同济版高等数学复习笔记（上册第五、六章）

第五章定积分

第一节定积分的概念与性质

一、定积分问题实例

曲边梯形面积
变速直线运动位移

二、定积分的定义

1. 定积分的定义

函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有定义,将 [ a , b ] [a,b] [a,b]分为n个小区间 ( x 0 , x 1 ) , ( x 1 , x 2 ) , . . . , ( x n − 1 , x n ) (x_0, x_1), (x_1, x_2), ..., (x_{n-1}, x_n) (x0,x1),(x1,x2),...,(xn−1,xn) 令 Δ x i = x i − x i − 1 ( 1 ≤ i ≤ n ) \Delta x_i= x_i - x_{i-1}(1\leq i\leq n) Δxi=xi−xi−1(1≤i≤n)

在每个区间中取
ξ i ( x i − 1 ≤ ξ i ≤ x i ) \xi_i (x_{i-1}\leq \xi_i\leq x_i) ξi(xi−1≤ξi≤xi)
_
曲边梯形面积
S = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i S=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i S=i=1∑nf(ξi)Δxi
取 λ = max ⁡ { Δ x 1 , Δ x 2 , . . . , Δ x n } \lambda=\max\{\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n\} λ=max{Δx1,Δx2,...,Δxn}
当 λ → 0 \lambda \to 0 λ→0 时， S S S 有极限，且与划分区间 ( x i − 1 , x i ) (x_{i-1},x_i) (xi−1,xi)的方法及 ξ i \xi_i ξi的选取无关，称这个极限 I I I 为函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的定积分。

2. ε − δ \varepsilon-\delta ε−δ定义

3. f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 可积的条件

定理1 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续则在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积。
定理2 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有界，且仅有有限个间断点，则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积。

4. 利用定义计算定积分

将区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 平均分为 n n n 份，则每个区间的宽度 d x dx dx 都为 b − a n \frac{b-a}{n} nb−a；
取每个区间右端点 ξ i = x i = a + b − a n i \xi_i=x_i= a+\frac{b-a}{n}i ξi=xi=a+nb−ai
得到定积分
I = ∫ a b f ( x ) d x = ∑ i = 1 n f ( a + b − a n i ) 1 n I=\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{1}{n} I=∫abf(x)dx=i=1∑nf(a+nb−ai)n1

三、定积分的近似计算

1. 矩形法

用窄条矩形面积近似作为窄条曲边梯形面积，如图5.3。

定积分近似计算公式如下
I = ∫ a b f ( x ) ≈ b − a n ∑ i = 1 n f ( x i ) I=\int_a^b f(x)\approx \frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n} f(x_i) I=∫abf(x)≈nb−ai=1∑nf(xi)

2. 其他求法

包括梯形法和抛物线法。将区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]分成小区间后，记曲线上的点 ( x i , y i ) (x_i, y_i) (xi,yi) 为 M i M_i Mi 。

梯形法 将$\overline{M_{i-1}M_{i}} 连线后得到的直角梯形面积作为在区间连线后得到的直角梯形面积作为在区间连线后得到的直角梯形面积作为在区间[x_{i-1}, x_i]$之间的曲边梯形的面积。根据直角梯形的面积求法可得。

I = ∫ a b f ( x ) ≈ b − a n ( ∑ i = 1 n − 1 f ( x i ) + f ( x 0 ) + f ( x n ) 2 ) I=\int_a^b f(x)\approx \frac{b-a}{n}\left(\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + \frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} \right) I=∫abf(x)≈nb−a(i=1∑n−1f(xi)+2f(x0)+f(xn))

抛物线法 将 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)上的两个小弧段 M i − 1 M i M_{i-1}M_i Mi−1Mi 和 M i M i + 1 M_iM_{i+1} MiMi+1合起来，用经过 M i − 1 , M i , M i + 1 M_{i-1},M_i,M_{i+1} Mi−1,Mi,Mi+1三点的抛物线代替。经推导可以得出以该抛物线的弧段为曲边、以 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi−1,xi]为底的曲边梯形面积为

1 6 ( y i − 1 + 4 y i + y i + 1 ) ⋅ 2 Δ x = b − a 3 n ( y i − 1 + 4 y i + y i + 1 ) \frac{1}{6}(y_{i-1} + 4y_i + y_{i+1})\cdot 2\Delta x = \frac{b-a}{3n}(y_{i-1} + 4y_i + y_{i+1}) 61(yi−1+4yi+yi+1)⋅2Δx=3nb−a(yi−1+4yi+yi+1)

取 n n n为一个偶数，可以得到定积分的近似值为
∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 3 n [ y 0 + y n + 4 ( y 1 + y 3 + ⋯ + y n − 1 ) + 2 ( y 2 + y 4 + ⋯ + y n ) ] \int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{3n}[y_0 + y_n + 4(y_1 + y_3 + \cdots+y_{n-1})+2(y_2+y_4+\cdots+y_n)] ∫abf(x)dx≈3nb−a[y0+yn+4(y1+y3+⋯+yn−1)+2(y2+y4+⋯+yn)]

四、定积分的性质

1. 两点补充

(1) 当 b = a b = a b=a 时， ∫ a a f ( x ) d x = 0 \int_a^af(x)dx=0 ∫aaf(x)dx=0；
(2) 当 b < a b < a b<a 时， ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x = 0 \int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx=0 ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx=0

2. 定积分的性质

性质1 线性可加性 ∫ a b [ α f ( x ) + β g ( x ) ] d x = ∫ a b α f ( x ) d x + ∫ a b β g ( x ) d x \int_a^b [\alpha f(x)+\beta g(x)]dx = \int_a^b \alpha f(x)dx+\int_a^b \beta g(x)dx ∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=∫abαf(x)dx+∫abβg(x)dx
性质2 连续可加性 设$ a < c < b$，则有 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
性质3 常函数的定积分等于常数乘区间长度 ∫ a b d x = b − a \int_a^b dx = b-a ∫abdx=b−a
性质4 保号性 如果在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上恒有 f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq 0 f(x)≥0,那么 ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 \int_a^b f(x)dx \geq 0 ∫abf(x)dx≥0
推论1 如果在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上恒有 f ( x ) ≥ g ( x ) f(x)\geq g(x) f(x)≥g(x),那么 ∫ a b f ( x ) d x ≥ ∫ a b g ( x ) d x \int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx
推论2 ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≥ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x \left\lvert \int_a^b f(x)dx \right\rvert \geq \int_a^b |f(x)|dx ∫abf(x)dx ≥∫ab∣f(x)∣dx
性质5 夹逼法 M和m分别是 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的最大值和最小值，那么

( b − a ) m ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ ( b − a ) M (b-a)m \leq \int_a^b f(x)dx \leq (b-a)M (b−a)m≤∫abf(x)dx≤(b−a)M

性质6 定积分中值定理 如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在积分区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，那么在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上至少存在一个点 ξ \xi ξ，使下式子成立：

∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) ( a ≤ ξ ≤ b ) \int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)\qquad (a\leq \xi \leq b) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)(a≤ξ≤b)

性质6在直观上可以理解成一个类似于“平均速度”的概念。

第二节微积分基本公式

一、变速直线运动中位置函数与速度函数的关系

二、积分上限的函数及其导数

积分上限函数形如
Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t ( a ≤ x ≤ b ) \Phi(x)=\int_a^x f(t)dt\qquad (a\leq x\leq b) Φ(x)=∫axf(t)dt(a≤x≤b)

定理1 积分上限函数的导数

如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，那么积分上限函数
Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t \Phi(x)=\int_a^x f(t)dt Φ(x)=∫axf(t)dt
在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可导，并且其导数
Φ ′ ( x ) = d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) ( a ≤ x ≤ b ) \Phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)\qquad (a\leq x\leq b) Φ′(x)=dxd∫axf(t)dt=f(x)(a≤x≤b)

定理2 原函数的概念

如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，那么积分上限函数
Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t \Phi(x)=\int_a^x f(t)dt Φ(x)=∫axf(t)dt
是 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的一个原函数。

在给定积分形式的原函数求导

形如
F ( x ) = ∫ a g ( x ) f ( x ) d x F(x)=\int_a^{g(x)}f(x)dx F(x)=∫ag(x)f(x)dx

F ′ ( x ) = g ′ ( x ) f ( cos ⁡ x ) d x F'(x)=g'(x)f(\cos x)dx F′(x)=g′(x)f(cosx)dx

三、牛顿-莱布尼茨公式

定理3 微积分基本定理

如果函数 F ( x ) F(x) F(x)是连续函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的一个原函数，那么
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) = [ F ( x ) ] a b \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) = \left[F(x)\right]_a^b ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=[F(x)]ab

第三节定积分的换元法和分部积分法

一、定积分的换元法

定理假设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间$[a,b] 上连续，函数上连续，函数上连续，函数x=\varphi(x)$满足条件
(1) φ ( α ) = a , φ ( β ) = b ; \varphi (\alpha)=a, \varphi (\beta)=b; φ(α)=a,φ(β)=b;
(2) $\varphi (t) $ 在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上具有连续导数，其值域 R φ = [ a , b ] R_{\varphi}=[a,b] Rφ=[a,b]，则有
∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f [ φ ( t ) ] φ ′ ( t ) d t = ∫ α β f [ φ ( t ) ] d ( φ ( t ) ) \int_a^bf(x)dx = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]d(\varphi(t)) ∫abf(x)dx=∫αβf[φ(t)]φ′(t)dt=∫αβf[φ(t)]d(φ(t))

在实际情况中不一定是直接找 x = φ ( t ) x=\varphi(t) x=φ(t)的结构，也可以通过 t = φ − 1 ( x ) t=\varphi^{-1}(x) t=φ−1(x)换元。

在证明包含三角函数变换的式子时始终要记得用变角公式去解决区间不同的问题。例如
∫ 0 π x f ( sin ⁡ x ) d x = ∫ π 0 ( π − x ) f ( sin ⁡ x ) d ( π − x ) \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\int_\pi^0 (\pi-x)f(\sin x)d(\pi -x) ∫0πxf(sinx)dx=∫π0(π−x)f(sinx)d(π−x)

二、定积分的分部积分法

∫ a b u d v = [ u v ] a b − ∫ a b v d u \int_a^b udv =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b vdu ∫abudv=[uv]ab−∫abvdu

第四节反常积分

一、无穷限的反常积分

定义1 无穷限反常积分收敛需要以下极限收敛；若它是收敛的，则该极限的值就是无穷限反常积分的值。
∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim ⁡ t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x ( 正无穷限反常积分 ) ∫ − ∞ b f ( x ) d x = lim ⁡ t → − ∞ ∫ t b f ( x ) d x ( 负无穷限反常积分 ) \begin{aligned} \int_a^{+\infty}f(x)dx&=\lim_{t\to+\infty}\int_a^t f(x)dx &(正无穷限反常积分 )\\ \int_{-\infty}^bf(x)dx&=\lim_{t\to-\infty}\int_t^b f(x)dx &(负无穷限反常积分 )\\ \end{aligned} ∫a+∞f(x)dx∫−∞bf(x)dx=t→+∞lim∫atf(x)dx=t→−∞lim∫tbf(x)dx(正无穷限反常积分)(负无穷限反常积分)

若 a = b a=b a=b，且某个函数 f ( x ) f(x) f(x)的正无穷限和负无穷限反常积分都存在，则反常积分 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx ∫−∞+∞f(x)dx存在。

将定义延伸到牛顿莱布尼兹公式，则正无穷限积分是否存在取决于 lim ⁡ t → + ∞ F ( t ) \lim_{t\to+\infty}F(t) limt→+∞F(t)是否存在，负无穷限同理。
∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim ⁡ t → + ∞ F ( t ) − F ( a ) \int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{t\to+\infty}F(t)-F(a) ∫a+∞f(x)dx=t→+∞limF(t)−F(a)

二、无界函数的反常积分

如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在a的任一邻域内都无界，则 a a a为 f ( x ) f(x) f(x)的瑕点。

假设 f ( x ) f(x) f(x)在 ( a , b ] (a,b] (a,b]上连续，且 a a a为 f ( x ) f(x) f(x)的瑕点，则反常积分转化为变下限积分。
∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ t → a + ∫ t b f ( x ) d x \int_a^b f(x)dx = \lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)dx ∫abf(x)dx=t→a+lim∫tbf(x)dx
假如 b b b为瑕点或 a , b a,b a,b都为瑕点则处理方式完全相同。

若 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x)且 lim ⁡ x → a F ( x ) \lim_{x\to a}F(x) limx→aF(x)存在，则
∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ t → a + ∫ t b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a + ) \int_a^b f(x)dx = \lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)dx=F(b)-F(a^+) ∫abf(x)dx=t→a+lim∫tbf(x)dx=F(b)−F(a+)

第六章定积分的应用

第一节定积分的元素法

主要思想：
U = ∫ a b d U = ∫ a b f ( x ) d x U=\int_a^b dU=\int_a^b f(x)dx U=∫abdU=∫abf(x)dx

第二节定积分在几何学上的应用

一、图形面积

1、直角坐标

很简单
A = ∫ a b f ( x ) d x A=\int_a^b f(x)dx A=∫abf(x)dx
如果给出的是参数方程那么只要把 y y y 和 d x dx dx 分别转换为 t t t 的函数就可以了。

2、极坐标

曲线 ρ = ρ ( θ ) \rho =\rho(\theta) ρ=ρ(θ)以及射线 θ = α , θ = β \theta=\alpha, \theta=\beta θ=α,θ=β构成的曲边扇形的面积
A = ∫ α β 1 2 [ ρ ( θ ) ] 2 d θ A=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2}\left[ \rho(\theta)\right]^2d\theta A=∫αβ21[ρ(θ)]2dθ

二、体积

1、旋转体体积

平面图形绕x轴旋转得到的图形体积为（绕y轴同理）
V = ∫ a b d V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x V=\int_a^b dV=\int_a^b\pi\left[f(x)\right]^2dx V=∫abdV=∫abπ[f(x)]2dx

2、平面截已知立体的体积

V = ∫ a b A ( x ) d x V=\int_a^b A(x)dx V=∫abA(x)dx

三、平面曲线的弧长

1、给定参数方程

定理：光滑曲线的弧是可求长度的。

假设曲线的弧由参数方程确定 ( α ≤ t ≤ β ) (\alpha \leq t \leq \beta) (α≤t≤β)
{ x = φ ( t ) y = ψ ( t ) \begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases} {x=φ(t)y=ψ(t)
其中 φ ( t ) ， ψ ( t ) \varphi(t)， \psi(t) φ(t)，ψ(t)都有连续导数且导数不为0，计算弧线长度。
s = ∫ α β [ φ ′ ( t ) ] 2 + [ ψ ′ ( t ) ] 2 d t s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2 } dt s=∫αβ[φ′(t)]2+[ψ′(t)]2 dt

2、y=f(x)

此时
s = ∫ a b 1 + [ y ′ ] 2 d x s=\int_a^b \sqrt{1+[y']^2}dx s=∫ab1+[y′]2 dx

3、给定极坐标方程 ρ = ρ ( θ ) \rho=\rho(\theta) ρ=ρ(θ)

利用三角关系转换为x和y的参数方程 ( α ≤ θ ≤ β ) (\alpha \leq \theta \leq \beta) (α≤θ≤β)
{ x = ρ ( θ ) cos ⁡ θ y = ρ ( θ ) sin ⁡ θ \begin{cases} x=\rho(\theta)\cos\theta \\ y=\rho(\theta)\sin\theta \end{cases} {x=ρ(θ)cosθy=ρ(θ)sinθ
所求弧长为
s = ∫ α β [ ρ ( θ ) ] 2 + [ ρ ′ ( θ ) ] 2 d θ s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[\rho(\theta)]^2 + [\rho'(\theta)]^2}d\theta s=∫αβ[ρ(θ)]2+[ρ′(θ)]2 dθ

四、习题总结

1、在极坐标下求面积、弧长时要注意定义域

因为极坐标有一个要求是 ρ > 0 \rho>0 ρ>0，因此在确定积分上下线时要找一个符合 ρ ( θ ) > 0 \rho(\theta)>0 ρ(θ)>0的区间。

例如求 ρ = 2 a cos ⁡ θ \rho=2a\cos{\theta} ρ=2acosθ围成的面积时所取的区间是 [ − π 2 , π 2 ] \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] [−2π,2π]。

2、求两个曲线包围部分得到的旋转体体积

方法一样，用大体积减去小体积就可以了。

第三节定积分在物理学上的应用

略