奇数国

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Luogu_P4140 奇数国

题目描述

在一片美丽的大陆上有100000100000100000个国家，记为111到100000100000100000。这里经济发达，有数不尽的账房，并且每个国家有一个银行。

某大公司的领袖在这100000100000100000个银行开户时都存了333大洋，他惜财如命，因此会不时地派小弟 GFS 清点一些银行的存款或者让GFS改变某个银行的存款。

该村子在财产上的求和运算等同于我们的乘法运算，也就是说领袖开户时的存款总和为31000003^{100000}3100000。这里发行的软妹面额是最小的60个素数p1=2,p2=3,…,p60=281p_1=2,p_2=3,\ldots, p_{60}=281p1=2,p2=3,…,p60=281，任何人的财产都只能由这 6060 个基本面额表示，即设某个人的财产为fortunefortunefortune（正整数），则 fortune=p1k1×p2k2×…p60k60fortune=p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \ldots p_{60}^{k_{60}}fortune=p1k1×p2k2×…p60k60。

领袖习惯将一段编号连续的银行里的存款拿到一个账房去清点，为了避免 GFS 串通账房叛变，所以他不会每次都选择同一个账房。GFS 跟随领袖多年已经摸清了门路,知道领袖选择账房的方式。如果领袖选择清点编号在[a,b][a,b][a,b]内的银行财产，他会先对[a,b][a,b][a,b]的财产求和（记为productproductproduct），然后在编号属于[1,product][1,product][1,product]的账房中选择一个去清点存款，检验自己计算是否正确同时也检验账房与 GFS 是否有勾结。GFS 发现如果某个账房的编号 numbernumbernumber与productproductproduct相冲，领袖绝对不会选择这个账房。

怎样才算与productproductproduct不相冲呢？若存在整数 x,yx,yx,y 使得number×x+product×y=1number \times x+product \times y=1number×x+product×y=1，那么我们称numbernumbernumber与productproductproduct不相冲，即该账房有可能被领袖相中。当领袖又赚大钱了的时候，他会在某个银行改变存款，这样一来相同区间的银行在不同的时候算出来的productproductproduct可能是不一样的，而且领袖不会在某个银行的存款总数超过10610^6106 。

现在 GFS 预先知道了领袖的清点存款与变动存款的计划，想请你告诉他，每次清点存款时领袖有多少个账房可以供他选择，当然这个值可能非常大，GFS 只想知道对 199619931996199319961993 取模后的答案。

输入格式

第一行一个整数xxx表示领袖清点和变动存款的总次数。

接下来xxx行，每行333个整数ai,bi,cia_i,b_i,c_iai,bi,ci 。aia_iai为000时表示该条记录是清点计划，领袖会清点bib_ibi到cic_ici的银行存款，你需要对该条记录计算出 GFS 想要的答案。aia_iai
为111时表示该条记录是存款变动，你要把银行bib_ibi的存款改为cic_ici ，不需要对该记录进行计算。

输出格式

对于每个询问，输出一行一个整数表示答案。

输入输出

输入 #1

输出 #1

数据范围

所有数据均满足：x≥1x≥1，ci−bi≥0x \geq 1x≥1，c_i -b_i \geq 0x≥1x≥1，ci−bi≥0。

思路

又是一道根本不知道怎么用树状数组解的题目。

不过呢，看到number×x+product×y=1number \times x+product \times y=1number×x+product×y=1这个式子，我们自然而然地可以想到“若a,ba,ba,b互质，则有ax+by=1ax+by=1ax+by=1”这个结论。所以我们可以看出，numbernumbernumber和productproductproduct一定是一对互质数。

题目中要求统计与productproductproduct“相冲”的numbernumbernumber的个数，而numbernumbernumber又⩽product\leqslant product⩽product，于是我们可以想到用专门求“小于或等于nnn的正整数中与nnn互质的数的数目”的欧拉函数“φ(n)\varphi (n)φ(n)”。

到这里，最基本的问题就解决了。

接下来的问题是，我们如何存储31000003^{100000}3100000这么大的数呢？

当然是质因数分解啦！

我们把每个银行的存的钱的数目进行质因数分解，再用树状数组统计每个数各有哪些质因子。这样做的好处是，既可以存储31000003^{100000}3100000这么大的数，又可以方便我们对欧拉函数中的∏i=1k(1−1pi)\prod_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_i})∏i=1k(1−pi1)进行运算。

当我们拿到一个[b,c][b,c][b,c]的区间时，我们可以先将[b,c][b,c][b,c]之间的数所拥有的质因子乘起来，算出productproductproduct，再算φ(product)\varphi (product)φ(product)。

于是，我们就有了计算φ(product)\varphi (product)φ(product)的式子：
φ(product)=∏i=1npiki×∏i=1n(1−1pi)\varphi (product)=\prod_{i=1}^{n}p_i^{k_i}\times\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_i})φ(product)=i=1∏npiki×i=1∏n(1−pi1)
其中，nnn为productproductproduct的质因子的个数，pip_ipi为productproductproduct的每个质因子，kik_iki为对应pip_ipi的指数。

不过，因为这里涉及分数以及除法，不方便在计算机中计算，所以我们需要把这个式子变形一下。

首先，“×\times×”号右边的式子可以变形一下，变成：
φ(product)=∏i=1npiki×∏i=1npi−1pi\varphi (product)=\prod_{i=1}^{n}p_i^{k_i}\times\prod_{i=1}^{n}\frac{{p_i}-1}{p_i}φ(product)=i=1∏npiki×i=1∏npipi−1

接着，由于每个pi{p_i}pi既要乘ki{k_i}ki次，又要除111次，所以我们又可以把式子变成：
φ(product)=∏i=1npiki−1×∏i=1npi−1\varphi (product)=\prod_{i=1}^{n}p_i^{k_i-1}\times\prod_{i=1}^{n}{{p_i}-1}φ(product)=i=1∏npiki−1×i=1∏npi−1

再变一下，就成了：
φ(product)=∏i=1n(piki−1×pi−1)\varphi (product)=\prod_{i=1}^{n}(p_i^{k_i-1}\times{{p_i}-1})φ(product)=i=1∏n(piki−1×pi−1)

这样就方便我们在计算机里计算了。

最后，不要忘记在计算的时候进行取模运算，不要忘记用long long类型，否则答案会爆。

感谢做题过程中大佬们的谆谆教诲。

代码

#include<cstdio>
using namespace std;
const long long N=100000,MOD=19961993;
long long n,a,b,c,tre[61][2*N+1],mon[N+1],pro;//树状数组存每个数分解质因数的结果
long long prime[60+1];
bool vis[281+1];
void Euler()
{long long cntA=0;for(int i=2;i<=281;i++){if(!vis[i]){cntA++;prime[cntA]=i;}for(int j=1;j<=cntA&&i*prime[j]<=281;j++){vis[i*prime[j]]=true;if(!i%prime[j])break;}}
}
long long lowbit(int i)
{return i&(-i);
}
void update(long long i,long long j,long long x)//i：质因子的编号；j：数的下标；x：质因子个数；
{while(j<=N){tre[i][j]+=x;j+=lowbit(j);}
}
long long index(long long i,long long j)//i：质因子的编号；j：数的下标；
{long long ans=0;while(j>0){ans+=tre[i][j];j-=lowbit(j);}return ans;
}
void decompose(long long n,long long j,long long p)//p：判断对树状数组中的某个值是+还是-；
{long long cntB;for(long long i=1;i<=60;i++){cntB=0;while(!(n%prime[i])){cntB++;n/=prime[i];}if(cntB)update(i,j,cntB*p);}
}
long long fast_power(long long n,long long m)//快速幂
{long long ans=1;while(m>0){if(m%2)ans=ans*n%MOD;n=n*n%MOD;m/=2;}return ans;
}
int main()
{Euler();scanf("%d",&n);for(long long i=1;i<=N;i++){mon[i]=3;update(2,i,1);//每个数最开始都是3，分解质因数后都等于3}for(long long i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);if(a)//修改 {decompose(mon[b],b,-1);//分解质因数mon[b]=c;decompose(mon[b],b,1);}else//查询{pro=1;for(long long j=1;j<=60;j++){long long cntC=0;cntC=index(j,c)-index(j,b-1);//求product的质因子prime[i]的指数if(!cntC)continue;pro=pro*fast_power(prime[j],cntC-1)*(prime[j]-1)%MOD;//上文提到的欧拉函数的变形}printf("%d\n",pro%MOD);}}return 0;
}

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