Splendor宝石游戏的策略分析

《璀璨宝石》是一个很好玩的游戏，易于上手并难以精通。游戏中出现的各种场景，常常成为我们讨论分析的战场，由此也引申出各种策略流派。孰好孰坏一直争论不休。
下面，我们针对一个具体的案例，尽量从客观分析各种决策的优劣，并与主观直觉进行比较，从而得出一些有用的经验模式。

桌面牌:

分值	增益	黑	红	绿	蓝	白
0	绿	-	3	-	-	-
0	蓝	2	-	-	-	-
2	黑	-	3	5	-	-

此外，还有一块4红4绿的贵族牌，3分。

手牌:

分值	增益	黑	红	绿	蓝	白
4	红	-	3	6	3	-
5	红	-	3	7	-	-

资源：积累（可用资金）

分值	黑	红	绿	蓝	白
9	-(2)	2(3)	5(1)	-(2)	-

游戏的胜利条件是，率先完成15分者胜。若单轮次有多人同时完成15分，则分高者胜。
在进行策略分析之前，我们先进行一个简单的博弈比较。
假设我完成15分需要N轮，而对手需要M轮。如果我的选择有两种，一种是N=3（第3轮15分，第4轮15分），另一种是N=4（第3轮14分，第4轮21分）。那么，考虑到对手的情况，我应该如何决策呢？

博弈表：

-	M=3	M=4
N=3	比较分值	必胜
N=4	必输	比较分值

从博弈表可以看出：

当对手M=3时，我方N=3优于N=4。
当对手M=4时，我方N=3优于N=4。

所以，无论对手如何选择，我方都应该选择N=3的决策。也就是说，如果我方能够3轮完成15分，就绝不选择4轮完成21分。

那么，对于前述案例，我们的首要目标就是尽量3轮完成15分，次要目标是4轮完成21分。
分析方法是，对各种决策成功的概率进行估算，再对综合收益进行分析比较，得出合理决策选择。

最高分值方案： 4轮21分

轮次	动作	分值	黑	红	绿	蓝	白
0	-	9	-(2)	2(3)	5(1)	-(2)	-
1	买绿0分（1红）	9	-(2)	2(2)	6(1)	-(2)	-
2	取 1蓝	9	-(2)	2(2)	6(1)	-(3)	-
3	买红5分（1红1绿）	14	-(2)	3(1)	6(0)	-(3)	-
4	买红4分（3蓝）+贵族3分	21	-(2)	4(1)	6(0)	-	-

在确定我方及对方均无法在3轮以内完成15分时，可以采取这种方案。
可以看到，第1轮，买绿0分为关键。可以为后续第3、4轮买6、7绿打下基础。如果第1轮买不到绿色，可以直接取2绿。第2轮如果取不到蓝色，也可以囤手牌取金色。总之前2轮可以选择的方法有很多。第4轮积累下4红4绿，就可以抢到贵族牌了。
这个方案，快速买到手牌是关键目标。高分值以及颜色可以帮助获胜。

最短轮数方案：3轮15分
大致分为4个选择分支，即第1轮分别选择绿0分，蓝0分，黑2分，取资金。

A方案：绿0分

轮次	动作	分值	黑	红	绿	蓝	白
0	-	9	-(2)	2(3)	5(1)	-(2)	-
1	买绿0分（1红）	9	-(2)	2(2)	6(1)	-(2)	-
2	买黑2分（1红）	11	1(2)	2(1)	6(1)	-(2)	-
3	买红5分（1红1绿）	16	1(2)	3(0)	6(0)	-(2)	-

~
B方案：蓝0分

轮次	动作	分值	黑	红	绿	蓝	白
0	-	9	-(2)	2(3)	5(1)	-(2)	-
1	买蓝0分（2黑）	9	-	2(3)	5(1)	1(2)	-
2	买黑2分（1红）	11	1	2(2)	5(1)	1(2)	-
3	买红4分（1红1绿2蓝）	15	1	3(1)	5(0)	1	-

~
C方案：黑2分

轮次	动作	分值	黑	红	绿	蓝	白
0	-	9	-(2)	2(3)	5(1)	-(2)	-
1	买黑2分（1红）	11	1(2)	2(2)	5(1)	-(2)	-
2	取 1绿	11	1(2)	2(2)	5(2)	-(2)	-
3	买红5分（1红2绿）	16	1(2)	2(1)	5(0)	-(2)	-

~
D方案：取资金

轮次	动作	分值	黑	红	绿	蓝	白
0	-	9	-(2)	2(3)	5(1)	-(2)	-
1	取 1绿	9	-(2)	2(3)	5(2)	-(2)	-
2	买黑2分（1红）	11	1(2)	2(2)	5(2)	-(2)	-
3	买红5分（1红2绿）	16	1(2)	2(1)	5(0)	-(2)	-

分析：

A,B,C,D四个方案中，买黑2分都是关键一步。
在无对手干扰的情况下，A,C,D优于B，3轮完成16分。
A,B,D三个方案中，在有对手干扰的情况下（假设对方能考虑到我方的策略），对方就会在关键第2轮抢占黑2分。

如果对手抢占了黑2分，我方的情况就陷入被动。

可以做一个假设，在没有黑2分的情况下，我方能否3轮内完成15分？

做一个简单分析：

能够取得分值的牌为，红4分，红5分，贵族3分。
取得贵族牌的条件是，3轮买到2红牌，也意味着有2轮分别买了红4分，红5分。
买到15分的条件是，3轮买到6分（红4分+红5分），或者买到3分+贵族3分（红4分+红5分）。
综合前两个条件，3轮内必须买出红4分+红5分。
如果3轮其中2轮用来买分，则只有1轮可以取资金。
考虑到买红4分+红5分至少需要1红3绿3蓝，即表示1轮内必须筹集到足够资金。此时手头资金为3红1绿2蓝，尚缺2绿1蓝。而1轮只可以选择1绿1蓝，或者2绿。即无法在1轮内获取足够资金。

所以，在没有黑2分的情况下，我方无法3轮内完成15分。

那么，简单分析下，C方案买黑2分是唯一正确的决策。而B方案，是最差的决策，A和D方案是中等的决策。

可以看到，从主观直觉上（从最高分值方案考虑），我们倾向于优先买绿0分，因为可以为后续买高分6、7绿打基础。但是通过严谨分析之后，可以发现这并不是最优决策。而最好的方案往往是反直觉的，在本例中，就是黑2分。
至此，我们可以总结出一些博弈决策方法和原则，以帮助每次的策略选择。

通过直觉选择最高分值方案，描绘出大致思路，计算出有效抵达路径。将得到的结果作为主要指导方向。
对前面得到的主要路径，进行发散思维，寻找扩展路径。将发现的较短路径，记录、整理和归纳。
分析已收集的路径，寻找共同的路径点，将其标记为关键点。
精密计算出到达关键点的最短路径，并考虑从非关键点迷失路径（对手干扰）的概率。
将各种决策的收益-概率做表图加权分析，选择综合收益最大的决策。

收益-概率表：

方案	收益	成功率（无干扰）	收益	成功率（干扰）	注解
A	3轮16分	20%	4轮21分	80%	6绿积累后，立刻引起对手注意
B	3轮15分	70%	5轮21分	30%	无绿入手，不易引起对手注意
C	3轮16分	90%	4轮21分	10%	对手很难将桌面资金抽空
D	3轮16分	50%	4轮21分	50%	手上资金过多，易引起对手注意

收益分析：

综合收益值=∑(分数轮次 2 ×成功率) \sum(\frac{分数}{轮次^2}\times{成功率})

A = 163 2  ×20%+214 2  ×80% \frac{16}{3^2}\times{20\%} + \frac{21}{4^2}\times{80\%} = 1.40
B = 163 2  ×70%+215 2  ×30% \frac{16}{3^2}\times{70\%} + \frac{21}{5^2}\times{30\%} = 1.50
C = 163 2  ×90%+214 2  ×10% \frac{16}{3^2}\times{90\%} + \frac{21}{4^2}\times{10\%} = 1.73
D = 163 2  ×50%+214 2  ×50% \frac{16}{3^2}\times{50\%} + \frac{21}{4^2}\times{50\%} = 1.55

从综合收益分析得出：
C是最优方案，D是较优方案，B是较差方案，A是最差方案。

也就是说，优先买黑2分。如果买不到就取资金。直接买蓝0分和买绿0分都是不好的方案，而先买绿0分是最差的方案。

这里，我们可以与本文一开始提到的主观直觉比较，A方案是一个直觉上优先的方案，却是综合收益分析后最差的方案。C方案是一个直觉难以理解的方案，却是综合分析后最好的方案。
再一次印证了，分析法下，优势方案往往是反直觉的。

分析到此还没有结束。宝石这个游戏之所以吸引我们玩了这么长时间，在于它的条件多样性。
下面，我们尝试稍微改变案例中的某一个条件，来重新分析计算对应的策略。

方式一：改变资金储备
1. 将2蓝资金改为3蓝资金。优势策略如下：

轮次	动作	分值	黑	红	绿	蓝	白
0	-	9	-(2)	2(3)	5(1)	-(3)	-
1	买绿0分（1红）	9	-(2)	2(2)	6(1)	-(3)	-
2	买红5分（1红1绿）	14	-(2)	3(1)	6(0)	-(3)	-
3	买红4分（3蓝）+贵族3分	21	-(2)	4(1)	6(0)	-	-

（买绿0分也可以用取2绿替代，前提是桌面有4绿，案例中确实有）
此方案最好，就是最高分值方案的3轮实现。也是现实案例中为什么需要买（取）1蓝的原因。
可以看出，在这种条件下，A方案，先买绿0分，突然变成最优选择了。
~
2. 将1绿资金改为2绿资金，优势策略如下：

轮次	动作	分值	黑	红	绿	蓝	白
0	-	9	-(2)	2(3)	5(2)	-(2)	-
1	取 1绿1蓝	9	-(2)	2(3)	5(3)	-(3)	-
2	买红5分（1红2绿）	14	-(2)	3(2)	5(1)	-(3)	-
3	买红4分（1绿3蓝）+贵族3分	21	-(2)	4(2)	5(0)	-	-

（需要前提是，桌面同时有绿和蓝，案例中确实有）
此方案也最好，和上面的方案有异曲同工之妙。
可以看出，在这种条件下，D方案，先取资金，突然变成最优选择了。
~
3. 将3红资金改为2红资金：
优势策略仍为C方案。
但是，A方案的综合收益将变为更差，3轮16分的成功率为0%。

轮次	动作	分值	黑	红	绿	蓝	白
0	-	9	-(2)	2(2)	5(1)	-(2)	-
1	买绿0分（1红）	9	-(2)	2(1)	6(1)	-(2)	-
2	买黑2分（1红）	11	1(2)	2(0)	6(1)	-(2)	-
3	资金不足红5分（1红1绿）	11	1(2)	2(0)	6(1)	-(2)	-
3	资金不足红4分（1红3蓝）	11	1(2)	2(0)	6(1)	-(2)	-

换句话说，在红资金紧张的情况下，用1红去换1绿是会出问题的。
只注意绿的资金储量（而不考虑红和蓝的资金储量），将导致失败率大大提升。
正确的策略是，直接取2绿资金，而不是买1绿。所以，平时要仔细计算所需总代价，并时刻关注资金保有量。避免关键时刻“断供”的危机。

方式二：改变桌面牌组
将绿0分（3红）改为绿1分（4红）
这时策略分析发生了巨大变化，出现了一个可以2轮15分的方案：

轮次	动作	分值	黑	红	绿	蓝	白
0	-	9	-(2)	2(3)	5(1)	-(2)	-
1	买绿1分（2红）	10	-(2)	2(1)	6(1)	-(2)	-
2	买红5分（1红1绿）	15	-(2)	3(0)	6(0)	-(2)	-

桌面分值的变化，大大改变了游戏的进程。而这个绿1分，很有可能突然某个时刻就被翻出在桌面上来。
如果你没有注意到这个突然的变化，就很可能错过了绝杀对手的机会，甚至输掉整个游戏。

但是人往往并没有太多应对变化的能力，这也体现了一个优秀的玩家和普通的玩家的不同。
任何一个游戏，事前大量的分析，事发时敏锐的观察和计算，事后充分的总结，都是获胜的法宝。

总结一下：
机会总是留给有准备的人。
——努力学习，积极应对。

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