算法简述

ESPRIT算法全称为：Estimation of Signal Parameters using Rotational Invariance Techniques.与Root_MUSIC算法相同，也是一种参数估计技术。
ESPRIT算法基于一个事实：在旋转矢量中，一个元素上的信号来源于更早期元素信号的相移。

算法要得到什么

在Root_MUSIC算法的叙述中，我们已经设定 z m = e j k d c o s ϕ m z_m=e^{jkd\ cos\phi_m} zm=ejkd cosϕm。并且根据式 R s = S A S H \mathbf{R_s}=\mathbf{SAS^H} Rs=SASH可知，在矩阵 A \mathbf{A} A确定的情况下，相关矩阵就是依赖于矩阵 S \mathbf{S} S的，它是一个 ( N × M ) (N \times M) (N×M)大小的旋转矢量矩阵。因此矩阵 S \mathbf{S} S可以写为：
S = [ 1 1 ⋯ 1 z 1 z 2 ⋯ z M ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z 1 N − 2 z 2 N − 2 ⋯ z M N − 2 z 1 N − 1 z 2 N − 1 ⋯ z M N − 1 ] . \mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ z_1 & z_2 & \cdots & z_M\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ z^{N-2}_1 & z^{N-2}_2 & \cdots & z^{N-2}_M\\ z^{N-1}_1 & z^{N-1}_2 & \cdots & z^{N-1}_M \end{bmatrix}. S=⎣ ⎡1z1⋮z1N−2z1N−11z2⋮z2N−2z2N−1⋯⋯⋱⋯⋯1zM⋮zMN−2zMN−1⎦ ⎤.
其中每一列代表一个信号的旋转矢量，例如第 i i i列代表 s ( ϕ i ) \mathbf{s(\phi_i)} s(ϕi)。
然后，我们可以将矩阵 S \mathbf{S} S分成两个矩阵，分别包含矩阵 S \mathbf{S} S的前 ( N − 1 ) (N-1) (N−1)行和后 ( N − 1 ) (N-1) (N−1)行：
S 0 = [ 1 1 ⋯ 1 z 1 z 2 ⋯ z M ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z 1 N − 2 z 2 N − 2 ⋯ z M N − 2 ] S 1 = [ z 1 z 2 ⋯ z M ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z 1 N − 2 z 2 N − 2 ⋯ z M N − 2 z 1 N − 1 z 2 N − 1 ⋯ z M N − 1 ] \begin{aligned} \mathbf{S_0} &= \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ z_1 & z_2 & \cdots & z_M\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ z^{N-2}_1 & z^{N-2}_2 & \cdots & z^{N-2}_M \end{bmatrix} \\ \mathbf{S_1} &= \begin{bmatrix} z_1 & z_2 & \cdots & z_M\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ z^{N-2}_1 & z^{N-2}_2 & \cdots & z^{N-2}_M\\ z^{N-1}_1 & z^{N-1}_2 & \cdots & z^{N-1}_M \end{bmatrix} \end{aligned} S0S1=⎣ ⎡1z1⋮z1N−21z2⋮z2N−2⋯⋯⋱⋯1zM⋮zMN−2⎦ ⎤=⎣ ⎡z1⋮z1N−2z1N−1z2⋮z2N−2z2N−1⋯⋱⋯⋯zM⋮zMN−2zMN−1⎦ ⎤
得到上面两个矩阵后，我们可以看到， S 0 \mathbf{S_0} S0和 S 1 \mathbf{S_1} S1是存在等式关系的。
定义一个对角阵 Φ \mathbf{\Phi} Φ:
Φ = [ z 1 0 ⋯ 0 0 z 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ z M ] \begin{aligned} \mathbf{\Phi}= \begin{bmatrix} z_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & z_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & z_M \end{bmatrix} \end{aligned} Φ=⎣ ⎡z10⋮00z2⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮zM⎦ ⎤
那么矩阵 S 0 \mathbf{S_0} S0和 S 1 \mathbf{S_1} S1的关系为：
S 1 = S 0 Φ \mathbf{S_1} = \mathbf{S_0 \Phi} S1=S0Φ
如我们所见，只要我们能估计出矩阵 Φ \mathbf{\Phi} Φ，那么就能得到信号的DOA。

如何得到矩阵 Φ \Phi Φ

如果我们已知了 S 0 \mathbf{S_0} S0和 S 1 \mathbf{S_1} S1两个矩阵，那么很容易就能得到矩阵 Φ \Phi Φ。但是，显然， S 0 \mathbf{S_0} S0和 S 1 \mathbf{S_1} S1两个矩阵是未知的，因此需要寻找代替物来得到相同的结果。

ESPRIT算法有一个前提：承认一个事实，就是矩阵 S \mathbf{S} S中的旋转矢量涵盖了和矩阵 Q s \mathbf{Q_s} Qs相同的子空间（信号子空间）。因此矩阵 Q s \mathbf{Q_s} Qs与矩阵 S \mathbf{S} S一定存在变换关系，设定为 Q s = S C \mathbf{Q_s}=\mathbf{SC} Qs=SC，其中矩阵 C \mathbf{C} C是一个可逆矩阵。

有上面的前提条件，那么矩阵 Q s \mathbf{Q_s} Qs也能模仿矩阵 S \mathbf{S} S分解成两个矩阵 Q 0 \mathbf{Q_0} Q0和 Q 1 \mathbf{Q_1} Q1，分别包含矩阵 Q s \mathbf{Q_s} Qs的前 ( N − 1 ) (N-1) (N−1)行和后 ( N − 1 ) (N-1) (N−1)行。
那么对应地，矩阵 Q 0 \mathbf{Q_0} Q0、 Q 1 \mathbf{Q_1} Q1分别与矩阵 S 0 \mathbf{S_0} S0和 S 1 \mathbf{S_1} S1存在转换关系：
Q 0 = S 0 C Q 1 = S 1 C = S 0 Φ C \begin{aligned} \mathbf{Q_0} &= \mathbf{S_0C}\\ \mathbf{Q_1} &= \mathbf{S_1C} = \mathbf{S_0 \Phi C} \end{aligned} Q0Q1=S0C=S1C=S0ΦC
因此你可以找到矩阵 Q 0 \mathbf{Q_0} Q0和 Q 1 \mathbf{Q_1} Q1之间的关系为：
Q 1 C − 1 Φ − 1 C = S 0 C = Q 0 \mathbf{Q_1C^{-1}\Phi^{-1}C} = \mathbf{S_0C} = \mathbf{Q_0} Q1C−1Φ−1C=S0C=Q0
由此，我们可以设定一个新的矩阵为 Ψ \mathbf{\Psi} Ψ，满足：
Ψ − 1 = C − 1 Φ − 1 C ⇒ Q 1 Ψ − 1 = Q 0 ⇒ Q 1 = Q 0 Ψ \begin{aligned} \mathbf{\Psi^{-1}} &= \mathbf{C^{-1}\Phi^{-1}C} \\ \Rightarrow \mathbf{Q_1 \Psi^{-1}} &= \mathbf{Q_0} \\ \Rightarrow \mathbf{Q_1} &= \mathbf{Q_0 \Psi} \end{aligned} Ψ−1⇒Q1Ψ−1⇒Q1=C−1Φ−1C=Q0=Q0Ψ
其中，矩阵 Ψ = C − 1 Φ C \mathbf{\Psi} = \mathbf{C^{-1} \Phi C} Ψ=C−1ΦC.由该等式可知矩阵 Ψ 与矩阵 Φ \mathbf{\Psi}与矩阵\mathbf{\Phi} Ψ与矩阵Φ相似，而矩阵 Φ \mathbf{\Phi} Φ又恰好是对角阵，根据相似矩阵的性质，矩阵 Φ \mathbf{\Phi} Φ对角线上的元素就是矩阵 Ψ \mathbf{\Psi} Ψ的特征值！！！

因此，我们只要得到矩阵 Ψ \mathbf{\Psi} Ψ，再求其特征值，就可以得到我们想要的矩阵 Φ \mathbf{\Phi} Φ，进而求出DOA.
注意！因为矩阵 Q 0 \mathbf{Q_0} Q0和矩阵 Q 1 \mathbf{Q_1} Q1我们都能得到，因此可以用矩阵的最小二乘法来拟合出矩阵 Ψ \mathbf{\Psi} Ψ，再进行之后的运算。

ESPRIT算法的步骤

用式 R = 1 K ∑ k = 1 K x k x k H \mathbf{R} = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^{K}\mathbf{x_k}\mathbf{x^H_k} R=K1∑k=1KxkxkH来估计出相关矩阵 R \mathbf{R} R，再对其进行特征分解： R = Q Λ Q H \mathbf{R} = \mathbf{Q \Lambda Q^H} R=QΛQH.得到矩阵 Q \mathbf{Q} Q；
从矩阵 Q \mathbf{Q} Q中获得矩阵 Q s \mathbf{Q_s} Qs（对应于矩阵 Q \mathbf{Q} Q的 M M M个最大的特征值），代表信号子空间；
分别取矩阵 Q s \mathbf{Q_s} Qs的前 ( N − 1 ) (N-1) (N−1)行和后 ( N − 1 ) (N-1) (N−1)行，分别形成矩阵 Q 0 \mathbf{Q_0} Q0、 Q 1 \mathbf{Q_1} Q1；
使用最小二乘法（或完全最小二乘法）拟合出变换矩阵 Ψ \mathbf{\Psi} Ψ;
求出矩阵 Ψ \mathbf{\Psi} Ψ的特征值，这些特征值就是待估计的 z m z_m zm；
使用下式获得DOA：

参考文献（仅写文章的标题，以做记录）

[1]. Direction of Arrival Estimation

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