目录

1 鲁棒市场出清问题

1.1 鲁棒优化模型

1.2 不确定集

2 自适应鲁棒市场出清优化问题

2.1 模型构建

2.2 对偶方法

2.3 如何处理min-max问题

3 机会约束方法 CCP

3.1 模型构建

3.2 求解方法

4 分布式鲁棒优化

4.1 模型构建

4.2 随机规划、鲁棒优化和分布式鲁棒优化的关系：

4.3 如何构建一个歧义集

4.3.1 基于度量的方法

4.3.2 基于矩的方法

本系列已发表文章列表：

Lecture01：市场出清问题的优化建模

Lecture1b: 如何由原始线性规划模型得到最优条件和对偶问题

Lecture02：均衡问题-优化问题以及KKT等价

Lecture03: 市场出清机制的理想特性

Lecture05：随机市场出清_运筹码仓的博客-CSDN博客

本节目标：

  1. 定义鲁棒优化问题
  2. 处理鲁邦问题的三种方法
  3. 求解鲁邦优化问题
  4. 定义机会约束规划并描述它与鲁棒优化和随机规划的区别
  5. 定义分布式鲁棒优化并描述两个不同的歧义集

首先介绍几份参考资料：

  1. Conejo, A. J., Carrión, M., & Morales, J. M. (2010). Decision making under uncertainty in electricity markets (Vol. 1, pp. 376-384). New York: Springer.
  2. Morales, J. M., Conejo, A. J., Madsen, H., Pinson, P., & Zugno, M. (2013). Integrating renewables in electricity markets: operational problems (Vol. 205). Springer Science & Business Media.
  3. Nemirovski, A. (2012). Lectures on robust convex optimization. Lecture notes. Georgia Institute of Technology. [pdf]
  4. Shapiro, A., Dentcheva, D., & Ruszczynski, A. (2021). Lectures on stochastic programming: modeling and theory. Society for Industrial and Applied Mathematics.

1 鲁棒市场出清问题

1.1 鲁棒优化模型

我们优化的不是期望，而是最坏的情形。

基于场景的鲁棒市场出清问题的数学模型如下：

优化上述模型得到的解为：

鲁棒模型得到了更高的成本，但他满足了所有的场景。

在随机规划中，我们使用一组场景来描述不确定集；如果更换场景组，将可能得到完全不同的解。因此，表征场景集合的选择至关重要。但是，实际中，我们找到准确表征不确定性的场景集合是不现实的。

在鲁棒优化中，得到的解对于最差的场景是最佳的，对其他别的场景仅仅是可行的。因此，我们在鲁棒优化中不适用场景，而是使用不确定集来描述不确定性；最终实现的是在给定的不确定集下，优化最坏的情形。

1.2 不确定集

一维的情形：

二维的情形：最糟糕的情况出现在(0,0)位置。

我们的目标是：

  1. 对于不确定集中最糟糕的情形，生成最优解
  2. 最优解对不确定集内的任何实例，都是可行的

实际的不确定集要远比BOX不确定复杂。我们需要根据经验数据，构造不确定集。

2 自适应鲁棒市场出清优化问题

2.1 模型构建

那么我们如何构建一个不包含任何场景的鲁棒优化问题呢？

首先针对实时调度问题：

注解：

  1. 如果对 W 取最糟糕的情况，Inner problem是可行的；那么，对于不确定集中的所有情况都是可行。其原因为：Inner problem 是一个凸问题，最差的 W 时可行，那么随着W的变化，Inner problem是单调的。但是如果保证不了Inner problem的凸性，则无法保证不确定集对所有的Inner problem是可行的。
  2. Outer problem 最大化是因为，我们要优化最坏的成本。
  3. W 对于Inner problem 是参数，对Outer problem是决策变量

进一步，我们可以写出整个问题的模型：

这是一个 min-max-min 的问题，十分难以求解。我们应该如何处理它呢？有两种策略：

  1. 将Inner problem进行对偶化，将RT阶段的问题转为max-max问题；从而实现将RT合并为一个问题
  2. 将Inner problem使用KKT条件代替，将问题转化为一个min-max的问题。

2.2 对偶方法

下面介绍对偶的方法，原始Inner problem为：

其中 W 和 DA 是参数；进行对偶化，我们得到：

替换到原始模型中，有：

替换之后，合并max-max，有：

此时，我们得到了一个min-max问题。现在W和原始Inner problem的对偶变量，变成了合并问题的决策变量。这样我们得到了一个非线性规划问题。但是，如果我们固定一个变量，则合并问题就可以变成一个线性问题。

因为线性规划的可行解一定是在可行域的顶点上，我们只需讨论它的顶点即可。

参见文献95~98页：Morales, J. M., Conejo, A. J., Madsen, H., Pinson, P., & Zugno, M. (2013). Integrating renewables in electricity markets: operational problems (Vol. 205). Springer Science & Business Media.

顶点的个数为个。注意：合并问题虽然由 W和原始Inner problem的对偶变量 联合构成可行域，但是他们在第一阶段决策是相互独立。

2.3 如何处理min-max问题

如有兴趣，可参考阅读以下文献：

KKT方法参考资料：

Ruiz, C., & Conejo, A. J. (2015). Robust transmission expansion planning. European Journal of Operational Research, 242(2), 390-401.

对偶方法：

  1. Bertsimas, D., Litvinov, E., Sun, X. A., Zhao, J., & Zheng, T. (2012). Adaptive robust optimization for the security constrained unit commitment problem. IEEE transactions on power systems, 28(1), 52-63.
  2. Jiang, R., Wang, J., & Guan, Y. (2011). Robust unit commitment with wind power and pumped storage hydro. IEEE Transactions on Power Systems, 27(2), 800-810.
  3. Zugno, M., & Conejo, A. J. (2015). A robust optimization approach to energy and reserve dispatch in electricity markets. European Journal of Operational Research, 247(2), 659-671.

总结：

  1. 我们得到的最优解是不确定集中最差情况的解。
  2. 对于不确定集中的其他解，这个最优解仅仅是一个可行解
  3. 我们如何减少方案的保守程度：构架一个结构良好的不确定集。

3 机会约束方法 CCP

在这种优化问题下，一些约束是在    水平上，以一定的概率被满足；它通过允许一些约束在不确定集中，违背  个情形，拓展了鲁棒优化模型的可行域。

3.1 模型构建

机会约束的表述形式为：

如果   等于0 ，机会约束问题将转化为鲁棒优化问题。

回到我们的电力模型，它对应的机会约束模型为：

在上述问题中，机会约束之间是相互独立(individual)的，而不是联合(joint)的。

3.2 求解方法

方法一：分析重构方法

该重构方法得到的是一个second‐order code program (SOCP)问题，在一定情况下，可退化为线性规划问题。

  1. Nemirovski, A., & Shapiro, A. (2007). Convex approximations of chance constrained programs. SIAM Journal on Optimization, 17(4), 969-996.
  2. Roald, L. A. (2016). Optimization methods to manage uncertainty and risk in power systems operation (Doctoral dissertation, ETH Zurich).

方法二：基于采样的方法

方法特点：不假设任何先验分布，目标函数中的期望值通过采样随机近似方法SAA处理，机会约束通过采样和近似的方法处理。

采样数目采用如下公式来确定：

Margellos, K., Goulart, P., & Lygeros, J. (2014). On the road between robust optimization and the scenario approach for chance constrained optimization problems. IEEE Transactions on Automatic Control, 59(8), 2258-2263.

针对一个标准的 IEEE 24‐node RTS system with 6 wind farms， β=0.0001, ε=0.05 and 24 time periods，需要采用次数 N = 86,956 samples。而且我们还必须保证样本外分析能够实施，因此实际采样数目可能远大于计算出来的N值。这又带来了另外一个问题，过多的采样数目对应的就是维度灾难。未来，我们将使用分解技术进行处理。

因为我们知道N，当然，我们也就可以通过N来拟合出不确定集。从而就可以将机会约束问题转化Wie鲁棒优化问题。相反，如果我们想降低鲁棒优化问题的保守型，我们也可以将其转化为一个机会约束模型。

  1. Bienstock, D., Chertkov, M., & Harnett, S. (2014). Chance-constrained optimal power flow: Risk-aware network control under uncertainty. Siam Review, 56(3), 461-495.
  2. Ben-Tal, A., & Nemirovski, A. (2002). Robust optimization–methodology and applications. Mathematical programming, 92(3), 453-480.
  3. Beyer, H. G., & Sendhoff, B. (2007). Robust optimization–a comprehensive survey. Computer methods in applied mechanics and engineering, 196(33-34), 3190-3218.
  4. Mulvey, J. M., Vanderbei, R. J., & Zenios, S. A. (1995). Robust optimization of large-scale systems. Operations research, 43(2), 264-281.

当N比较小，我们又不知道概率分布的假设时，我们需要使用分布式鲁棒优化来处理不确定性。

4 分布式鲁棒优化

DRO不假设不确定性符合任何既定的概率分布，它使用一个分布簇来描述不确定性。我们依旧假设以某种水平满足某些约束。鲁棒优化与分布式鲁棒优化的区别在于：

  1. RO 是基于给定的不确定集(uncertainty set)； DRO 是基于给定的歧义集(ambiguity set)
  2. RO 优化的是最糟糕情况的成本；DRO 优化的是最糟糕情形的期望成本

4.1 模型构建

回到我们的例子，对应的DRO模型为：

歧义集中只有一个分布时，问题等价于一个随机规划问题。

解DRO问题，我们实际要做的是：

  1. 确定歧义集中最差的分布，优化相应的最差分布的期望。【So, we determine the worst distribution within the ambiguity set, and optimize the problem in expectation with respect to such a worst distribution!】
  2. 最糟糕分布得到的分布式机会约束，未必同时满足其他分布式机会约束或目标函数。【The worst distribution obtained for a DRCC might not be necessarily the same as that of
    other DRCCs or that of the objective function!】

4.2 随机规划、鲁棒优化和分布式鲁棒优化的关系：

  • By enlarging the ambiguity set, does the solution of DRO converges towards the solution of a robust optimization?
  • By shrinking the ambiguity set, does the solution of DRO converges towards the solution of a stochastic program?
  • DRO somehow provided a generalized model, linking robust optimization and stochastic programming!

4.3 如何构建一个歧义集

有两种方法：其一为，基于度量的歧义集；其二为，基于矩的歧义集。

4.3.1 基于度量的方法

Wasserstein distance,被用来衡量两个分布有多接近。

黄色圆球的中心表示我们的历史数据，ρ 表示我们的经验分布的半径，由此构建一个歧义集。

建立的问题是一个凸问题，可以使用一些技术进行线性化。

4.3.2 基于矩的方法

参考资料：

  1. Xie, W., & Ahmed, S. (2017). Distributionally robust chance constrained optimal power flow with renewables: A conic reformulation. IEEE Transactions on Power Systems, 33(2), 1860-1867.
  2. Zymler, S., Kuhn, D., & Rustem, B. (2013). Distributionally robust joint chance constraints with second-order moment information. Mathematical Programming, 137(1), 167-198.
  3. Esfahani, P. M., & Kuhn, D. (2018). Data-driven distributionally robust optimization using the Wasserstein metric: Performance guarantees and tractable reformulations. Mathematical Programming, 171(1), 115-166.
  4. Zhang, Y., Shen, S., & Mathieu, J. L. (2016). Distributionally robust chance-constrained optimal power flow with uncertain renewables and uncertain reserves provided by loads. IEEE Transactions on Power Systems, 32(2), 1378-1388.

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