研究亥姆霍兹线圈轴线磁场分布（3）

【实验目的】

1.测量圆线圈轴线上的磁感应强度;

2.测量亥姆霍兹线圈轴线上的磁场分布;

3.了解亥姆霍兹线圈磁场的特点以及磁场叠加原理;

4.学习使用霍尔效应法测量磁场。

【实验原理】

磁场起源于电荷的运动，通常用磁感应强度B(包括方向和大小)表述磁场性质，其大小与介质性质有关，而且是空间位置的函数。

1.通电圆线圈轴线上的磁场分布

设一圆线圈如图1-1所示,通有电流I，线圈半径为R。圆线圈轴线上任意一点P的磁感应强度B(x)方向垂直于线圈平面，并按右手法则沿轴正向，根据毕奥-萨伐尔定律(适用于直导线)

$B=\frac{\mu _{0}}{4\pi }\frac{Idlcos\alpha }{r^{2}}$

在上式中 $B$ 为在线圈轴线上距离线圈中点x处一点

$I$ 为线圈所通电流量

$\mu_{0}$ 为真空磁导率，本题中取 $\mu_{0}=4\pi *10^{-7}H/m$

$\alpha$ 为 $Idl$ 与电流元的夹角

对于图1-1通电轴线圈：

$B=\int dBcos\theta =\frac{\mu {_{0}}^{} I}{4\pi }\int \frac{dl}{r^{2}}cos\theta =\frac{\mu {_{0}}^{} IR}{2x^{2} }sin^{2}\theta cos\theta$ ①

其中

$sin\theta =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+{R_{}^{2}}}}$ ②

$cos\theta =\frac{R}{\sqrt{x^{2}+{R_{}^{2}}}}$ ③

将②③代入①得：

$B=\frac{\mu {_{0}}^{} IR}{x^{2} }sin^{2}\theta cos\theta=\frac{\mu {_{0}}^{} IR^{2}}{2(x^{2}+R^{2})^{\frac{3}{2}}}$

同时对于轴线圈中点B'有:

$^{}$ $B'=\frac{\mu_{0}I}{2R}$

由此可得:

$\frac{B}{B'}=[1+(\frac{x}{R})^2]^{-\frac{3}{2}}$

$B=B'[1+(\frac{x}{R})^{2}]^{-\frac{3}{2}}$

由此可得: $B(x)$ 随x增大而减小，在线圈平面两侧成对称分布

2.亥姆霍兹线圈的磁场分布

亥姆霍兹线圈由两个圆线圈组成，其半径均为R，匝数均为N，电流大小以及方向均相同。

如图1-2，两圆线圈平面彼此平行且共轴，两者中心距离O,0等于它们的半径R;将两线圈串联，通以同方向电流1若取两线圈中心连线的中点0为坐标原点，则两线圈的中心OA及OB点分别对应于坐标值R/2及一R/2。

线圈中的电流方向相同，因此两线圈在轴线上任一点P所产生的磁场同向。两线圈在P点(与中点0的距离为x)产生的磁感应强度分别为 $B_{A}=\frac{\mu_{0}IR^{2}N}{2[R^{2}+(\frac{R}{2}+x)^{2}]^{\frac{3}{2}}}$

和

$B_{B}=\frac{\mu_{0}IR^{2}N}{2[R^{2}+(\frac{R}{2}+x)^{2}]^{\frac{3}{2}}}$

故P点的合磁场B(x)为

$B(x)=B_{A}+B{B}$

其中在 $x=0$ 处为

$B_{0}=\frac{\mu_{0}NI}{R}(\frac{8}{5^{\frac{3}{2}}})$

当两线圈间距0,0变化时，轴线上的磁场分布也随之改变。轴线上的磁场分布与两线圈间距OAOB的关系如图所示:

由图可见，当两线圈间距OAOB较大（大于线圈半径R）时，两线圈中心点附近磁场较弱，如图所示;当两线圈间距OAOB较小（小于线圈半径R）时，两线圈中心点附近磁场较强，如图所示，当两线圈间距OAOB等于线圈半径R时，组成亥姆霍兹线圈，两线圈中心点O附近磁场最均匀，如图所示、上述曲线与用式进行定性分析的结果是一致的。

计算表明，当1x1<R/10时,B(z)和B(0)间相对差别约1/10000，因此亥姆霍兹线圈能产生比较均匀的磁场。在生产和科研中，常用这种方法来产生大空间、均匀的低磁场。

【实验内容】

图亥姆花兹线实验装置示意图

1.参看仪器说明书熟悉仪器使用

2.测量圆线圈中心的磁感应强度

(1)测量圆线圈中心的磁感应强度并与计算值相比较

(2)将探头放置在线圈轴线上某一点，转动探头方向观察毫特斯拉计示值变化，数值最大时为传感器的法线方向，也就是这点的磁感应强度的方向。

(3)测量圆线圈轴线上的磁感应强度分布，并与理论曲线相比较。

3.测量亥姆霍兹线圈中心的磁感应强度

(1)测量亥姆霍兹线圈中心的磁感应强度，并与计算值相比较。

(2)测量亥姆霍兹线圈轴线上的磁感应强度分布。

(3)改变二圆线圈之间的距离OAO，研究线圈轴线上的磁感应强度分布。

4.注意事项

(1)开机后应预热10 min以上，待系统稳定后再开始作实验

(2)为了抵消地磁场的影响以及对其他不稳定因素的补偿，在改变位置测量某一点磁感应强度之前，应断开线圈电流，在电流为零时调零;然后接通线圈电流，进行测量和读数。

【参考文献】

沈元华等，基础物理实验，上海:复旦大学出版社，2003

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