条件确立

首先，若函数f(t)f\left( t \right)f(t)以2T2T2T为周期且在[−T,T]\left[ -T,T \right][−T,T]上可积，则
an=1T∫−TTf(t)cos⁡nπtTdt,n=0,1,⋯bn=1T∫−TTf(t)sin⁡nπtTdt,n=1,2,⋯\begin{aligned} & {{a}_{n}}=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right)\cos \frac{n\pi t}{T}dt},\text{ }n=0,1,\cdots \\ & {{b}_{n}}=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right)\sin \frac{n\pi t}{T}dt},\text{ }n=1,2,\cdots \\ \end{aligned}an=T1∫−TTf(t)cosTnπtdt, n=0,1,⋯bn=T1∫−TTf(t)sinTnπtdt, n=1,2,⋯
存在，是f(t)f\left( t \right)f(t)关于三角函数系的Fourier系数，
f∼a02+∑n=1∞(ancos⁡nπtT+bnsin⁡nπtT)f \sim \frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( {{a}_{n}}\cos \frac{n\pi t}{T}+{{b}_{n}}\sin \frac{n\pi t}{T} \right)}f∼2a0+n=1∑∞(ancosTnπt+bnsinTnπt)
是f(t)f\left( t \right)f(t)关于三角函数系的Fourier级数。

其次，由Fourier级数的收敛定理，若以2T2T2T为周期的函数f(t)f\left( t \right)f(t)在[−T,T]\left[ -T,T \right][−T,T]上按段光滑（①f(t)f\left( t \right)f(t)在[−T,T]\left[ -T,T \right][−T,T]上至多有有限个第一类间断点；②f′(t)f'\left( t \right)f′(t)在[−T,T]\left[ -T,T \right][−T,T]上除了至多有限个点外都存在且连续，且在这些点上f′(t)f'\left( t \right)f′(t)的左右极限都存在），则在每一点t∈[−T,T]t\in \left[ -T,T \right]t∈[−T,T]，f(t)f\left( t \right)f(t)的Fourier级数收敛于f(t)f\left( t \right)f(t)在点ttt的左右极限的算术平均值，即有
f(t+0)+f(t−0)2=lim⁡Δt→0+f(t+Δt)+lim⁡Δt→0−f(t+Δt)2=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπtT+bnsin⁡nπtT)\begin{aligned} & \frac{f\left( t+0 \right)+f\left( t-0 \right)}{2} \\ & =\frac{\underset{\Delta t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t+\Delta t \right)+\underset{\Delta t\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t+\Delta t \right)}{2} \\ & =\frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( {{a}_{n}}\cos \frac{n\pi t}{T}+{{b}_{n}}\sin \frac{n\pi t}{T} \right)} \\ \end{aligned}2f(t+0)+f(t−0)=2Δt→0+limf(t+Δt)+Δt→0−limf(t+Δt)=2a0+n=1∑∞(ancosTnπt+bnsinTnπt)
特别地，当f(t)∈C0(G)(G⊆[−T,T])f\left( t \right)\in {{C}^{0}}\left( G \right)\text{ }\left( G\subseteq \left[ -T,T \right] \right)f(t)∈C0(G) (G⊆[−T,T])时，有
f(t+0)+f(t−0)2=f(t)+f(t)2=f(t),∀t∈G⊆[−T,T]\frac{f\left( t+0 \right)+f\left( t-0 \right)}{2}=\frac{f\left( t \right)+f\left( t \right)}{2}=f\left( t \right),\text{ }\forall t\in G\subseteq \left[ -T,T \right]2f(t+0)+f(t−0)=2f(t)+f(t)=f(t), ∀t∈G⊆[−T,T]
此时f(t)f\left( t \right)f(t)的Fourier级数收敛到其本身，即有
f(t)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπtT+bnsin⁡nπtT),∀t∈G⊆[−T,T]f\left( t \right)=\frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( {{a}_{n}}\cos \frac{n\pi t}{T}+{{b}_{n}}\sin \frac{n\pi t}{T} \right)},\text{ }\forall t\in G\subseteq \left[ -T,T \right]f(t)=2a0+n=1∑∞(ancosTnπt+bnsinTnπt), ∀t∈G⊆[−T,T]

由上面的讨论，任取一个时间信号f(t)f\left( t \right)f(t)，确立或要求以下条件：

若f(t)f\left( t \right)f(t)不具有周期，则令其周期为∞=2T(T→∞)\infty =2T\left( T\to \infty \right)∞=2T(T→∞)；若f(t)f\left( t \right)f(t)具有周期2T02{{T}_{0}}2T0，则∞=2T(T→∞)\infty =2T\left( T\to \infty \right)∞=2T(T→∞)也可视为f(t)f\left( t \right)f(t)的一个周期。因此统一规定f(t)f\left( t \right)f(t)的周期为
∞=2T(T→∞)\infty =2T\left( T\to \infty \right)∞=2T(T→∞)
f(t)f\left( t \right)f(t)绝对可积，即
∫−∞∞∣f(t)∣dt<∞\int_{-\infty }^{\infty }{\left| f\left( t \right) \right|dt}<\infty∫−∞∞∣f(t)∣dt<∞
这样f(t)f\left( t \right)f(t)在R\mathbb{R}R上也一定可积。
f(t)f\left( t \right)f(t)在R\mathbb{R}R上至多只有有限个间断点（当然也只有有限个第一类间断点）。
f(t)f\left( t \right)f(t)在R\mathbb{R}R上只有有限个极值点，且在除了所有间断点之外的其他点连续。这样f′(t)f'\left( t \right)f′(t)在R\mathbb{R}R上除了至多有限个点外都存在且连续，且在这些点上f′(t)f'\left( t \right)f′(t)的左右极限都存在。

推导阶段1（严格）

首先，由欧拉公式eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ{{e}^{i\theta }}=\cos \theta +i\sin \thetaeiθ=cosθ+isinθ有
e−iθ=ei(−θ)=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ{{e}^{-i\theta }}={{e}^{i\left( -\theta \right)}}=\cos \left( -\theta \right)+i\sin \left( -\theta \right)=\cos \theta -i\sin \thetae−iθ=ei(−θ)=cos(−θ)+isin(−θ)=cosθ−isinθ
于是有
cos⁡θ=eiθ+e−iθ2,sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\cos \theta =\frac{{{e}^{i\theta }}+{{e}^{-i\theta }}}{2},\text{ }\sin \theta =\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i}cosθ=2eiθ+e−iθ, sinθ=2ieiθ−e−iθ
至此，开始化简周期为2T2T2T的函数f(t)f\left( t \right)f(t)的傅里叶级数a02+∑n=1∞[ancos⁡nπtT+bnsin⁡nπtT]\frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left[ {{a}_{n}}\cos \frac{n\pi t}{T}+{{b}_{n}}\sin \frac{n\pi t}{T} \right]}2a0+n=1∑∞[ancosTnπt+bnsinTnπt]
a02+∑n=1∞[ancos⁡nπtT+bnsin⁡nπtT]=12T∫−TTf(t)dt+∑n=1∞[(1T∫−TTf(t)cos⁡nπtTdt)cos⁡nπtT]+∑n=1∞[(1T∫−TTf(t)sin⁡nπtTdt)sin⁡nπtT]=12T∫−TTf(t)dt+1T∑n=1∞cos⁡nπtT∫−TTf(t)cos⁡nπtTdt+1T∑n=1∞sin⁡nπtT∫−TTf(t)sin⁡nπtTdt=12T∫−TTf(t)dt+1T∑n=1∞(einπtT+e−inπtT2)∫−TTf(t)(einπtT+e−inπtT2)dt+1T∑n=1∞(einπtT−e−inπtT2i)∫−TTf(t)(einπtT−e−inπtT2i)dt=12T∫−TTf(t)dt+12T∑n=1∞einπtT∫−TTf(t)e−inπtTdt+12T∑n=1∞e−inπtT∫−TTf(t)einπtTdt=12T[∑n=00einπtT∫−TTf(t)e−inπtTdt+∑n=1∞einπtT∫−TTf(t)e−inπtTdt+∑n=−∞−1einπtT∫−TTf(t)e−inπtTdt]=12T∑n=−∞n∈Z∞einπtT∫−TTf(t)e−inπtTdt\begin{aligned} & \text{ }\frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left[ {{a}_{n}}\cos \frac{n\pi t}{T}+{{b}_{n}}\sin \frac{n\pi t}{T} \right]} \\ & =\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right)dt}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left[ \left( \frac{1}{T}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right)\cos \frac{n\pi t}{T}dt} \right)\cos \frac{n\pi t}{T} \right]}+ \\ & \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left[ \left( \frac{1}{T}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right)\sin \frac{n\pi t}{T}dt} \right)\sin \frac{n\pi t}{T} \right]} \\ & \\ & =\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right)dt}+\frac{1}{T}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\cos \frac{n\pi t}{T}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right)\cos \frac{n\pi t}{T}dt}}+ \\ & \frac{1}{T}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\sin \frac{n\pi t}{T}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right)\sin \frac{n\pi t}{T}dt}} \\ & \\ & =\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right)dt}+\frac{1}{T}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{{{e}^{i\frac{n\pi t}{T}}}+{{e}^{-i\frac{n\pi t}{T}}}}{2} \right)\int_{-T}^{T}{f\left( t \right)\left( \frac{{{e}^{i\frac{n\pi t}{T}}}+{{e}^{-i\frac{n\pi t}{T}}}}{2} \right)dt}}+ \\ & \frac{1}{T}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{{{e}^{i\frac{n\pi t}{T}}}-{{e}^{-i\frac{n\pi t}{T}}}}{2i} \right)\int_{-T}^{T}{f\left( t \right)\left( \frac{{{e}^{i\frac{n\pi t}{T}}}-{{e}^{-i\frac{n\pi t}{T}}}}{2i} \right)dt}} \\ & \\ & =\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right)dt}+\frac{1}{2T}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{e}^{i\frac{n\pi t}{T}}}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right){{e}^{-i\frac{n\pi t}{T}}}dt}}+\frac{1}{2T}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{e}^{-i\frac{n\pi t}{T}}}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right){{e}^{i\frac{n\pi t}{T}}}dt}} \\ & \\ & =\frac{1}{2T}\left[ \sum\limits_{n=0}^{0}{{{e}^{i\frac{n\pi t}{T}}}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right){{e}^{-i\frac{n\pi t}{T}}}dt}}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{e}^{i\frac{n\pi t}{T}}}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right){{e}^{-i\frac{n\pi t}{T}}}dt}}+\sum\limits_{n=-\infty }^{-1}{{{e}^{i\frac{n\pi t}{T}}}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right){{e}^{-i\frac{n\pi t}{T}}}dt}} \right] \\ & \\ & =\frac{1}{2T}\sum\limits_{\begin{matrix} n=-\infty \\ \text{ }n\in \mathbb{Z} \end{matrix}}^{\infty }{{{e}^{i\frac{n\pi t}{T}}}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right){{e}^{-i\frac{n\pi t}{T}}}dt}} \\ \end{aligned} 2a0+n=1∑∞[ancosTnπt+bnsinTnπt]=2T1∫−TTf(t)dt+n=1∑∞[(T1∫−TTf(t)cosTnπtdt)cosTnπt]+n=1∑∞[(T1∫−TTf(t)sinTnπtdt)sinTnπt]=2T1∫−TTf(t)dt+T1n=1∑∞cosTnπt∫−TTf(t)cosTnπtdt+T1n=1∑∞sinTnπt∫−TTf(t)sinTnπtdt=2T1∫−TTf(t)dt+T1n=1∑∞(2eiTnπt+e−iTnπt)∫−TTf(t)(2eiTnπt+e−iTnπt)dt+T1n=1∑∞(2ieiTnπt−e−iTnπt)∫−TTf(t)(2ieiTnπt−e−iTnπt)dt=2T1∫−TTf(t)dt+2T1n=1∑∞eiTnπt∫−TTf(t)e−iTnπtdt+2T1n=1∑∞e−iTnπt∫−TTf(t)eiTnπtdt=2T1[n=0∑0eiTnπt∫−TTf(t)e−iTnπtdt+n=1∑∞eiTnπt∫−TTf(t)e−iTnπtdt+n=−∞∑−1eiTnπt∫−TTf(t)e−iTnπtdt]=2T1n=−∞ n∈Z∑∞eiTnπt∫−TTf(t)e−iTnπtdt

观察上面的推导，其实也有结果
a02+∑n=1∞[ancos⁡nπtT+bnsin⁡nπtT]=12T∑n=−∞∞e−inπtT∫−TTf(t)einπtTdt\frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left[ {{a}_{n}}\cos \frac{n\pi t}{T}+{{b}_{n}}\sin \frac{n\pi t}{T} \right]}=\frac{1}{2T}\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{e}^{-i\frac{n\pi t}{T}}}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right){{e}^{i\frac{n\pi t}{T}}}dt}}2a0+n=1∑∞[ancosTnπt+bnsinTnπt]=2T1n=−∞∑∞e−iTnπt∫−TTf(t)eiTnπtdt

令T→∞T\to \inftyT→∞，则得到周期为∞\infty∞的函数f(t)f\left( t \right)f(t)的Fourier级数表达式（同样收敛于f(t)f\left( t \right)f(t)）为
lim⁡T→∞[12T∑n=−∞∞einπtT∫−TTf(t)e−inπtTdt]\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{2T}\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{e}^{i\frac{n\pi t}{T}}}\int_{-T}^{T}{f\left( t \right){{e}^{-i\frac{n\pi t}{T}}}dt}} \right]T→∞lim[2T1n=−∞∑∞eiTnπt∫−TTf(t)e−iTnπtdt]

令ΔT=1T→0(T→∞)\Delta T=\frac{1}{T}\to 0\text{ }\left( T\to \infty \right)ΔT=T1→0 (T→∞)，则有
f(t)=lim⁡ΔT→0[12ΔT∑n=−∞∞einπt⋅ΔT∫−1/ΔT1/ΔTf(t)e−inπt⋅ΔTdt]=lim⁡ΔT→0[∑n=−∞∞(12einπt⋅ΔT∫−1/ΔT1/ΔTf(t)e−inπt⋅ΔTdt)ΔT]\begin{aligned} & f(t)=\underset{\Delta T\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{2}\Delta T\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{e}^{in\pi t\centerdot \Delta T}}\int_{-1/\Delta T}^{1/\Delta T}{f\left( t \right){{e}^{-in\pi t\centerdot \Delta T}}dt}} \right] \\ & =\underset{\Delta T\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\left( \frac{1}{2}{{e}^{in\pi t\centerdot \Delta T}}\int_{-1/\Delta T}^{1/\Delta T}{f\left( t \right){{e}^{-in\pi t\centerdot \Delta T}}dt} \right)\Delta T} \right] \\ \end{aligned}f(t)=ΔT→0lim[21ΔTn=−∞∑∞einπt⋅ΔT∫−1/ΔT1/ΔTf(t)e−inπt⋅ΔTdt]=ΔT→0lim[n=−∞∑∞(21einπt⋅ΔT∫−1/ΔT1/ΔTf(t)e−inπt⋅ΔTdt)ΔT]
令
h(T,ΔT)=12eiπt⋅T∫−1/ΔT1/ΔTf(t)e−iπt⋅Tdth\left( T,\Delta T \right)=\frac{1}{2}{{e}^{i\pi t\centerdot T}}\int_{-1/\Delta T}^{1/\Delta T}{f\left( t \right){{e}^{-i\pi t\centerdot T}}}dth(T,ΔT)=21eiπt⋅T∫−1/ΔT1/ΔTf(t)e−iπt⋅Tdt
则有
f(t)=lim⁡ΔT→0[∑n=−∞∞h(nΔT,ΔT)⋅ΔT]f(t)=\underset{\Delta T\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{h\left( n\Delta T,\Delta T \right)}\centerdot \Delta T \right]f(t)=ΔT→0lim[n=−∞∑∞h(nΔT,ΔT)⋅ΔT]

推导阶段2（不严格）

视角一（将黎曼积分的思想推广到无穷积分上）
在上述f(t)f\left( t \right)f(t)的Fourier级数表达式中，可将
∑n=−∞∞h(nΔT,ΔT)⋅ΔT\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{h\left( n\Delta T,\Delta T \right)\centerdot \Delta T}n=−∞∑∞h(nΔT,ΔT)⋅ΔT
视为关于h(x,y)h\left( x,y \right)h(x,y)的第一个变元xxx的广义黎曼和。具体地说，上式的意义是将(−∞,+∞)\left( -\infty ,+\infty \right)(−∞,+∞)分割成无限个区间，每个区间的长度均为ΔT\Delta TΔT，且每个区间可表示为kn=[(n−1)ΔT,nΔT],n∈Z{{k}_{n}}=\left[ \left( n-1 \right)\Delta T,n\Delta T \right],\text{ }n\in \mathbb{Z}kn=[(n−1)ΔT,nΔT], n∈Z，函数h(T,ΔT)h\left( T,\Delta T \right)h(T,ΔT)在kn{{k}_{n}}kn上取点Tn=nΔT{{T}_{n}}=n\Delta TTn=nΔT处的函数值h(nΔT,ΔT)h\left( n\Delta T,\Delta T \right)h(nΔT,ΔT)。
f(t)=lim⁡ΔT→0[∑n=−∞∞h(nΔT,ΔT)⋅ΔT]=∑n=−∞∞(lim⁡ΔT→0h(nΔT,ΔT)⋅ΔT)=∑n=−∞∞(lim⁡ΔT→0h(nΔT,0)⋅ΔT)=∫−∞∞h(T,0)dT=∫−∞∞(12eiπt⋅T∫−∞∞f(t)e−iπt⋅Tdt)dT\begin{aligned} & f\left( t \right)=\underset{\Delta T\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{h\left( n\Delta T,\Delta T \right)\centerdot \Delta T} \right] \\ & =\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\left( \underset{\Delta T\to 0}{\mathop{\lim }}\,h\left( n\Delta T,\Delta T \right)\centerdot \Delta T \right)} \\ & =\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\left( \underset{\Delta T\to 0}{\mathop{\lim }}\,h\left( n\Delta T,\text{ }0 \right)\centerdot \Delta T \right)} \\ & =\int_{-\infty }^{\infty }{h\left( T,0 \right)dT} \\ & =\int_{-\infty }^{\infty }{\left( \frac{1}{2}{{e}^{i\pi t\centerdot T}}\int_{-\infty }^{\infty }{f\left( t \right){{e}^{-i\pi t\centerdot T}}dt} \right)dT} \\ \end{aligned}f(t)=ΔT→0lim[n=−∞∑∞h(nΔT,ΔT)⋅ΔT]=n=−∞∑∞(ΔT→0limh(nΔT,ΔT)⋅ΔT)=n=−∞∑∞(ΔT→0limh(nΔT, 0)⋅ΔT)=∫−∞∞h(T,0)dT=∫−∞∞(21eiπt⋅T∫−∞∞f(t)e−iπt⋅Tdt)dT
部分疏漏之处
第二步中求极限和求和运算交换需要根据。一个思路是判断级数∑n=−∞∞h(nΔT,ΔT)⋅ΔT\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{h\left( n\Delta T,\Delta T \right)\centerdot \Delta T}n=−∞∑∞h(nΔT,ΔT)⋅ΔT关于ΔT\Delta TΔT在ΔT=0\Delta T=0ΔT=0的一个邻域U(0;δ)U\left( 0;\delta \right)U(0;δ)内一致收敛且每一项都连续。

视角二
f(t)=lim⁡ΔT→0[∑n=−∞∞h(nΔT,ΔT)⋅ΔT]=lim⁡ΔT→0+[∑n=−log⁡1/2ΔTΔTn∈Zlog⁡1/2ΔTΔTh(nΔT,ΔT)⋅ΔT]=lim⁡ΔT→0+∫−log⁡1/2ΔT−δ(ΔT)log⁡1/2ΔT−δ(ΔT)h(T,ΔT)dT(0≤δ(ΔT)≤ΔT)=∫−∞∞h(T,0)dT=∫−∞∞(12eiπt⋅T∫−∞∞f(t)e−iπt⋅Tdt)dT\begin{aligned} & f\left( t \right)=\underset{\Delta T\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{h\left( n\Delta T,\Delta T \right)\centerdot \Delta T} \right] \\ & =\underset{\Delta T\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \sum\limits_{\begin{matrix} n=-\frac{{{\log }_{1/2}}\Delta T}{\Delta T} \\ \text{ }n\in \mathbb{Z} \end{matrix}}^{\frac{{{\log }_{1/2}}\Delta T}{\Delta T}}{h\left( n\Delta T,\Delta T \right)\centerdot \Delta T} \right] \\ & =\underset{\Delta T\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\int_{-{{\log }_{1/2}}\Delta T-\delta \left( \Delta T \right)}^{{{\log }_{1/2}}\Delta T-\delta \left( \Delta T \right)}{h\left( T,\Delta T \right)dT}\text{ }\left( 0\le \delta \left( \Delta T \right)\le \Delta T \right) \\ & =\int_{-\infty }^{\infty }{h\left( T,0 \right)dT} \\ & =\int_{-\infty }^{\infty }{\left( \frac{1}{2}{{e}^{i\pi t\centerdot T}}\int_{-\infty }^{\infty }{f\left( t \right){{e}^{-i\pi t\centerdot T}}dt} \right)dT} \\ \end{aligned}f(t)=ΔT→0lim[n=−∞∑∞h(nΔT,ΔT)⋅ΔT]=ΔT→0+lim⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡n=−ΔTlog1/2ΔT n∈Z∑ΔTlog1/2ΔTh(nΔT,ΔT)⋅ΔT⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤=ΔT→0+lim∫−log1/2ΔT−δ(ΔT)log1/2ΔT−δ(ΔT)h(T,ΔT)dT (0≤δ(ΔT)≤ΔT)=∫−∞∞h(T,0)dT=∫−∞∞(21eiπt⋅T∫−∞∞f(t)e−iπt⋅Tdt)dT
部分疏漏之处
第一步到第二步的推导缺乏依据，第一步中的式子蕴含类似于累次极限的思想（先扩展求和极限后求ΔT\Delta TΔT极限），而第二步中的式子蕴含类似于重极限的思想（同时进行扩展求和极限，求ΔT\Delta TΔT极限）。这一步推导需要细细雕琢。

总结阶段

由上面的推导可得
f(t)=∫−∞∞(12eiπt⋅T∫−∞∞f(t)e−iπt⋅Tdt)dTf\left( t \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{\left( \frac{1}{2}{{e}^{i\pi t\centerdot T}}\int_{-\infty }^{\infty }{f\left( t \right){{e}^{-i\pi t\centerdot T}}dt} \right)dT}f(t)=∫−∞∞(21eiπt⋅T∫−∞∞f(t)e−iπt⋅Tdt)dT
同理也有
f(t)=∫−∞∞(12e−iπt⋅T∫−∞∞f(t)eiπt⋅Tdt)dTf\left( t \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{\left( \frac{1}{2}{{e}^{-i\pi t\centerdot T}}\int_{-\infty }^{\infty }{f\left( t \right){{e}^{i\pi t\centerdot T}}dt} \right)dT}f(t)=∫−∞∞(21e−iπt⋅T∫−∞∞f(t)eiπt⋅Tdt)dT
在此基础上，以第一条为例，定义
F(T)=∫−∞∞f(t)e−iπt⋅TdtF\left( T \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{f\left( t \right){{e}^{-i\pi t\centerdot T}}dt}F(T)=∫−∞∞f(t)e−iπt⋅Tdt
为f(t)f\left( t \right)f(t)的Fourier变换，此时有
f(t)=12∫−∞∞eiπt⋅TF(T)dTf\left( t \right)=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{i\pi t\centerdot T}}F\left( T \right)dT}f(t)=21∫−∞∞eiπt⋅TF(T)dT
是f(t)f\left( t \right)f(t)的Fourier逆变换（F(T)F\left( T \right)F(T)也是可积的）。

实际应用中，也可以采用下面的变换与逆变换公式
变换:F(T)=c∫−∞∞f(t)e−iπt⋅Tdt逆变换:f(t)=d∫−∞∞eiπt⋅TF(T)dTcd=12\begin{matrix} 变换:F\left( T \right)=c\int_{-\infty }^{\infty }{f\left( t \right){{e}^{-i\pi t\centerdot T}}dt} \\ \\ 逆变换:f\left( t \right)=d\int_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{i\pi t\centerdot T}}F\left( T \right)dT} \\ \\ cd=\frac{1}{2} \\ \end{matrix}变换:F(T)=c∫−∞∞f(t)e−iπt⋅Tdt逆变换:f(t)=d∫−∞∞eiπt⋅TF(T)dTcd=21

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傅里叶变换和逆变换公式的我理解意义
f(t)的傅里叶变换F(w)=∫ f(t) *e(-iwt)dt ,由于(1,sinwx,coswx,sin2wx,cos2wx,... sinnwx,cosnwx,....)是一组正交函数,傅里叶 ...
运算放大器的应用之：T形电阻网络公式的三种推导方法
上面公式怎么推导? 推导1:根据KCL/KVL定律当Vi单独作用时: 当VREF单独作用时: 根据叠加定理得: 推导2:利用戴维宁定理推导如下图所示,在A--B处把电路断开,然后,利用戴维宁定理, ...
点到直线距离公式的几种推导
【OpenCV 例程200篇】73. 二维连续傅里叶变换
[OpenCV 例程200篇]73. 二维连续傅里叶变换欢迎关注『OpenCV 例程200篇』系列,持续更新中欢迎关注『Python小白的OpenCV学习课』系列,持续更新中 2.1 二维 ...
【OpenCV 例程200篇】72. 一维离散傅里叶变换
[OpenCV 例程200篇]72. 一维离散傅里叶变换欢迎关注『OpenCV 例程200篇』系列,持续更新中欢迎关注『Python小白的OpenCV学习课』系列,持续更新中 1.3 一维 ...
C++实现 (FFT)一维快速傅里叶变换
一维离散傅里叶变换的公式为: 如果直接基于该定义进行编程实现,则算法时间复杂度为O(N2).具体的编程实现我们已经在<C++实现一维离散傅里叶变换>中介绍过了. 当一维信号长度达到几十万个 ...
谱分析——连续傅里叶变换
傅里叶变换(连续谱) [!] 以下笔记内容可能会出现部分错误的地方,恳请各位师生批评指正,谢谢! 部分内容摘录自Wiki 主要内容连续傅里叶变换连续傅里叶变换的性质连续傅里叶变换傅里叶变换源自 ...
连续傅里叶变换和离散傅里叶变换的关系
今天复习了一下连续傅里叶变换和离散傅里叶变换的关系. 定义一个间隔为a的无限冲激序列串函数S(ta)=∑n=−∞∞δ(na−t)=∑n=−∞∞δ(a(n−ta))=∑n=−∞∞1aδ(n−ta)S(\ ...
Python音频信号处理 1.短时傅里叶变换及其逆变换
短时傅里叶变换及其逆变换本篇文章主要记录了使用python进行短时傅里叶变换,分析频谱,以及通过频谱实现在频域内降低底噪的代码及分析,希望可以给同样在学习信号处理的大家一点帮助,也希望大家对我的文章 ...

一维连续傅里叶变换和逆变换公式的一种推导

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