【梳理】离散数学第19章初等数论 19.3 同余 19.4 一次同余方程

教材：《离散数学》第2版屈婉玲耿素云张立昂高等教育出版社
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19.3 同余

1、设整数m，a，b，如果a % m = b % m，就说a模m同余于b，或a与b模m同余，记作a≡b (mod m)。为了方便，下面也记作a≡b (% m)。
a与b模m同余的充分必要条件：
（1）a % m = b % m。
（2）a = b + qm，q是整数。

2、同余的性质：
（1）同余关系是等价关系，即同余具有：
【1】自反性：a≡a (% m)。
【2】传递性：若a≡b (% m)，b≡c (% m)，则a≡c (% m)。该命题也缩写为a≡b≡c (% m)。
【3】对称性：若a≡b (% m)，则b≡a (% m)。
（2）若a≡b (% m)，c≡d (% m)，则有下列模的算术运算：
a±c≡b±d (% m)，ac≡bd (% m)，ak≡bk (% m)，其中k是非负整数。
（3）设d≥1，d | m，a≡b (% m)，那么a≡b (% d)。
（4）设d≥1，则a≡b (% m) 当且仅当da≡db (% dm)。
（5）设c与m互质，则a≡b (% m) 当且仅当ca≡cb (% m)。
整数a在模m同余的关系下的等价类记作[a]m，称作a的模m等价类。不至混淆时，可以简记为[a]。整数集Z在模m同余关系下的商集记作Zm。根据上述模算术运算，在Zm上定义加法和乘法如下：
对任意整数a，b，[a] + [b] = [a + b]，[a]·[b] = [ab]。
（设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a具有该关系R的所有元素的集合叫做a的等价类。设R是非空集合A的一个等价关系，若把以A关于R的全部等价类作为元素组成一个新的集合B，则把集合B叫做A关于R的商集合，简称为商集，记作B = A / R。本例中，模m同余是定义在整数集Z上的等价关系。设余数为r，则r，r + m，r + 2m，……都与m具有模m余r的关系，它们属于同一等价类。将这些等价类作为元素构成了商集Q = { [0]，[1]，……，[m－1] }。）

19.4 一次同余方程

1、设m > 0，形如ax≡c (% m) 的方程称作一次同余方程。x的解为整数。

2、一次同余方程ax≡c (% m) 不一定有解，其有解的充分必要条件是：GCD(a, m) = c。
证明充分性（右推左）。设d = GCD(a, m)，a = da1，m = dm1，c = dc1。显然a1与m1互质。由互质的充分必要条件，存在x1和y1使a1x1 + m1y1 = 1。再令x = c1x1，y = c1y1，就得a1x + m1y = c1。两边乘d，就得ax + my = c。所以ax－c = －my，即ax % m = c，ax≡c (% m)。
必要性（左推右）。设x是方程的解，即存在整数y使得ax + my = c（ax = c－my，－y是商，c是余数，亦可设ax = my + c）。由扩展欧几里得算法，存在整数x’，y’使得ax’ + by’ = d，所以有d | c。证毕。
设找到了解x0，显然所有与x0模m同余的数都是方程的解。于是方程的解可以写成x = x0 (% m)。于是，只需在模m的每一个等价类中任取一个元素验证是否使方程成立，就可以找到方程的全部解。
例19.9的第一条表达式是取模不是取余。

3、如果ab≡1 (% m)，则称b为a的模m逆元（数论倒数），记作a-1(% m)，简记a-1。由定义知，a的模m逆元就是方程ax≡1 (% m) 的解。

4、a存在模m逆元的充分必要条件是a与m互质。这是一次同余方程有解的充要条件的推论，可以直接推出。

5、设a与m互质，则a的模m逆元在小于m的范围内唯一。即a的任意两个模m逆元都模m同余。
证明设a有两个模m逆元b1、b2。即ab1≡1 (% m)，ab2≡1 (% m)。由同余的性质“若a≡b (% m)，c≡d (% m)，则a±c≡b±d (% m)”，可知a(b1－b2)≡0 (% m)。a又与m互质，所以由同余的性质“设c与m互质，则a≡b (% m) 当且仅当ca≡cb (% m)”，得a(b1－b2)≡0 (% m) 当且仅当 (b1－b2)≡0 (% m)，即b1≡b2 (% m)。

6、求模m逆元的方法主要有：直接观察法（心算）、解同余方程ax≡1 (% m)、扩展欧几里得算法求得整数x，y使得ax + my = 1。

7、设b是a的模m逆元，则a的模m逆元的全体恰好就是[b]m，即b的模m等价类。如果不特别说明，模m逆元默认取该等价类中最小的正整数。

8、a的模m逆元在小于m的范围内唯一，表明一次同余方程ax≡1 (% m) 的解是唯一的。但是一般情况下，一次同余方程ax≡c (% m) 的解可以不止一个。书本的例19.9的方程在模6下就有两个解。对方程ax≡c (% m)，当GCD(a, m) | c时，方程在模m下有GCD(a, m) 个解。