最大堆（创建、删除、插入和堆排序）图文详解

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我有一个不成熟的建议：老老实实花1个小时把这篇文章仔细看完，关于堆的各种操作一目了然了。

关于最大堆

什么是最大堆和最小堆？最大（小）堆是指在树中，存在一个结点而且该结点有儿子结点，该结点的data域值都不小于（大于）其儿子结点的data域值，并且它是一个完全二叉树（不是满二叉树）。注意区分选择树，因为选择树（selection tree）概念和最小堆有些类似，他们都有一个特点是“树中的根结点都表示树中的最小元素结点”。同理最大堆的根结点是树中元素最大的。那么来看具体的看一下它长什么样？（最小堆这里省略）

这里需要注意的是：在多个子树中，并不是说其中一个子树的父结点一定大于另一个子树的儿子结点。最大堆是树结构，而且一定要是完全二叉树。

最大堆ADT

那么我们在做最大堆的抽象数据类型（ADT）时就需要考虑三个操作：
（1）、创建一个最大堆；
（2）、最大堆的插入操作；
（3）、最大堆的删除操作；
最大堆ADT如下：

struct Max_Heap {object: 由多个元素组成的完全二叉树，其每个结点都不小于该结点的子结点关键字值functions:其中heap∈Max_Heap,n,max_size∈int,Element为堆中的元素类型，item∈ ElementMax_Heap createHeap(max_size)       := 创建一个总容量不大于max_size的空堆void max_heap_insert(heap, item ,n) := 插入一个元素到heap中Element max_heap_delete(heap,n)     := if(heap不为空) {return 被删除的元素 }else{return NULL}
}
///其中:=符号组读作“定义为”

最大堆内存表现形式

我们只是简单的定义了最大堆的ADT，为了能够用代码实现它就必须要考虑最大堆的内存表现形式。从最大堆的定义中，我们知道不管是对最大堆做插入还是删除操作，我们必须要保证插入或者删除完成之后，该二叉树仍然是一个完全二叉树。基于此，我们就必须要去操作某一个结点的父结点。
第一种方式，我们使用链表的方式来实现，那么我们需要添加一个额外的指针来指向该结点的父结点。此时就包括了左子结点指针、右子结点指针和父结点指针，那么空链的数目有可能是很大的，比如叶子结点的左右子结点指针和根结点的父结点指针，所以不选择这种实现方式（关于用链表实现一般二叉树时处理左右子结点指针的问题在线索二叉树中有提及）。
第二种方式，使用数组实现，在二叉树进行遍历的方法分为：先序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。我们可以通过层序遍历的方式将二叉树结点存储在数组中，由于最大堆是完全二叉树不会存在数组的空间浪费。那么来看看层序遍历是怎么做的？对下图的最大堆进行层序遍历：

从这里可以看出最后得到的顺序和上面图中所标的顺序是一样的。
那么对于数组我们怎么操作父结点和左右子结点呢？对于完全二叉树采用顺序存储表示，那么对于任意一个下标为i(1 ≤ i ≤ n)的结点：
（1）、父结点为：i / 2（i ≠ 1），若i = 1，则i是根节点。
（2）、左子结点：2i（2i ≤ n），若不满足则无左子结点。
（3）、右子结点：2i + 1(2i + 1 ≤ n)，若不满足则无右子结点。

最终我们选择数组作为最大堆的内存表现形式。
基本定义:

#define MAX_ELEMENTS 20
#define HEAP_FULL(n) (MAX_ELEMENTS - 1 == n)
#define HEAP_EMPTY(n) (!n)
typedef struct {int key;
}element;
element heap[MAX_ELEMENTS];

下面来看看最大堆的插入、删除和创建这三个最基本的操作。

最大堆的插入

最大堆的插入操作可以简单看成是“结点上浮”。当我们在向最大堆中插入一个结点我们必须满足完全二叉树的标准，那么被插入结点的位置的是固定的。而且要满足父结点关键字值不小于子结点关键字值，那么我们就需要去移动父结点和子结点的相互位置关系。具体的位置变化，可以看看下面我画的一个简单的图。

void insert_max_heap(element item ,int *n){if(HEAP_FULL(*n)){return;}int i = ++(*n);for(;(i != 1) && (item.key > heap[i/2].key);i = i / 2){/// i ≠ 1是因为数组的第一个元素并没有保存堆结点heap[i] = heap[i/2];/// 这里其实和递归操作类似，就是去找父结点}heap[i] = item;
}

由于堆是一棵完全二叉树，存在n个元素，那么他的高度为:log2(n+1)，这就说明代码中的for循环会执行O(log2(n))次。因此插入函数的时间复杂度为：O(log2(n))。

最大堆的删除

最大堆的删除操作，总是从堆的根结点删除元素。同样根元素被删除之后为了能够保证该树还是一个完全二叉树，我们需要来移动完全二叉树的最后一个结点，让其继续符合完全二叉树的定义，从这里可以看作是最大堆最后一个结点的下沉（也就是下文提到的结点1）操作。例如在下面的最大堆中执行删除操作：

现在对上面