各向异性扩散滤波（Anisotropic Filter）原理与C++实现

各向异性扩散滤波（Anisotropic Filter，又称 Perona-Malik Filter），主要是用来平滑图像，克服了高斯滤波模糊的缺陷，各向异性扩散在平滑图像的同时又能保留图像边缘；此外，Perona-Malik Filter 在地学影像处理中也得到了相应的应用，如平滑DEM数据、河道提取等。
将图像看作热量场，每个像元看作热流，根据当前像元和周围像元的关系，来确定是否需要向周围扩散。如果某个邻域像元和当前像元差别较大，那么这个邻域像元可能是边界，当前像元就不向这个方向扩散了，该边界也就得到保留。
主要迭代方程如下：
I t + 1 = I t + λ ( c N x , y ∇ N ( I t ) + c S x , y ∇ S ( I t ) + c E x , y ∇ E ( I t ) + c W x , y ∇ W ( I t ) ) I_{t+1}=I_t+\lambda(cN_{x,y}\nabla_N(I_t)+cS_{x,y}\nabla_S(I_t)+cE_{x,y}\nabla_E(I_t)+cW_{x,y}\nabla_W(I_t)) It+1=It+λ(cNx,y∇N(It)+cSx,y∇S(It)+cEx,y∇E(It)+cWx,y∇W(It))其中， I I I 为图像， t t t 为迭代次数。
四个散度公式是在四个方向上对当前像素求偏导，公式如下：
∇ N ( I x , y ) = I x , y − 1 − I x , y ∇ S ( I x , y ) = I x , y + 1 − I x , y ∇ E ( I x , y ) = I x − 1 , y − I x , y ∇ W ( I x , y ) = I x + 1 , y − I x , y \begin{array}{lcl} \nabla_N(I_{x,y})=I_{x,y-1}-I_{x,y} \\ \nabla_S(I_{x,y})=I_{x,y+1}-I_{x,y} \\ \nabla_E(I_{x,y})=I_{x-1,y}-I_{x,y} \\ \nabla_W(I_{x,y})=I_{x+1,y}-I_{x,y} \end{array} ∇N(Ix,y)=Ix,y−1−Ix,y∇S(Ix,y)=Ix,y+1−Ix,y∇E(Ix,y)=Ix−1,y−Ix,y∇W(Ix,y)=Ix+1,y−Ix,y
而 c N cN cN、 c S cS cS、 c E cE cE 和 c W cW cW 代表四个方向上的导热系数，公式如下：
c N x , y = e − ∥ ∇ N ( I ) ∥ 2 k 2 c S x , y = e − ∥ ∇ S ( I ) ∥ 2 k 2 c E x , y = e − ∥ ∇ E ( I ) ∥ 2 k 2 c W x , y = e − ∥ ∇ W ( I ) ∥ 2 k 2 \begin{array}{lcl} cN_{x,y}=e^{-\frac{\rVert\nabla_N(I)\rVert^2}{k^2}} \\ cS_{x,y}=e^{-\frac{\rVert\nabla_S(I)\rVert^2}{k^2}} \\ cE_{x,y}=e^{-\frac{\rVert\nabla_E(I)\rVert^2}{k^2}} \\ cW_{x,y}=e^{-\frac{\rVert\nabla_W(I)\rVert^2}{k^2}} \end{array} cNx,y=e−k2∥∇N(I)∥2cSx,y=e−k2∥∇S(I)∥2cEx,y=e−k2∥∇E(I)∥2cWx,y=e−k2∥∇W(I)∥2
整个公式需要设置的参数主要有三个，迭代次数 t t t，根据情况设置；导热系数相关的 k k k，取值越大，结果越平滑，越不易保留边缘； λ \lambda λ 取值越大，结果越平滑。
C++实现（未使用opencv）：

void AnisotropicFilter(float *ppafScan, float *outppafScan, int nImgWidth, int nImgHeight, int iterationSum, float k, float lambda)
{//ppafScan 输入数据//outppafScan   输出数据//nImgWidth, nImgHeight 数据的宽和高//iterationSum    迭代总次数//k    导热系数,控制平滑//lambda   控制平滑for(int iter = 0; iter < iterationSum; ++iter){for(int i = 0; i < nImgHeight; ++i){for (int j = 0; j < nImgWidth; ++j){if(i == 0 || i == nImgHeight - 1 || j == 0 || j == nImgWidth - 1){outppafScan[i * nImgWidth + j] = ppafScan[i * nImgWidth + j];continue;}float NI = ppafScan[i * nImgWidth + (j - 1)] - ppafScan[i * nImgWidth + j];float EI = ppafScan[(i - 1) * nImgWidth + j] - ppafScan[i * nImgWidth + j];float WI = ppafScan[(i + 1) * nImgWidth + j] - ppafScan[i * nImgWidth + j];float SI = ppafScan[i * nImgWidth + (j + 1)] - ppafScan[i * nImgWidth + j];float cN = exp(-NI * NI / (k * k));float cE = exp(-EI * EI / (k * k));float cW = exp(-WI * WI / (k * k));float cS = exp(-SI * SI / (k * k));outppafScan[i * nImgWidth + j] = ppafScan[i * nImgWidth + j] + lambda * (cN * NI + cS * SI + cE * EI + cW * WI);}}}return;
}

当 t = 20 t=20 t=20， k = 30 k=30 k=30， λ = 0.20 \lambda=0.20 λ=0.20 时，结果如下图所示：

左：原始图像，右：滤波后的影像

高斯滤波（线性）和Perona-Malik滤波（非线性）的比较：(a)原始影像；(b) Gaussian filtering (the kernels = 7 m)；© Perona-Malik filter (t = 50)；(d) Gaussian filtering (the kernels = 14 m)；(e) Perona-Malik filter (t = 200) [原图链接]

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