八数码问题

在一个3*3的棋盘上放置编号为1~8的八个方块，每个方块占一格，另外还有一个空格。与空格相邻的数字方块可以移动到空格上。任务一：指定初始棋盘和目标棋盘，计算出最少的移动步数；任务2：输出数码的移动序列。

把空格看成0，一共9个数字。

输入样例：
1 2 3 0 8 4 7 6 5
1 0 3 8 2 4 7 6 5
输出样例
2
把一个棋局看成一个状态图，总共有9！=362880个状态。从初始棋局开始，每次移动转到下一个状态，到达目标棋局后停止。

下图是样例的转移过程。该图的起点为（A，0），A表示状态,即{1 2 3 0 8 4 7 6 5}这个棋局；0是距离起点的步数。从初始状态A出发，移动数字0到邻居位置，按上下左右的顺序，有3个转移状态B，C，D；目标状态是F，停止。

用队列描述这个BFS过程：

（1）A进队，当前队列是{A};

（2）A出队，A的邻居B，C，D进队，当前队列是{B，C，D}，步数为1；

（3）B出队，E进队，当前队列是{C，D，E}，E的步数是2；

（4）C出队，转移到F，检验F是目标状态，停止，输出F的步数2。

仔细分析上述过程，发现从B状态出发实际上有E，X两个转移方向，而X正好是初始状态A，重复了。同理Y状态也是重复的。如果不去掉这些重复状态，程序会产生很多无效操作，复杂度大大增加。因此，八树码的重要问题其实是判重。

如果用暴力的方法判重，每次把新状态与9！=362880个状态对比，可能有9！*9！次检查，不可行。因此需要一个快速的判断方法。本文章使用数学方法“康托展开”来判重。
代码实现如下

#include<Bits.h>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int LEN = 362880;//状态共9！=362880种
struct node {int state[9];//记录一个八数码的排列，即一个状态int dis;//记录到起点的距离
};int dir[4][2] = { {-1,0},{0,-1},{1,0},{0,1} };//左、右、上、下顺时针方向，左上角的坐标为（0，0）
int visited[LEN];//与每个状态对应的记录，Cantor()函数对它置数，并判重
int start[9];//开始状态
int goal[9];//目标状态
long int factoty[] = { 1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880 };//康托用到的常数bool Cantor(int str[], int n) {long result = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {int counted = 0;for (int j = i + 1; j < n; j++) {if (str[i] > str[j])++counted;}result += counted * factoty[n - i - 1];}if (!visited[result]) {visited[result] = 1;return 1;}elsereturn 0;
}int bfs() {node head;memcpy(head.state, start, sizeof(head.state));//复制起点的状态head.dis = 0;queue<node> q;//队列中的内容是记录状态Cantor(head.state, 9);//用康托展开判重，目的是对起点的visited[]赋初值q.push(head);while (!q.empty()) {head = q.front();if (memcmp(head.state, goal, sizeof(goal)) == 0)//与目标状态对比return head.dis;//到达目标状态，返回距离，结束q.pop();int z;for (z = 0; z < 9; z++)//寻找0的位置if (head.state[z] == 0)break;int x = z % 3;//横坐标int y = z / 3;//纵坐标for (int i = 0; i < 4; i++) {int newx = x + dir[i][0];//元素0转移后的新坐标int newy = y + dir[i][1];int nz = newx + (3 * newy);//转化为一维if (newx >= 0 && newx < 3 && newy >= 0 && newy < 3) {//未越界node newnode;memcpy(&newnode, &head, sizeof(struct node));//复制这个新的状态swap(newnode.state[z], newnode.state[nz]);//把0移动到新的位置newnode.dis++;if (Cantor(newnode.state, 9))//用康托展开判重q.push(newnode);//把新的状态放入队列}}}return -1;//没找到
}int main() {memset(visited, 0, sizeof visited);for (int i = 0; i < 9; i++)cin >> start[i];//初始状态cout << "终态";for (int j = 0; j < 9; j++)cin >> goal[j];//目标状态int num = bfs();if (num != -1)cout << num << endl;else cout << "Impossible" << endl;return 0;
}

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