统计量与充分统计量的定义

2024-04-10 08:23:50

统计量的定义：

设 x1,x2,⋯,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn 为取自某总体的样本，若样本函数 T=T(x1,x2,⋯,xn)T=T(x_1,x_2,\cdots,x_n)T=T(x1,x2,⋯,xn) 中不含有任何未知参数，则称 TTT 为统计量。统计量的分布称为抽样分布。

例：

∑i=1nxi,∑i=1nxi2\sum_{i=1}^nx_i,\sum_{i=1}^nx_i^2∑i=1nxi,∑i=1nxi2 都属于统计量

而当 μ,σ2\mu,\sigma^2μ,σ2 未知时

x1−μ,x1/σx_1-\mu,x_1/\sigmax1−μ,x1/σ 都不是统计量

充分统计量的定义：

设 x1,x2,⋯,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn 是来自某个总体的样本，总体分布函数为 F(x;θ)F(x;\theta)F(x;θ)。统计量 T=T(x1,x2,⋯,xn)T=T(x_1,x_2,\cdots,x_n)T=T(x1,x2,⋯,xn) 称为 θ\thetaθ 的充分统计量，如果在给定 TTT 的取值后，x1,x2,⋯,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn 的条件分布与 θ\thetaθ 无关

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