零点定理

如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即至少存在一个c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根。

罗尔定理

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0

罗尔定理推论

若在区间I上f(x)的n阶导数不等于0，则方程f(x)=0在I上最多有n个实根

拉格朗日中值定理

如果函数 f(x) 满足：

1)在闭区间[a,b]上连续；

2)在开区间(a,b)内可导。

那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，

使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。

（或存在0<h<1，使f(b)-f(a)=f′(a+h(b-a))(b-a) 成立

拉格朗日中值定理的几何意义是：曲线上必然存在至少一点，过该点的切线的斜率和连接曲线（a，b）的割线的斜率相同；或者说，曲线上必然存在至少一点可以做割线（a，b）的平行线

柯西中值定理

如果函数 f(x) 满足：

1)在闭区间[a,b]上连续；

2)在开区间(a,b)内可导。

那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，

使等式 f(b)-f(a) / g(b)-g(a)=f′(ξ)/g′(ξ) 成立

几何意义：用参数方程表示的曲线上至少有一点，在这一点处的切线平行于连接两个端点的弦

洛必达法则

泰勒公式（中值定理）

泰勒级数的唯一性

将函数展开成泰勒级数，是唯一的展开式。

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