编程之美 一摞烙饼问题
问题：
星期五的晚上，一帮同事在希格玛大厦附近的“硬盘酒吧”多喝了几杯。程序员多喝了几杯之后谈什么呢？自然是算法问题。有个同事说：“我以前在餐馆打工，顾客经常点非常多的烙饼。店里的饼大小不一，我习惯在到达顾客饭桌前，把一摞饼按照大小次序摆好——小的在上面，大的在下面。由于我一只手托着盘子，只好用另一只手，一次抓住最上面的几块饼，把它们上下颠倒个个儿，反复几次之后，这摞烙饼就排好序了。我后来想，这实际上是个有趣的排序问题：假设有n块大小不一的烙饼，那最少要翻几次，才能达到最后大小有序的结果呢？”
你能否写出一个程序，对于n块大小不一的烙饼，输出最优化的翻饼过程呢？
解决策略：通过递归枚举每种翻转策略，以找出最优策略。技巧：先找一种可行解，计算该可行方案的翻转次数，称此次数为上限，即超过此次数的翻转策略都不用考虑了。故达到上限是递归的一个结束条件。此外，还需进行剪枝。剪枝策略引用自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_a2aa00d70101ewuf.html
1 ）减小“最少翻转次数上限值”的初始值，采用前面提到的翻转方案，取其翻转次数为初始值。对书中的例子{3,2,1,6,5,4,9,8,7,0}，初始值可以取10。
2 ）避免出现已处理过的状态一定会减少遍历吗？答案是否定的，深度优先遍历，必须遍历完一个子树，才能遍历下一个子树，如果一个解在某层比较靠后位置，若不允许处理已出现过的状态时，可能要经过很多次搜索，才能找到这个解，但允许处理已出现过的状态时，可能会很快找到这个解，并减小“最少翻转次数的上限值”，使更多的分支能被剪掉，反而能减少遍历的节点数。比如说，两个子树A、B，搜索子树A，100次后可得到一个对应翻转次数为20的解，搜索子树B，20次后可得到翻转次数为10的解，不允许处理已出现过的状态，就会花100次遍历完子树A后，才开始遍历B，但允许翻转回上一次状态，搜索会在A、B间交叉进行，就可能只要70次找到子树B的那个解（翻转次数为10+2=12），此时，翻转次数上限值比较小，可忽略更多不必要的搜索。以书中的{3,2,1,6,5,4,9,8,7,0}为例，按程序（1.3_pancake_1.cpp），不允许翻转回上次状态时需搜索195次，而允许翻转回上次状态时只要搜索116次。
3） 如果最后的几个烙饼已经就位，只须考虑前面的几个烙饼。对状态(0,1,3,4,2,5,6)，编号为5和6的烙饼已经就位，只须考虑前5个烙饼，即状态(0,1,3,4,2)。如果一个最优解，从某次翻转开始移动了一个已经就位的烙饼，且该烙饼后的所有烙饼都已经就位，那么对这个解法，从这次翻转开始得到的一系列状态，从中移除这个烙饼，可得到一系列新的状态。必然可以设计出一个新的解法对应这系列新的状态，而该解法所用的翻转次数不会比原来的多。
4 ）估计每个状态还需要翻转的最少次数（即下限值），加上当前的深度，如果大等于上限值，就无需继续遍历。这个下限值可以这样确定：从最后一个位置开始，往前找到第一个与最终结果位置不同的烙饼编号（也就是说排除最后几个已经就位的烙饼），从该位置到第一个位置，计算相邻的烙饼的编号不连续的次数，再加上1。每次翻转最多只能使不连续的次数减少1，但很多人会忽略掉这个情况：最大的烙饼没有就位时，必然需要一次翻转使其就位，而这次翻转却不改变不连续次数。（可以在最后面增加一个更大的烙饼，使这次翻转可以改变不连续数。）如：对状态(0,1,3,4,2,5,6)等同于状态(0,1,3,4,2)，由于1、3和4、2不连续，因而下限值为2+1=3。下限值也可以这样确定：在最后面增加一个比所有烙饼都大的已经就位的烙饼，然后再计算不连续数。如：(0,1,3,4,2)，可以看作(0,1,3,4,2,5)，1和3、4和2 、2和5这三个不连续，下限值为3。
5）多数情况下，翻转次数的上限值越大，搜索次数就越多。可以采用贪心算法，通过调整每次所有可能翻转的优先顺序，尽快找到一个解，从而减少搜索次数。比如，优先搜索使“下限值”减少的翻转，其次是使“下限值”不变的翻转，最后才搜索使“下限值”增加的翻转。对“下限值”不变的翻转，还可以根据其下次的翻转对“下限值”的影响，再重新排序。由于进行了优先排序，翻转回上一次状态能减少搜索次数的可能性得到进一步降低。
6 ）其它剪枝方法：
假设进行第m次翻转时，“上限值”为min_swap。
如果翻转某个位置的烙饼能使所有烙饼就位（即翻转次数刚好为m），则翻转其它位置的烙饼，能得到的最少翻转次数必然大等m，因而这些位置都可以不搜索。
如果在某个位置的翻转后，“下限值”为k，并且k+m>=min_swap，则对所有的使新“下限值”kk大等于k的翻转，都有kk+m>=min_swap，因而都可以不搜索。该剪枝方法是对上面的“调整翻转优先顺序”的进一步补充。
另外，翻转某个烙饼时，只有两个烙饼位置的改变才对“下限值”有影响，因而可以记录每个状态的“下限值”，进行下一次翻转时，只须通过几次比较，就可以确定新状态的“下限值”。（判断不连续次数时，最好写成-1<=x &&x<=1， 而不是x==1 || x==-1。对于 int x; a<=x&& x<=b，编译器可以将其优化为unsigned (x-a) <= b-a。）
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