一般线性模型（general linear model，GLM）

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广义线性模型与一般线性模型（前言）
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广义线性模型与一般线性模型（前言）

广义线性模型(generalizedlinear models，GLM)是对普通线性回归的一种灵活的推广，它允许有误差分布模型且非正态分布的响应变量。广义线性模型通过允许线性模型通过连接函数（link function）与响应变量的相关以及允许每个测量的方差的大小作为其预测值的函数来推广线性回归。
公式为：
E(Y)=g−1(Xβ)E(Y)=g^{-1}(X\beta)E(Y)=g−1(Xβ)
其中E(y)为y的期望值，Xβ是由未知待估计参数β与已知变量X构成的线性估计式，g则为连接函数。也就是说，广义线性模型由两个部分构成：1、线性模型；2、连接函数（可以非线性）。其中的连接函数取决于Y的分布。
而一般线性模型（general linear model，GLM）的公式为：
Y=XB+UY = XB + UY=XB+U
其中Y是一个包含因变量的矩阵。X是一个包含独立自变量的设计矩阵。B是一个包含多个估计参数的矩阵。U 是一个包含误差和剩余项的矩阵。
一般线性模型只包含广义线性模型的线性部分。当Y服从正态分布时，广义线性模型中的连接函数便为一个恒等式，也就是g(E(y))=y，此时广义线性模型就成了一个一般线性模型。也就是说，一般线性模型是一种特殊的广义线性模型模型，是广义线性模型的子集。而在脑影像研究中，我们只用到了广义线性模型的这种特殊形式，也就是一般线性模型（general linearmodel，GLM）。
从前文的公式中，我们可以发现，一般线性模型，就是将因变量Y分解为多个回归因子x与其在模型中的比重参数β的乘积的连加形式，并通过广义最小二乘法等算法将误差项ε降到最低的方式来拟合的模型。在fMRI研究中，此处的回归因子可以是一阶分析时任务态的源信号矩阵（onset与HRF的卷积）、逐时间点的头动参数；也可以是组水平统计（二阶分析）时的分组设计以及组水平的协变量如年龄/性别/病程/教育年限等。

reference

大话脑影像之十九：GLM（上）.
fMRI Note】Module 16 一般线性模型在fMRI上的应用
Module 15 General Linear Model
http://www.360doc.com/content/20/0619/07/67596171_919293926.shtml

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