乘积

题目背景

\(\mathrm{Smart}\) 最近在潜心研究数学， 他发现了一类很有趣的数字， 叫做无平方因子数。 也就是这一类数字不能够被任意一个质数的平方整除， 比如\(6\)、\(7\)、\(10\)都是无平方因子数， 而\(12\)则不是。

题目描述

所以 \(\mathrm{Smart}\) 在思考一个问题——选择不超过 \(K\) 个 \(N\) 以内的正整数乘起来， 使得乘积是一个无平方因子数， 有多少种取法？ （每个数只能取一次）

输入输出格式

输入格式

第一行一个整数 \(T\) 表示数据组数。
接下来 \(T\) 行， 每行两个整数 \(N\),\(K\)， 意思如题面所述。

输出格式

对于每一组数据， 输出一个整数表示取法的方案数对 \(10^9+7\) 取模后的数值。

说明

\(10\%\)的数据： \(N≤8\)；

\(40\%\)的数据： \(N≤16\)；

\(70\%\)的数据： \(N≤30\)；

\(100\%\)的数据： \(1≤T≤5\)； \(1≤K≤N≤500\)。

70pts 有非常多种搞法，然而状压是最难写的但是最可能继续玩出正解的。。

可是我太菜，比赛时写了个麻烦的状压

\(dp[i][j][s]\)代表前\(i\)个数选择了\(j\)个素数状态为\(s\)的方案数

Code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N=502;
int num[30][10],dat[30];
int pri[N],is[N],v[N],cnt,tot;
int div[N][100];
void init()
{for(int i=2;i<=500;i++){if(!is[i]){pri[++cnt]=i;v[i]=i;}for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=500;j++){if(v[i]<pri[j]) break;v[i*pri[j]]=pri[j];is[i*pri[j]]=1;}}for(int i=2;i<=500;i++){int t=i;for(int j=1;j<=cnt;j++)while(t%pri[j]==0)div[i][j]++,t/=pri[j];}for(int i=2;i<=33;i++){int flag=1;for(int j=1;j<=12;j++)if(div[i][j]>1) {flag=0;break;}if(!flag) continue;++tot;dat[tot]=i;for(int j=1;j<=12;j++)if(div[i][j])num[tot][j]=1;}
}
int mod=1e9+7;
int n0,k;
int dp[20][20][1200];
void work()
{scanf("%d%d",&n0,&k);int l=0,n=0;for(int i=1;;i++)//素数长度上界{if(pri[i]<=n0) ++l;else break;}for(int i=1;;i++)//选数个数上界{if(dat[i]<=n0) ++n;else break;}k=(k<=n?k:n);memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=0;i<=n;i++) dp[i][0][0]=1;int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)//前i个数for(int j=1;j<=k;j++)//取了j个for(int s=1;s<1<<l;s++)//素数集合状态{int las=s,flag=1;dp[i][j][s]=dp[i-1][j][s];for(int q=1;q<=l;q++)if(num[i][q])//如果这一位是1{if((s>>q-1)&1) las^=1<<q-1;//变成0else {flag=0;break;}}if(flag) (dp[i][j][s]+=dp[i-1][j-1][las])%=mod;}for(int i=1;i<=k;i++)for(int s=1;s<1<<l;s++){if(i!=k) (ans+=dp[n][i][s]<<1)%=mod;else (ans+=dp[n][i][s])%=mod;}printf("%d\n",ans+1);
}
int main()
{freopen("mult.in","r",stdin);freopen("mult.out","w",stdout);init();int t;scanf("%d",&t);while(t--)work();return 0;
}

而正解只是运用分组背包的思想

注意到大于19的质数只可能出现一个

那我们实际上就只需要找到状压2,3,5,7,11,13,17,19这几个素数就行了

其他大于19的素数按照这个素数进行分组，剩下的同时按前几个素数做就可以了

很巧妙的思想，然而数据不好造，答案一样的期望炒鸡高

Code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#define ll long long
const int N=500;
const ll mod=1e9+7;
const int pri[9]={0,2,3,5,7,11,13,17,19};
using namespace std;
vector <int > g[N+10];
int belong[N+10],sta[N+10],n,k;
void init()
{memset(belong,0,sizeof(belong));memset(sta,0,sizeof(sta));for(int i=1;i<=N;i++) g[i].clear();for(int i=1;i<=n;i++){belong[i]=i;for(int j=1;j<=8;j++){if(i%(pri[j]*pri[j])==0) {sta[i]=-1;break;}else if(i%pri[j]==0) {belong[i]/=pri[j];sta[i]|=1<<j-1;}}}for(int i=1;i<=n;i++){if(~sta[i]){if(belong[i]!=1)g[belong[i]].push_back(sta[i]);elseg[i].push_back(sta[i]);}}
}
ll dp[N+10][256];
void work()
{scanf("%d%d",&n,&k);init();memset(dp,0,sizeof(dp));dp[0][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=k;j;j--)for(int s=255;~s;s--){if(!dp[j][s]) continue;for(int l=0;l<g[i].size();l++){int now=g[i][l];if(now&s) continue;(dp[j][now|s]+=dp[j-1][s])%=mod;}}    }ll ans=0;for(int i=1;i<=k;i++)for(int s=0;s<=255;s++)(ans+=dp[i][s])%=mod;printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{//freopen("mult.in","r",stdin);//freopen("mult.out","w",stdout);int t;scanf("%d",&t);while(t--)work();return 0;
}

2018.8.20