APIO2019游记题解

前言

在繁忙的文化课生活后，我得以have a rest，来到北京参加APIO，然而，这APIO似乎并没有使我感到轻松

比赛历程

其它不说了，讲课听起来挺奇怪的，就直接从比赛写起吧
好久不写博客了，总结一下十分必要，确实应从每一次的比赛中吸取教训

这次比赛，开场写读优，大概好久不写OI题了，所一读输优写挂调了20min
然后感觉linux的编辑器太丑、不好用，又调了10分钟
准备工作做完后，感觉神清气爽，但是意识到时间已经过去了很久
看完3题，决定从T1开始写
第一档暴力直接写完，写第二档暴力的时候卡了好一会儿，因为n=1n=1n=1的时候会RE
然后就去开3，一开始想树套树→\rightarrow→二维线段树→\rightarrow→cdq分治
虽然万年不写，但感觉思路还是在的，于是准备刚一波
200line的代码，调了两个错误，就过T3了
此时的我松了一口气，丝毫没有发现2是一道水题，想都不想就从最低的暴力开始写，以至于推到后面的时候问题已经被我转化的非常复杂，最终只获得了20分，T1多写了一个没有一操作部分分，然后就结束了
最终43+20+100=163，然而其实T2很简单，而3的暴力分有60，所以大众分是43+100+60，被打爆了
事后思考了一下，T1正解无非是最后写的没有二操作的写法套一个分块，T2直接推一个代数的式子就好了（具体的这里暂不贴）
正常比赛的题想到了代码都不是很难，而且思路都想到了
最遗憾的不是不会做，而是与正解擦肩而过
这比赛没发挥好还是有很多因素的：
1.代码能力不佳，对是否写出3不自信，导致写完后就有太大仔细，没再想正解
2.对于linux操作系统的使用不够熟练
3.对题目的发散应用的实际解题的能力不足
感觉过去一年做了很多题，但是在方法上并没有怎么提升，这其实是很有问题的

题解

鉴于主办方要求比赛后2日内不要在网上上传题解，所以此处将在之后进行补充
——2019/5/19

update： 2019/5/20
过了2天了，那应该也可以放题解了

T1

题目大意： 给出一幅图，有两种操作：
一种是改一条边的边权
另一种是询问，从一个点开始，每次经过权值大于等于自己权值的边，求可达点的集合大小
正解：
先考虑没有修改操作，我们发现直接将边和询问的权值分别排序，扫一下当前权值，即维护“经过权值大于等于xxx的边”的联通块，用并查集维护即可
复杂度O(nlogn)\mathcal O(nlogn)O(nlogn)
我们考虑如果有修改操作怎么办
考虑分块（真的只要想到分块就好了）
我们把所有操作分块（设块大小是PPP），对于每个块内的操作单独处理
我们发现对于快外的询问很方便处理，那么我们先把块内操作修改的边删去，扫一遍，我们发现这个扫一遍的复杂度是O(nα)\mathcal O(n\alpha)O(nα)的，那么所有块的复杂度就是O(nPα)\mathcal O(nP\alpha)O(nPα)，我们考虑块内有修改的边，我们只要在询问时暴力把那些有修改的边加入即可，我们发现有修改的边最多只有O(nP)\mathcal O(\frac{n}{P})O(Pn)条，由于需要使用并查集，所以总复杂度O(n2Plogn)\mathcal O(\frac{n^2}{P}logn)O(Pn2logn)
这样我们发现P=nlognαP=\sqrt {nlogn\alpha}P=nlognα时总复杂度最低，为O(nnlognα)\mathcal O(n\sqrt{nlogn\alpha})O(nnlognα)
PS：听说本题可以使用路径压缩使得复杂度降为O(nnα)\mathcal O(n\sqrt{n\alpha})O(nnα)，但我想了一下好像α\alphaα是均摊的，所以好像不太行，如果有什么高论可以来与我讨论
update by 2019/7/2: 经过yyb的提醒，我发现自己扫一遍的复杂度中的α\alphaα忘记加了，现已更新

T2

题目大意： 对于一个ttt对应一个数对(t+⌊tB⌋mod  A,tmod  B)(t+\left\lfloor\frac tB\right\rfloor\mod A,t\mod B)(t+⌊Bt⌋modA,tmodB)，给出nnn组ttt的范围，问对应的数对有多少种
正解：
本题部分分极少，而且比正解着实难写许多，所以这里就不讲了
本题其实是要推一个结论，即如果t1,t2t_1,t_2t1,t2对应的数相同，那么当且仅当t1≡t2(modA∗Bgcd(A,B+1))t_1\equiv t_2\pmod{\frac{A*B}{gcd(A,B+1)}}t1≡t2(modgcd(A,B+1)A∗B)
直接线段求交即可
具体分析是，我们发现它是循环
我们考虑与t=0t=0t=0循环的第一个位置t1t_1t1
t1mod  B≡0t_1\mod B\equiv0t1modB≡0
那么即t1(B+1)Bmod  A≡0\frac{t_1(B+1)}{B}\mod A\equiv 0Bt1(B+1)modA≡0
又要t1t_1t1最小，那么就t1=A∗Bgcd(A,B+1)t_1=\frac{A*B}{gcd(A,B+1)}t1=gcd(A,B+1)A∗B

T3

题目大意：
有一个n+1个点、n条边的链，有两种操作：
改变一条边的状态（黑变白或者白变黑）
询问两个灯a，b之间的边，从开始到现在有多少个时刻边全是白色的
题解：
首先用一个set维护当前的每一段边是白色的连续段，用数据结构维护点对满足条件的时刻数，当有修改操作时直接更新数据结构和set即可
容易想的有树套树、二维线段树
我写的cdq分治+树状数组
本题想到了做法的话剩下的就是靠码力了
复杂度O(nlog2n)\mathcal O(nlog^2n)O(nlog2n)

总结

十年OI一场空（大雾）
以前觉得OI就是一个竞赛，现在发现，OI其实反映出我自身的许多问题
前路漫漫，进无止尽！

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