CSP-何以包邮？（从背包问题的角度出发）

题目描述

新学期伊始，适逢顿顿书城有购书满 x 元包邮的活动，小 P 同学欣然前往准备买些参考书。
一番浏览后，小 P 初步筛选出 n 本书加入购物车中，其中第 i 本（1≤i≤n）的价格为 ai 元。
考虑到预算有限，在最终付款前小 P 决定再从购物车中删去几本书（也可以不删），使得剩余图书的价格总和 m 在满足包邮条件（m≥x）的前提下最小。

试帮助小 P 计算，最终选购哪些书可以在凑够 x 元包邮的前提下花费最小？

输入格式

从标准输入读入数据。

输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 n 和 x，分别表示购物车中图书数量和包邮条件。

接下来输入 n 行，其中第 i 行（1≤i≤n）仅包含一个正整数 ai，表示购物车中第 i 本书的价格。输入数据保证 n 本书的价格总和不小于 x。

输出格式

输出到标准输出。

仅输出一个正整数，表示在满足包邮条件下的最小花费。

这道题，我刚开始是使用DFS暴力递归来枚举所有可能的情况，不出我所料，只得了70分；以下是我得分70的代码：

# include <iostream>
# include <algorithm>
# include <vector>
# define maxn 300010
using namespace std;
int n, x;
int minx = maxn;
vector<int>book;
int visit[35] = { 0 };
void DFS(int sum, int t)
{if (sum >= x) {minx = min(minx, sum);return;}for (int i = t; i < book.size(); i++) {if (visit[i] == 0) {visit[i] = 1;DFS(sum + book[i], i);visit[i] = 0;}}
}
int main()
{cin >> n >> x;int y;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> y;book.push_back(y);}DFS(0,0);cout << minx << endl;return 0;
}

之后，我开始思考更好的解决方案。既然不能通过枚举所有的情况来找到答案，那肯定是有一种途径来找到最优解，所以自然的联想到了dp（动态规划）；我们再来看一下这个问题，寻找超过包邮条件x的最小数字组合。可以转化为先求书的总价sum，再用sum减去x得y，问题就变成了寻找不超过y（达到包邮条件）的最大数字组合，再用总价减去这个数字组合，即可得到最终答案。寻找不超过y的最大数字组合，这种类型就是典型的背包问题。这里，我们来简单回顾一下背包问题的几个核心思想：

子问题：当前背包容量j，前i个物品最佳组合对应的价值
递推关系式：v[i]：各商品价值 w[i]：各商品重量

j<w[i]: f[i][j]=f[i-1][j]
j>w[i]: f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i])

以样例1为例：

i/j	```	20	```	60	```	90	```	130
0	```	0	```	0	```	0	```	0
1（20）	```	20	```	20	```	20	```	20
2（90）	```	20	```	20	```	90	```	110
3（60）	```	20	```	60	```	90	```	110
4（60）	```	20	```	60	```	90	```	120

其中，130就是用书的总价230减去达到包邮条件所需的100得到的，然后我们要寻找不超过130的最大数字组合，类比一下背包问题，130就相当于背包的容量。

以下是得分100的代码：

# include <iostream>
# include <algorithm>
# define maxn 300010
using namespace std;
int n, x;
int v[40] = { 0 };
int f[40][maxn] = { {0} };
int main()
{cin >> n >> x;int sum = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> v[i];sum += v[i];}int y = sum - x;for (int i = 1; i <= n; i++) {  for (int j = 1; j <= y; j++) {f[i][j] = f[i - 1][j];//背包问题的核心公式if (j >= v[i]) {f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + v[i]);//背包问题的核心公式}}}int r = sum - f[n][y];cout << r << endl;return 0;
}

以上是我的个人见解，欢迎大家观看指正。