ctfshow-新手杯

先贴一贴官方wp

国庆放假摆得太厉害，忘记了还有比赛，放完后赶紧回来补一补

crypto4 新手村难度

贴贴题目

from Crypto.Util.number import *
from sympy import totient as phi
import sys
import randomdef pr(x, end='\n'):sys.stdout.write(f'{x}{end}')sys.stdout.flush()def newbie(naive, p):if (len(naive) == 0):return 1NB = 1PH = phi(p) # AAHPHfor i in range(len(naive)-1, -1, -1):if (NB > 4396): # clearlove picked the blind monkreturn pow(naive[0], int(newbie(naive[1:], PH) + PH), int(p))NB = naive[i] ** NBreturn NB % pBANNER = '''
+-------------------+
|     *             |
|     **     ****** |
|  ******** ******* |
|  ******** ***     |
|   *    ** ***     |
|    *  *** ***     |
| *************     |
| ***************** |
|     **    ******* |
|     **    *** **  |
|  ******** *** **  |
|     **    *** **  |
|   * ****  *** **  |
|  ** ** ** **  **  |
|  *  **  ****  **  |
| **  **   ***  **  |
|   ****  **    **  |
|                   |
+-------------------+比赛名称：新手杯
比赛时间：2022年10月3日20时，共48小时
比赛类型：个人赛
比赛难度：新手村难度
比赛奖品：神兽抱枕(女用)
题目投稿：ctfshow@163.com
投稿奖品：神兽抱枕(男用)
投稿截止：10月1日20时
'''pr(BANNER)p = getPrime(64)
while True:p = getPrime(64)if (p % 15 == 2):breakwith open('flag.txt', 'rb') as f:flag = f.read()
flag = f'0{bytes_to_long(flag):b}'pr(f'{p = }')
pr(f'{len(flag) = }')
while True:pr('> ', end='')seed = int(input())random.seed(seed)newbie_flag = list(flag)random.shuffle(newbie_flag)sometimes_naive = [int(x) * 2 + 3 for x in newbie_flag]pr(f'{newbie(sometimes_naive, p) = }')

对照着官方 w p wp wp一顿复现，结果发现 w p wp wp都没怎么看得懂，没想通二次剩余是怎么用的，终究还是我太菜了

先瞅瞅题目整个流程（简化题目，简化问题）

对 f l a g flag flag的操作：将 f l a g flag flag转成0/1的比特流，然后用 r a n d o m . s h u f f l e ( ) random.shuffle() random.shuffle()打乱顺序，接着将 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)分别映射到 ( 3 , 5 ) (3,5) (3,5)上，最后丢到 n e w b i e ( ) newbie() newbie()里面去

再瞧瞧 n e w b i e ( ) newbie() newbie()函数：不如看 w p wp wp分析，我讲不出什么名堂来，不过可以确定的是 n e w b i e ( ) newbie() newbie()函数的返回值是 S 0 S 1 S_0^{S_1} S0S1，看得更简单些就是 3 2 ∗ k + 1 3^{2*k+1} 32∗k+1或 5 2 ∗ k + 1 5^{2*k+1} 52∗k+1

【提示】crypto4 提示为：幂次必为奇数

我自己的想法是既然幂次必为奇数，那么如果 3 2 ∗ k + 1 3^{2*k+1} 32∗k+1或 5 2 ∗ k + 1 5^{2*k+1} 52∗k+1再乘以底数，幂次就变成了偶数（ 2 ∗ k + 2 2*k+2 2∗k+2），这样就可以很合理地有限域开方。如果乘 3 3 3以后能开出来那么底就是 3 3 3，那个 b i t bit bit就为 0 0 0了…这样就求出了第一位的值

利用 s h u f f l e shuffle shuffle来让不同位置的都变成 a 0 a_0 a0来得到所有bit的值

题目需要输入 s e e d seed seed，可以控制这样的伪随机，多变变 s e e d seed seed来得到所有位置bit的值

先贴贴exp1

p % 4 != 3会挂掉，要重新跑，懒得写while true try了，将就用吧

拿带pwntools的sage跑，如果sage里面没有pwntools可以分两段，先拿有pwntools的python拿下newbie的值，然后再用sage

#!usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time    : 2022/10/8 19:20
# @Author  : mxx307
# @FileName: newbie.py
# @Software: PyCharmimport random
import tqdm
from pwn import *
from Crypto.Util.number import *re = remote('pwn.challenge.ctf.show', 28104)
tmp = re.recvuntil(b'p = ')
p = int(re.recvline().decode()[:-1])
if p % 4 != 3:re.close()exit()
tmp = re.recvuntil(b'len(flag) = ')
flag_len = int(re.recvline().decode()[:-1])
print(p,flag_len)
# flag_len = 368
flag = [-1 for i in range(flag_len)]
# C = []
INDEX = []
SEED = []
seed = 0
while len(SEED) != flag_len:random.seed(seed)randlist = list(range(flag_len))random.shuffle(randlist)indexx = list(range(flag_len)).index(randlist[0])if indexx not in INDEX:INDEX.append(indexx)SEED.append(seed)seed += 1
assert len(SEED) == flag_len
for i in tqdm.tqdm(range(len(SEED))):tmp = re.recvuntil(b'> ')re.sendline(str(SEED[i]).encode())tmp = re.recvuntil(b'newbie(sometimes_naive, p) = ')c = int(re.recvline().decode()[:-1])# C.append(c)PR.<x> = Zmod(int(p))[]f1 = x * x - 3 * cf2 = x * x - 5 * cres1 = f1.roots()res2 = f2.roots()if res1 and res2 == []: flag[INDEX[i]] = 0elif res1 == [] and res2: flag[INDEX[i]] = 1if flag.count(-1) == 0:flag = [str(i) for i in flag]print(long_to_bytes(int(''.join(flag),2)))break
re.close()# print(f'{C = }')
# from Crypto.Util.number import *
# flag = [-1 for i in range(flag_len)]
# for i in range(len(C)):
#     c = C[i]
#     PR.<x> = Zmod(int(p))[]
#     f1 = x * x - 3 * c
#     f2 = x * x - 5 * c
#     res1 = f1.roots()
#     res2 = f2.roots()
#     if res1 and res2 == []: flag[INDEX[i]] = 0
#     elif res1 == [] and res2: flag[INDEX[i]] = 1
#     if flag.count(-1) == 0:
#         flag = [str(i) for i in flag]
#         print(long_to_bytes(int(''.join(flag),2)))
#         break

写 w p wp wp回过头来思考二次剩余怎么用上去（数论没学好）

根据 w p wp wp，若有 p ≡ 3 ( m o d 4 ) p\equiv3\ (mod\ 4) p≡3 (mod 4)，那么 ( 3 p ) = 1 (\frac{3}{p})=1 (p3)=1，即 3 3 3是模 p p p的二次剩余。既然 3 3 3是二次剩余，那么 3 k 3^k 3k呢？那必须也得是啊，无论 k k k是奇数还是偶数，那么意味着 3 2 ∗ k + 1 3^{2*k+1} 32∗k+1可以被有限域开方求根，但是 5 2 ∗ k + 1 5^{2*k+1} 52∗k+1不行(所以用上面那个exp直接对c开方，能开出来就是3，开不出来就是5，这样也能求，对开方情有独钟)

再想想有没有啥办法不求根就能判断是否为二次剩余呢？

嗯~ o(￣▽￣)o，我想不到，于是

随便找了一篇，看到了Euler判别准则（欧拉准则）

对于奇素数 p p p和 p ∤ a p\nmid a p∤a（ p p p不能被 a a a整除）有
a ( p − 1 ) / 2 ≡ ( a p ) ≡ { 1 ( m o d p ) , 若 x 2 ≡ a ( m o d p ) 有解 − 1 ( m o d p ) , 若 x 2 ≡ a ( m o d p ) 无解 a^{(p-1)/2} \equiv \left(\frac{a}{p}\right) \equiv \left\{\begin{aligned}1\ (mod\ p) ,若x^2\equiv a\ (mod\ p)有解 \\-1\ (mod\ p),若x^2\equiv a\ (mod\ p)无解\end{aligned} \right. a(p−1)/2≡(pa)≡{1 (mod p),若x2≡a (mod p)有解−1 (mod p),若x2≡a (mod p)无解
判断是否为二次剩余确定是 3 3 3还是 5 5 5

酱紫就简单了些，可能这才是预期解吧（maybe）

最喜欢春哥出的题目辣，每次都能学到很多，这次学到了二次剩余+欧拉准则+高斯二次互反律

春哥yyds

贴贴expplus

p % 4 != 3会挂掉，要重新跑，懒得写while true try了，将就用吧

#!usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time    : 2022/10/9 13:29
# @Author  : mxx307
# @FileName: expplus.py
# @Software: PyCharmimport random
import tqdm
from pwn import *
from Crypto.Util.number import *re = remote('pwn.challenge.ctf.show', 28105)
re.recvuntil(b'p = ')
p = int(re.recvline().decode()[:-1])
if p % 4 != 3:re.close()exit()
re.recvuntil(b'len(flag) = ')
flag_len = int(re.recvline().decode()[:-1])
print(p, flag_len)
flag = [-1 for i in range(flag_len)]
INDEX = []
SEED = []
seed = 0
while len(SEED) != flag_len:random.seed(seed)randlist = list(range(flag_len))random.shuffle(randlist)indexx = list(range(flag_len)).index(randlist[0])if indexx not in INDEX:INDEX.append(indexx)SEED.append(seed)seed += 1
assert len(SEED) == flag_len
for i in tqdm.tqdm(range(len(SEED))):re.recvuntil(b'> ')re.sendline(str(SEED[i]).encode())re.recvuntil(b'newbie(sometimes_naive, p) = ')c = int(re.recvline().decode()[:-1])check = pow(c, (p - 1) // 2, p)flag[INDEX[i]] = 0 if check == 1 else 1
flag = [str(i) for i in flag]
print(long_to_bytes(int(''.join(flag), 2)))re.close()

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