990. Satisfiability of Equality Equations

Title

给定一个由表示变量之间关系的字符串方程组成的数组，每个字符串方程 equations[i] 的长度为 4，并采用两种不同的形式之一：“a==b” 或 “a!=b”。在这里，a 和 b 是小写字母（不一定不同），表示单字母变量名。

只有当可以将整数分配给变量名，以便满足所有给定的方程时才返回 true，否则返回 false。

示例 1：

输入：["a==b","b!=a"]
输出：false

解释：如果我们指定，a = 1 且 b = 1，那么可以满足第一个方程，但无法满足第二个方程。没有办法分配变量同时满足这两个方程。

示例 2：

输出：["b==a","a==b"]
输入：true

解释：我们可以指定 a = 1 且 b = 1 以满足满足这两个方程。

示例 3：*

输入：["a==b","b==c","a==c"]
输出：true

示例 4：

输入：["a==b","b!=c","c==a"]
输出：false

示例 5：

输入：["c==c","b==d","x!=z"]
输出：true

提示：

1 <= equations.length <= 500
equations[i].length == 4
equations[i][0] 和 equations[i][3] 是小写字母
equations[i][1] 要么是 ‘=’，要么是 ‘!’
equations[i][2] 是 ‘=’

Solve

并查集

可以将每一个变量看作图中的一个节点，把相等的关系==看作是两个节点的边，由于表示相等关系的等式方程具有传递性，即所有相等的变量属于同一个连通分量，因此可以使用并查集来维护这种连通分量。

首先遍历所有的等式，构造并查集，同一个等式中的两个变量属于同一个连通分量，因此将两个变量进行合并。

然后遍历所有的不等式，同一个不等式中的两个变量不能属于同一个连通分量，因此对两个变量分别查找其所在的连通分量，如果两个变量在同一个连通分量中，则产生矛盾，返回False。

如果遍历完所有的不等式没有发现矛盾，则返回True。

具体实现方面，使用一个数组 parent 存储每个变量的连通分量信息，其中的每个元素表示当前变量所在的连通分量的父节点信息，如果父节点是自身，说明该变量为所在的连通分量的根节点。

一开始所有变量的父节点都是它们自身。对于合并操作，我们将第一个变量的根节点的父节点指向第二个变量的根节点；对于查找操作，我们沿着当前变量的父节点一路向上查找，直到找到根节点。

复杂度分析

时间复杂度：O(n+ClogC)，其中 n 是 equations 中的方程数量，C 是变量的总数，在本题中变量都是小写字母，即 C≤26。上面的并查集代码中使用了路径压缩优化，对于每个方程的合并和查找的均摊时间复杂度都是 O(logC)。由于需要遍历每个方程，因此总时间复杂度是 O(n+ClogC)。

Code

class Solution:class UnionFind:def __init__(self):self.parent = list(range(26))def find(self, index):if index == self.parent[index]:return indexself.parent[index] = self.find(self.parent[index])return self.parent[index]def union(self, index1, index2):self.parent[self.find(index1)] = self.find(index2)def equationsPossible(self, equations: List[str]) -> bool:uf = Solution.UnionFind()for item in equations:if item[1] == '=':index1 = ord(item[0]) - ord("a")index2 = ord(item[3]) - ord("a")uf.union(index1, index2)for item in equations:if item[1] == '!':index1 = ord(item[0]) - ord("a")index2 = ord(item[3]) - ord("a")if uf.find(index1) == uf.find(index2):return Falsereturn True