冯•诺伊曼还是20世纪最重要的数学家之一,在纯粹数学和应用数学方面都有杰出的贡献。他的工作大致可以分为两个时期。

1940年以前,主要是纯粹数学的研究:在数理逻辑方面提出简单而明确的序数理论,并对集合论进行新的公理化,其中明确区别集合与类。其后,他研究希尔伯特空间上线性自伴算子谱理论,从而为量子力学打下数学基础;1930年起,他证明了平均遍历定理,开拓了遍历理论的新领域;1933年,他运用紧致群解决了希尔伯特第五问题;此外,他还在测度论、格论和连续几何学方面也有开创性的贡献;从1936~1943年,他和默里合作,创造了算子环理论,即现在所谓的冯•诺伊曼代数。

1940年以后,冯•诺伊曼转向应用数学。如果说他的纯粹数学成就属于数学界,那么他在力学、经济学、数值分析和电子计算机方面的工作则属于全人类。第二次世界大战开始,冯•诺伊曼因战事的需要研究可压缩气体运动,建立冲击波理论和湍流理论,发展了流体力学;从1942年起,他同莫根施特恩合作,写作《博弈论和经济行为》一书,这是博弈论(又称对策论)中的经典著作,这使他成为数理经济学的奠基人之一。

冯•诺伊曼对世界上第一台电子计算机ENIAC(电子数字积分计算机)的设计提出过建议,这对后来计算机的设计有决定性的影响,至今仍为电子计算机设计者所遵循。

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