AVL树(平衡二叉树)讲解,入门篇,适合新手观看

1.1 概念

平衡二叉树就是为了让二叉搜索树的平均查找长度更短，时间复杂度更靠近logN,如果一个二叉搜索树不平衡了就会出现图1情况，完全变成一个数组，时间复杂度也变为了O(N)。
平衡因子：平衡因子就是针对于树中某一结点，它的左子树高度减去右子树的高度所得结果就是它的平衡因子，如果这个平衡因子的绝对值等于2的话，那么这个树就认为出现了不平衡状况，我们就需要修正这个树，缩小它的平衡因子,缩小平衡因子，也就是让树的左右两端高度更均匀平衡，让高度越靠近log2N+1(N个结点构成的二叉树的高度)。

查找长度：查找长度就是查找运算中需要比较的次数，树的高度越小，查找长度就越小，查找效率就越高。它的定义如下：

n为查找表中元素个数，Pi为查找第i个元素的概率，通常假设每个元素查找概率相同，Pi=1/n，Ci是找到第i个元素的比较次数，显然AVL树中每个节点的比较次数与它所在的层数有关,AVL树本质还是二叉搜索树，二叉搜索树又与线性二分查找一样。
这个集合中，找到每个数的概率都相同，为1/9，第一次查找，就是数组中间那个元素也就是5，第二次查找，有两个方向，向右或者向左指向2或者7，第三次查找有四种可能(1 or 3 or 6 or 8 ) ，第四次有两种可能(4 or 9) ，于是可以算出期望1x1/9+2x2/9+3x4/9+4x2/9=25/9,也就是我们给出一个数，平均要比较两次就能找到，将这个数组抽象为二叉搜索树，通过查找长度公式也能得出这棵树的平均查找长度是25/9。

1.2 修正树，缩小平衡因子的方法

第一种(左旋)
如果插入一个结点(插入点)到另一个结点A的左儿子的左子树而导致树失衡的话，也就是三点连成一条直线(A,A左儿子,插入点)，那么我们采用左旋来解决这种情况，我们旋转时以谁为支点，旋转它的子树呢？是以最先发现树不平衡的那位结点，也就是从下往上，第一个平衡因子为2的那个结点。

首先8肯定是最先发现树不平衡的结点，此时以8为支点，将它的子树向左(顺时针)移动，想象着把他它的子树装进麻袋里看作一个整体来进行移动，最后移动到位置后再拆开，此时树结构会发生变化，由于5结点的right指向了8，6这个点变得孤立无援，但由于树结构发生变化，点8的left是空着的，于是就让支点8的left的来指向它。
左旋模板：

第二种(右旋)
如果插入一个结点(插入点)到另一个结点A的右儿子的右子树而导致树失衡的话，也就是三点连成一条直线(A,A右儿子,插入点)，那么我们采用左旋来解决这种情况。
右旋模板：

可以看见A与A的右儿子B，以及插入点，这三点构成向右的一条直线

第三种左右旋：如果插入一个结点(插入点)到另一个结点A的左儿子的右子树而导致树失衡的话，也就是三点连不成一条直线(A,A左儿子,插入点)，那么我们采用左右旋来解决这种情况，左右旋实际就是以A的左儿子为支点对它的右子树进行一次右旋，然后以A为支点对它左子树进行一次左旋

第四种右左旋：如果插入一个结点(插入点)到另一个结点A的右儿子的左子树而导致树失衡的话，也就是三点连不成一条直线(A,A右儿子,插入点)，那么我们采用右左旋来解决这种情况，右左旋实际就是以A的右儿子为支点对它的左子树进行一次左旋，然后以A为支点对它右子树进行一次右旋

java代码实现

class AVLTree {Tree root;public void Insert(int Data){root=Tree.InsertNode(root,Data);}public void Inorder(){Tree.Inorder(root);}public int Height(){return Tree.MaxHeight(root);}
}public class Tree {Tree left;Tree right;int Data;public Tree(int Data){this.Data=Data;}public  static Tree InsertNode(Tree root, int Data){if(root==null){Tree node = new Tree(Data);return node;}else {if (Data > root.Data) {//插入的是右子树root.right = InsertNode(root.right, Data);if(MaxHeight(root.left)-MaxHeight(root.right)==-2){if(Data>root.right.Data)//右旋root=rightTrans(root);elseroot=right_left_Trans(root);}} else if (Data <= root.Data) {//插入的左子树root.left = InsertNode(root.left, Data);if(MaxHeight(root.left)-MaxHeight(root.right)==2){if(Data<root.left.Data)//左旋root=rightTrans(root);elseroot=left_right_Trans(root);}}}return root;}public static Tree Delete(Tree node, int Data){if(node==null){return null;   //未找到}//先找到要删除的节点if(Data>node.Data){node.right = Delete(node.right,Data);}elseif(Data<node.Data){node.left = Delete(node.left,Data);}else{//找到了if(node.left!=null && node.right!=null){node.Data=findInsteadNode(node.left);Delete(node.left,Data);}else{if(node.right!=null)node=node.right;elseif(node.left!=null)node=node.left;elsenode=null;}}return node;}public static int findInsteadNode(Tree node){if(node.right!=null)return findInsteadNode(node.right);elsereturn node.Data;}public static void Inorder(Tree node){if(node!=null){Inorder(node.left);System.out.println(node.Data+" ");Inorder(node.right);}}//高度计算函数public static int MaxHeight(Tree node){int leftHeight,rightHeight;if(node!=null){leftHeight=MaxHeight(node.left);rightHeight=MaxHeight(node.right);return (leftHeight>rightHeight ?leftHeight:rightHeight)+1;}return 0;}//右旋public static Tree rightTrans(Tree A){Tree B=A.right;A.right=B.left;B.left=A;return B;}//左右旋public static Tree left_right_Trans(Tree A){Tree B=A.left;A.left=rightTrans(B);return leftTrans(A);}//左旋public static Tree leftTrans(Tree A){Tree B=A.left;A.left=B.right;B.right=A;return B;}//右左旋public static Tree right_left_Trans(Tree A){Tree B=A.right;A.right=leftTrans(B);return rightTrans(A);}public static void main(String[] args) {AVLTree avlTree = new AVLTree();avlTree.Insert(10);avlTree.Insert(15);avlTree.Insert(5);avlTree.Insert(3);avlTree.Insert(8);avlTree.Insert(6);}
}