 &1 &\cdots &1 \\ &1\, &\omega^{-1} &\cdots &\omega^{-(N-1)} \\ &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ &1 &\omega^{-(N_1)} &\cdots &\omega^{-(N-1)(N-1)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f[0]\\ \vdots \\ f[N-1] \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡Ff[0]Ff[1]⋮Ff[N−1]⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11⋮11ω−1⋮ω−(N1)⋯⋯⋱⋯1ω−(N−1)⋮ω−(N−1)(N−1)⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎡f[0]⋮f[N−1]⎦⎥⎤
F H F = F F H = N I \mathcal{F}^H \mathcal{F} = \mathcal{F} \mathcal{F} ^H = NI FHF=FFH=NI
所以 F − 1 = 1 N F H \mathcal{F} ^{-1}= \frac{1}{N}\mathcal{F} ^H F−1=N1FH
计算需要 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)次运算。有没有更快的算法？有的，那就是FFT（后面讨论）

讨论DFT的性质
必须考虑DFT 的输入和输出具有周期N，这是由于 ω \omega ω的周期性。因为可以看成一系列 ω \omega ω的次数相加（线性组合），在连续情况下是没有限制的
①周期性简单但有用的结果是索引的独立性（即无需考虑索引），从哪个位置开始都可以
②对偶性，定义反转信号 f − [ n ] = f [ − n ] f^-[n] = f[-n] f−[n]=f[−n]
则
F ( f − ) = ( F f ) − \mathcal{F}(f^-) = (\mathcal{F}f)^- F(f−)=(Ff)−
F F f = N f − \mathcal{F}\mathcal{F}f = Nf^- FFf=Nf−
和连续不一样多了个N

FFT（Fast Fourier Transform）的主要思想

事实上存在一系列的FFT，针对不同的问题而设计
时间复杂度的降低 O ( n 2 ) ⟶ O ( n l o g n ) O(n^2) \longrightarrow O(nlogn) O(n2)⟶O(nlogn)
主要发觉DFT矩阵的特征（复指数的特征）
一种精就是将DFT矩阵鞋好吃呢跟另外一种一些列简单矩阵（有许多0）
通过原始公式推导
F f [ m ] = ∑ n = 0 N − 1 f [ n ] ω − n m \mathcal{F} f[m] = \sum_{n = 0}^{N-1} f[n] \omega^{-nm} Ff[m]=n=0∑N−1f[n]ω−nm
把和分成奇偶指数形式，是为了将一个N阶DFT写成两个N/2DFT的组合
①假设N为2的幂次（当不是的时候，有一些方法处理，比如0填充）
用 ω [ p , q ] \omega[p,q] ω[p,q]表示 e 2 π i q / p e^{2\pi i q/p} e2πiq/p
ω [ p , q 1 + q 2 ] = ω [ p , q 1 ] + ω [ p , q 2 ] \omega[p,q_1+q_2]=\omega[p,q_1]+\omega[p,q_2] ω[p,q1+q2]=ω[p,q1]+ω[p,q2]
ω [ N , − n m ] = ω − n m = e − 2 π i n m / N \omega[N,-nm] = \omega^{-nm}=e^{-2\pi i nm/N} ω[N,−nm]=ω−nm=e−2πinm/N
ω [ N 2 , − n m ] = e − 2 π i n m / ( N / 2 ) = ω [ N , − 2 n m ] \omega\left[\frac{N}{2},-nm\right] = e^{-2\pi i n m / (N/2)} = \omega[N,-2nm] ω[2N,−nm]=e−2πinm/(N/2)=ω[N,−2nm]
ω [ N , − ( 2 n + 2 ) m ] = ω [ N , − 2 n m − m ] = ω [ N , − 2 n m ] ω [ N , − m ] = ω [ N 2 , − n m ] ω [ N , − m ] \begin{aligned}\omega[N,-(2n+2)m]&=\omega[N,-2nm-m] \\ &=\omega[N,-2nm]\omega[N,-m] \\ &=\omega\left[\frac{N}{2},-nm\right] \omega[N,-m]\end{aligned} ω[N,−(2n+2)m]=ω[N,−2nm−m]=ω[N,−2nm]ω[N,−m]=ω[2N,−nm]ω[N,−m]
把这些代入原公式
F f [ m ] = ∑ n = 0 N − 1 f [ n ] ω [ N , − n m ] = ( e v e n   p a r t ) + ( o d d   p a r t ) = ∑ n = 0 N 2 − 1 f [ 2 n ] ω [ N , − 2 n m ] + ∑ n = 0 N 2 − 1 f [ 2 n + 1 ] ω [ N , − ( 2 n + 1 ) m ] = ∑ n = 0 N 2 − 1 f [ 2 n ] ω [ N 2 , − n m ] + ∑ n = 0 N 2 − 1 f [ 2 n + 1 ] ω [ N 2 , − n m ] ω [ N , − m ] ⎵ i n d e p e n d e n t   o f   n = ∑ n = 0 N 2 − 1 f [ 2 n ] ω [ N 2 , − n m ] + ω [ N , − m ] ∑ n = 0 N 2 − 1 f [ 2 n + 1 ] ω [ N 2 , − n m ] \begin{aligned}\mathcal{F}f[m] &= \sum_{n = 0} ^{N - 1} f[n] \omega[N,-nm]\\ &=(even\, part) + (odd\, part)\\ &=\sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}-1} f[2n] \omega[N,-2nm] +\sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}-1} f[2n+1] \omega[N,-(2n+1)m]\\ &=\sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}-1} f[2n] \omega\left[\frac{N}{2},-nm\right] + \sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}-1} f[2n+1]\omega\left[\frac{N}{2},-nm\right] \underbrace{\omega[N,-m]}_{independent\,of\,n}\\ &=\sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}-1}f[2n] \omega\left[\frac{N}{2},-nm\right] + \omega[N,-m]\sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}-1} f[2n+1]\omega\left[\frac{N}{2},-nm\right] \end{aligned} Ff[m]=n=0∑N−1f[n]ω[N,−nm]=(evenpart)+(oddpart)=n=0∑2N−1f[2n]ω[N,−2nm]+n=0∑2N−1f[2n+1]ω[N,−(2n+1)m]=n=0∑2N−1f[2n]ω[2N,−nm]+n=0∑2N−1f[2n+1]ω[2N,−nm]independentofn ω[N,−m]=n=0∑2N−1f[2n]ω[2N,−nm]+ω[N,−m]n=0∑2N−1f[2n+1]ω[2N,−nm]
最后式子可以看成两部分分别做傅里叶变换
到这里还不能减少计算量，通过分析发现前 N / 2 N/2 N/2项和后 N / 2 N/2 N/2项重复计算
当 m ≤ N 2 − 1 m \le \frac{N}{2} - 1 m≤2N−1
F N f [ m ] = F N / 2 f e v e n [ m ] + ω [ N , − m ] F N / 2 f o d d [ m ] \mathcal{F}_N f[m] = \mathcal{F}_{N/2}f_{even}[m] + \omega[N,-m] \mathcal{F}_{N/2} f_{odd}[m] FNf[m]=FN/2feven[m]+ω[N,−m]FN/2fodd[m]
当 m > N 2 − 1 m > \frac{N}{2} - 1 m>2N−1，记为 m + N 2 m+\frac{N}{2} m+2N
F N f [ m + N 2 ] = ∑ n = 0 N 2 − 1 f [ 2 n ] ω [ N 2 , − n ( m + N 2 ) ] + ω [ N , − ( m + N 2 ) ] ∑ n = 0 N 2 − 1 f [ 2 n + 1 ] ω [ N 2 , − n ( m + N 2 ) ] \begin{aligned}\mathcal{F}_N f\left[m + \frac{N}{2}\right] &= \sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}-1} f[2n] \omega\left[\frac{N}{2} ,-n\left(m+\frac{N}{2}\right) \right] \\ &+\omega\left[N,- \left(m+\frac{N}{2}\right) \right]\sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}-1} f[2n+1] \omega\left[\frac{N}{2} ,-n\left(m+\frac{N}{2}\right) \right]\end{aligned} FNf[m+2N]=n=0∑2N−1f[2n]ω[2N,−n(m+2N)]+ω[N,−(m+2N)]n=0∑2N−1f[2n+1]ω[2N,−n(m+2N)]
而由于 ω [ N 2 , − ( − n N 2 ) ] = 1 \omega \left[\frac{N}{2},-\left(\frac{-nN}{2} \right) \right] = 1 ω[2N,−(2−nN)]=1，以及
ω [ N , − n ( m + N 2 ) ] = − ω [ N , − m ] \omega\left[N ,-n\left(m+\frac{N}{2}\right) \right] = -\omega[N,-m] ω[N,−n(m+2N)]=−ω[N,−m]
得到
F N f [ m + N 2 ] = ∑ n = 0 N 2 − 1 f [ 2 n ] ω [ N 2 , − n m ] − ω [ N , − m ] ∑ n = 0 N 2 − 1 f [ 2 n + 1 ] [ N 2 , − n m ] \mathcal{F}_N f\left[m + \frac{N}{2}\right] = \sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}-1} f[2n] \omega \left[\frac{N}{2},-nm\right]-\omega[N,-m] \sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}-1}f[2n+1] \left[\frac{N}{2},-nm\right] FNf[m+2N]=n=0∑2N−1f[2n]ω[2N,−nm]−ω[N,−m]n=0∑2N−1f[2n+1][2N,−nm]
也就是 F N f [ m + N 2 ] = F N / 2 f e v e n [ m ] − ω [ N , − m ] F N / 2 f o d d [ m ] \mathcal{F}_N f\left[m + \frac{N}{2}\right] = \mathcal{F}_{N/2}f_{even}[m] - \omega[N,-m] \mathcal{F}_{N/2} f_{odd}[m] FNf[m+2N]=FN/2feven[m]−ω[N,−m]FN/2fodd[m]