码龄0.5年的python成长之路（11）：找素数的模块 观察素数
素数定义：只能被1和自己整除的数。
关于素数，有以下有趣的事实：
- 素数的数量有无限多。
- 素数的分布。随着X的增大，素数的分布越来越稀疏；第n个素数渐进于logn；随机整数 X是素数的概率是1/logX。 （下面证明这是错的） - 对于任意正整数n，存在至少n个连续的正合数。
有大量关于素数的猜想，著名的有：
- 波特兰猜想。对任意给定的正整数n > 1，存在一个素数p，使得n < p < 2n。已经证明。
- 孪生素数猜想。存在无穷多的形如p和p+2的素数对。
- 素数等差数列猜想。对任意正整数n >2，有一个由素数组成的长度为n的等差数列。
- 哥德巴赫猜想。每个大于2的正偶数可以写成两个素数的和。这是最有名的素数猜想，也是最令人头疼的猜想，已经困扰数学家3世纪。至今为止，最好的结果仍然是陈景润1966年做出的。
1. 尝试重新写寻找素数的模块
- 生成1到100的数列表：
import numpy as npnums = np.arange(1, 101)
- 得到：
array([ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26,27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52,53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65,66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78,79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91,92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100])
- 写个识别nums列表中素数的列表的封装函数：
oddlist = []
for i in nums: # 开始判断每个数是不是素数if i == 1:continue # 1不被定义为素数if i == 2 or i == 3 or i == 5:oddlist.append(i) # 2,3,5 直接添加进去else:for j in oddlist:if i % j == 0: # 遇到可以被苏素数整除，则停止循环breakelse: # 否则一直迭代while j is oddlist[-1]: # 直到循环到最后一个j，if i % j != 0: # 并且i被最后一个j也不能整除，证明是素数oddlist.append(i) # 添加进素数列表continue # 继续循环
- 我们来print一下 oddlist 看看函数是否正确
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
# len(oddlist) = 25
- 封装成一个函数
def find_odd(nums):oddlist = []for i in nums: # 开始判断每个数是不是素数if i == 1:continue # 1不被定义为素数if i == 2 or i == 3 or i == 5:oddlist.append(i) # 2,3,5 直接添加进去else:for j in oddlist:if i % j == 0: # 遇到可以被苏素数整除，则停止循环breakelse: # 否则一直迭代while j is oddlist[-1]: # 直到循环到最后一个j，if i % j != 0: # 并且i被最后一个j也不能整除，证明是素数oddlist.append(i) # 添加进素数列表continue # 继续循环return oddlist
2. 来观察一下10万整数内的素数数量的分布
- 10万个数用上诉模块算可以十几秒出结果；
- 我们用matplotlib库来做hist图，可以观察到素数量。
- 图片如上，代码如下：
import matplotlib.pyplot as plt plt.figure(figsize=(16, 4))
plt.subplot(121)
plt.hist(oddlist, bins=100, log=True)
plt.title('oddlist hist with log', fontsize=14)
plt.subplot(122)
plt.hist(oddlist, bins=100, color='purple', alpha=0.5, log=False)
plt.title('oddlist hist actual amount', fontsize=14)
plt.show()
- 可以观察到，就算是用log来拉大数的差别，我们看到越往大的数走，同一个数值区间内可以发现的素数量虽有浮动、大体在稳定的范围内。
3. 孪生素数猜想
- 孪生素数猜想：存在无穷多的形如p和p+2的素数对。
- 我们至少可以在这10万个数据当中看看有多少，用程序试试看。
- 遇到数字对，我们只记录左值，也就是p，那么数组的长度就是“有多少对”满足孪生素数猜想的数字。
- 代码如下：
twinleft = []
for i in oddlist:if i == oddlist[-1]:breakelif int(i) + 2 == oddlist[oddlist.index(i) + 1]:twinleft.append(i)continue
len(twinleft)
- 结果：
从1到10万的整数中：有1224对满足孪生素数猜想的数字。
- 我们还可以看看p的分布（代码就不写了，直接上图）
- 这“对儿数”，还真像是对数（log）分布了。
暂时到这儿吧，下次见
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