最大字段和，有点类似与最长公共子序列，这里是求连续一段求和最大的一段，比如[-2,11,-4,-4,13,-5,-2]最大求和的连续一段为11,-4,-4,13，和为16.

最基本的双针模型遍历，两个指针，分别代表最大和序列的起始和终止,算法时间复杂度O(n^2)

# 以下算法时间复杂度O(n^2)
def maxSum(arr):num = len(arr)# 记录最好的结果，这个结果是一个不断逼近的过程best_result_start =0best_result_end=0best_result =0# i为起始的指针，j为终止的指针，基于简单计算，起始位置不可能为负的，因为假如# 为负的，后移一位就会使结果变大for i in range(num):if arr[i] <0:continueelse:cur_sum = arr[i]# j指针后移更新当前的求和for j in range(i+1,num):cur_sum +=arr[j]    # 假如当前求和大于当前的最好结果，就更新当前的最好结果if cur_sum > best_result:best_result = cur_sumbest_result_start =ibest_result_end = jreturn best_result,best_result_start,best_result_end

分治的算法：分成2段，3中情况考虑，取其最大,算法时间复杂度O(nlogn)之间

#%%
# 基于分治的做法，把数组分成两个部分，最优解出现的情况：要么在左半边，要么在右半边，
# 左边的尾部+右边头部       # 针对起始为left,求最长字段和并返回，终止的标号
def start_max(arr,left,right):cur_sum =0best_result =0best_result_end =0for i in range(left,right+1):cur_sum += arr[i]        if cur_sum > best_result:best_result = cur_sumbest_result_end = ireturn best_result,best_result_end# 针对起始为right,求最长字段和并返回，终止的标号
def end_max(arr,left,right):cur_sum =0best_result =0best_result_end =0for i in range(right,left-1,-1):cur_sum += arr[i]        if cur_sum > best_result:best_result = cur_sumbest_result_end = ireturn best_result,best_result_end          # 递归的理解，一种直接看成递归到最底层，然后在最底层的处理，一种直接看成某一层直接把递归函数看成
# 你要用的变量
# 关于return和不return的理解，当你需要返回结果的时候就需要返回，在原来数组上操作的情况就可以不返回
def maxSumSub(arr,left,right):# 递归的出口，也就是最小子问题的解if left == right:best_sum = max(0,arr[left])best_i = leftbest_j = rightelse:# 划分子问题的过程，一层层进入递归，子问题不断划分，dividemid = left + (right-left)//2# 针对子问题处理，此时三个子问题# 最优解在左边left_max,left_i,left_j = maxSumSub(arr,left,mid)# 最优解在右边right_max,right_i,right_j = maxSumSub(arr,mid+1,right)# 最优解出现在左边的尾部+右边头部，最优解和起止位置best_left,best_i = end_max(arr,left,mid)best_right,best_j =start_max(arr,mid+1,right)best_sum =  best_left+ best_right# 最优解取三者中的最大值if best_sum < left_max:best_sum = left_maxbest_i = left_ibest_j = left_j            if best_sum < right_max:best_sum = right_maxbest_i = right_ibest_j = right_j  return best_sum,best_i,best_j

动态规划实现，状态方程为：b[j] = max{b[j-1]+arr[j],arr[j]}，b[j]为终点为j的最大字段和，原问题最优解就是b[j]的最大值,明显这个是O(n)的时间复杂度。还是有必要说明一下，这里的动态规划并没有对原问题进行动态规划，而是对原问题的某个解进行动态规划，或者说原问题的动态规划方程为max{max{b[j-1]+arr[j],arr[j]}}

#%%
# 动态规划的算法，状态方程，初始值
# 如何划分子问题比较好了，看成选择问题，选与不选，从尾部开始，i选的话，最大值就是end_max前面
# n-1个元素的最大值+arr[i],不选的话就是前面n-1个元素求最小字段和
# 这个工作量好大，问题规模缩小了1，然后干了分治算法一层的工作量
# 所以这种规约子问题的方案不好？
# 最大字段结束在j,那么原问题的解就是j=0,1,2..len(arr)-1
# 这么多情况里面的最大值，
# 我们定义b[j]为结束在j字段和最大值，max{b[j]} 0<=j<=len(arr)-1
# 我们只要求出了每一个b[j],最大值就是可以从里面求出来了
# 那么b如何求解了,结束在j的最大字段和，假如前面j-1最大字段和小于0的话，那就是arr[j]
# 状态方程为：b[j] = max{b[j-1]+arr[j],arr[j]}
# 这里不需要考虑arr[j]是否大于0，因为我的子问题就是定义的是结束在j的最大字段和，至于
# 最终的解是结束在不同的j上的最大字段和的最大值。# 这个方法可以知道结束位置j,没法知道起始位置i为多少啊
def maxSumDynamicProgramming(arr):# 本来是需要一个数组来记录b的，然后找b[]里面的最大值# 但是我们得到一个b,就可以更显最优结果的，我只要记录当前最优解就行了，所以只需要当前的b# b的初值就是b[0-1]的值，也就是没有元素时最大字段和为多少，为0cur_b =0# 用于记录最优的结果best_result = 0best_j = -1# 根据状态方程自底向上完成for j in range(len(arr)):# b[j] = max{b[j-1]+arr[j],arr[j]}，当b[j-1]>0为左边，否则为右边，也可以直接用maxif cur_b>0:cur_b += arr[j]else:cur_b = arr[j]# 每求出一个b,就更新一下当前最优解if cur_b >= best_result:best_result = cur_bbest_j = jreturn best_result,best_j

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